2024-2025学年江西省上饶市弋阳二中高三（上）月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省上饶市弋阳二中高三（上）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈N|x≤5},B={x|y=lg(x−1)}A.{0} B.{0,1} C.{1} D.{1,2}2.已知z=21+i，其中i为虚数单位，则z−A.1+i B.1−i C.−1+i D.−1−i3.已知a>0，且a≠1，则函数y=loga(x+1A.一、二象限 B.一、三象限 C.二、四象限 D.三、四象限4.已知a，b都是正数，则“ab≥4”是“ab≥a+b”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5.已知α，β满足sin(α+2β)=512，cos(α+β)sinβ=13A.112 B.−112 C.16.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿.如果大轮的转速为180r/min(转/分)，小轮的半径为10cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是(    )cm．A.5400π B.90π C.180π D.40π7.将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的12，得到函数f(x)的图象.若f(x)的图象关于点(π3A.π4 B.5π6 C.5π128.若函数f(x)=lnx+12x2+ax有两个极值点x1，xA.a≤−4 B.a≥4 C.a≤−42 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于函数f(x)=sin(2x+π6A.y=f(x)是以π为最小正周期的周期函数

B.y=f(x)的最大值为2

C.将函数y=2cos2x的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合

10.已知f(x)=alnx+2x，则以下结论正确的有(

)A.∀a<0，f(x)有零点

B.∃a>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增

C.a=2时，f(x)≥2

D.a=−1时，f(2x−1)−f(x)>0的解集为(11.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x)−x，当0<x≤1时，f(x)=x−x，则A.当2<x≤3时，f(x)=x−2−2x+2

B.当n为正整数时f(n)=n−n22

C.对任意正实数t，f(x)在区间(t,t+1)内恰有一个极大值点

D.若f(x)在区间三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设函数f(x)=2x−2−x，则使得f(13.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(b−c)sinB=bsin(A−C)，则角A=______．14.已知存在a>0，使得函数f(x)=alnx与g(x)=x2−3x−b的图象存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=2b，a=2ccosC．

(1)求ab的值；

(2)若△ABC的面积为15，求AB边上的高．16.(本小题15分)

已知函数f(x)=bx+logax4−x(a>0且a≠1，b∈R)，其中e是自然对数的底数．

(1)当b=2，证明：f(x)+f(4−x)为定值，并求出函数f(x)的对称中心；

(2)当a=e时，若17.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2c−b=2asin(C−π6)．

(1)求角A；

(2)若a=6，D为边BC上一点，AD为∠BAC的平分线，且AD=118.(本小题17分)

已知函数g(x)=2ln(−t−1)+cos(−t−2)．

(1)函数f(x)与g(x)的图像关于x=−1对称，求f(x)的解析式；

(2)f(x)−1≤ax在定义域内恒成立，求a的值；

(3)求证：k=n+12nf(19.(本小题17分)

已知函数f(x)=aex−x−a(a∈R)，其中e是自然对数的底数．

(1)当a=−1时，求φ(x)=f(x)−cos2x在[0,π]上的值域；

(2)当0<a≤1时，讨论f(x)的零点个数；

(3)当a≥1时，从下面①和②两个结论中任选一个进行证明．

参考答案1.B

2.B

3.D

4.B

5.D

6.B

7.A

8.A

9.ABD

10.ACD

11.BD

12.(−3,1)

13.π314.−3

15.解：(1)a=2ccosC，由余弦定理得，a=2c⋅a2+b2−c22ab，

又因c=2b，

所以a=2×2b×a2+b2−(2b)22ab，化简得a2=6b2，

所以ab=6；

(2)由(1)得cosC=a2c=6b2×2b=6416.解：(1)证明：当b=2时，f(x)=2x+logax−loga(4−x)，其中x∈(0,4)，

f(4−x)=2(4−x)+loga(4−x)−loga[4−(4−x)]=8−2x+loga(4−x)−logax，

所以f(x)+f(4−x)=8，

故函数f(x)的对称中心为(2,4)．

(2)当a=e时，f(x)=bx+lnx−ln(4−x)，其中x∈(0,4)，

因为f(x)在定义域上单调递增，所以f′(x)≥0在(0,4)上恒成立，

又f′(x)=b+1x17.解：(1)由2c−b=2asin(C−π6)及正弦定理，

可得2sinC−sinB=2sinA(3 2sinC−12cosC)，

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

则有2sinC−cosAsinC=3sinAsinC，

又C∈(0,π)，sinC≠0，所以3sinA+cosA=2，

即sin(A+π6)=1，又A+π6∈(π6,7π6)，

所以A+π6=π2，即A=π3；

(2)由AD为∠BAC的平分线，可得∠BAD=∠CAD=π6，

由S△ADB18.解：(1)依题意，设f(x)图像上任意一点坐标为(x0,y0)，

则其关于x=−1对称的点(−2−x0,y0)在g(x)图像上，

则y0=f(x0)=g(−2−x0)，则f(x0)=g(−x0−2)=2ln(x0+1)+cosx0，(x0>−1)

故f(x)=2ln(x+1)+cosx，(x>−1)；

(2)令ℎ(x)=f(x)−1−ax=2ln(x+1)+cosx−1−ax，(x>−1)，

则在ℎ(x)≤0在x∈(−1,+∞)恒成立，

又ℎ(0)=0，且ℎ(x)在x∈(−1,+∞)上是连续函数，则x=0为ℎ(x)的一个极大值点，

ℎ′(x)=2x+1−sinx−a，ℎ′(0)=2−a=0⇒a=2，

下证当a=2时，ℎ(x)≤0在x∈(−1,+∞)恒成立，

令φ(x)=ln(x+1)−x，φ′(x)=1x+1−1=−xx+1，

当x∈(−1,0)，ϕ′(x)>0，ϕ(x)在(−1,0)上单调递增，

当x∈(0,+∞)，ϕ′(x)<0，ϕ(x)在(0,+∞)上单调递减，

故φ(x)≤φ(0)=0，ln(x+1)≤x在(−1,+∞)上恒成立，又cosx≤1，

则a=2时，ℎ(x)=f(x)−1−ax=2[ln(x+1)−x]+(cosx−1)≤0恒成立，

综上，a=2．

(3)由(2)可知：f(x)−1≤2x，19.解：(1)当a=−1时，φ(x)=−ex−x+sin2x，φ′(x)=−ex−1+sin2x，

∵−1≤sin2x≤1，∴φ′(x)=−ex−1+sin2x≤−ex<0，

∴φ(x)在[0,π]上单调递减，

又φ(0)=−1，φ(π)=−eπ−π，

∴φ(x)在[0,π]上的值域为[−eπ−π,−1]；

(2)f(x)=aex−x−a(0<a≤1)，令f′(x)=aex−1=0得x=−lna，

当x<−lna时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x>−lna时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

∴f(x)≥f(−lna)=1+lna−a，

当a=1时，1+lna−a=0，

∴f(x)≥0，则f(x)在(−∞,+∞)上有且仅有1个零点．

当0<a<1时，令r(a)=1+lna−a(0<a<1)，r′(a)=1a−1=1−aa>0，

∴r(a)在(0,1)上单调递增，

∴r(a)<r(1)=0，即f(−lna)<0，又f(0)=0，

∴f(x)在(−∞,−lna)上有1个零点，又f(−2lna)=1a+2lna−a，

令μ(a)=1a+2lna−a(0<a<1)，则μ′(a)=−(a−1)2a<0，

∴μ(a)在(0,1)上单调递减，

∴μ(a)>μ(1)=0，

∴f(−2lna)>0，

∴f(x)在(−lna,−2lna)上有一个零点．

综上所述，a=1时，f(x)有一个零点，

0<a<1时，f(x)有2个零点；

(3)证明：选择①：当a≥1，x>0时，f(x)=a(ex−1)−x≥ex−1−x，

设g(x)=ex−x−xlnx+sinx−1，

当0<x≤1时，−xlnx≥0，sinx>0，

又由(2)知ex−1−x≥0，∴g(x)>