高中数学 综合测试题 新人教A版选修2-2

高中新课标数学选修（2-2）综合测试题

一、选择题（每题小题5分）

1.设y=--x,则xw［O,l］上的最大值是（）

2.若质点P的运动方程为S（t）=2t?+t（S的单位为米，t的单位为秒），则当t=l时的瞬时速

度为（）

A2米/秒B3米/秒C4米/秒D5米/秒

3.曲线y=一』X，—2在点（一1,

处切线的倾斜角为（）

33

A30°B45°C135°D150°

4.函数y=-2x+/的单调递减区间是（）

,V6、,V6V6、.V6、11/V6、/V6、

A（—8,—----）B（-----,——）C（-8,-----）U（---,+8）D（----,+0°）

333333

5.过曲线y=r+1上一点（-1,0）,且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程是（）

xXI

Ay=3x+3By=-+3Cy=-一一Dy=-3x-3

333

6.曲线y=-1在点（i,1）处的切线与直线x+y-3=0的夹角为

33

A30°B45°C60°D90°

7.已知函数f（x）=d+ax2+b的图象在点p（1,0）处的切线与直线3x+y=0平行.则a、b的

值分别为（）.

A-3,2B-3,0C3,2D3,~4

8.已知f（x）=ax3+3x2+2,若/（-1）=4,则a的值等于（）

1910「1613

A—BD—C—nD—

3333

9.函数y=/一12%+16在［—3,3］上的最大值、最小值分别是（）

A6,0B32,0C25,6D32,16

10.已知a>0,函数y=/-ax在［1,+8）上是单调增函数，则a的最大值为（）

A0B1C2D3

11.已知/（幻二2/一6/+111（m为常数），在［-2,2］上有最大值3,则此函数在［-2,2］上的

最小值为（）

A-37B-29C-5D-11

12.已知f(x)=》+/,且Xi+X2<0,X2+X3<0,X3+Xi<0则()

Af(Xi)+f(x2)+f(X3)>0Bf(Xi)+f(x2)+f(x3)<0Cf(Xi)+f(x2)+f(xa)=0D

f(Xl)+f(X2)+f(x3)符号不能确定.

二、填空题(每小题4分)

13.过抛物线y=/(x)上一点A(1,0)的切线的倾斜角为45。则/⑴=.

14.函数/*)=1—3工的递减区间是—

15.过点P(—1,2)且与曲线y=3—-4X+2在点M(l,1)处的切线平行的直线方程是

16.函数f(x)=x(1—/)在［o,1］上的最大值为.

三、解答题

17.已知函数/(x)=a/+bx2+c的图像经过点(0,1),且在x=l处的切线方程是y=x—2.

求f(x)的解析式；12分

18.证明：过抛物线y=a(x—x】)(x-X2)(a#0,x)<X2)上两点A(xi,0),B(X2,0)的切线与x轴

所成的锐角相等。12分

19.已知/(x)=ax3+b/+cx(aWO)在乂=±1时取得极值且f(1)=T

试求常数a、b、c的值并求极值。12分

20.已知函数/(x):_ax2+x+i.

(1)若/(x)在(-8,+oo)上是增函数，求a的取值范围.

(2)若/(幻在x=xi及x=X2(xi,〉：2>0)处有极值，且k%<5,求a的取值范围。12分

21.已知函数/(X)=ax：'+cx+d(aWO)在R上满足f(-x)=~f(x),

当x=l时/(x)取得极值-2.

(1)求于(x)的单调区间和极大值；

(2)证明：对任意刈“2£(—1,1),不等式|/(x,)-/(x2)I<4恒成立.14分

22.如图在边长为4的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，在把它的边沿虚线折起，做成

一个无盖的方底盒子.

(1)问切去的小正方形边长为多少时，盒子容积最大？最大容积匕是多少？

(2)上述做法，材料有所浪费，如果可以对材料进行切割、焊接，请你重新设计一个方案,

使材料浪费最少，且所得无盖的盒子的容积匕＞匕14分

答案：1.A2.D3.C4.B5.C6.D7.A8.B9.BIO.Dll.A12B13.114.[-1,1]15.2x-y+4=016.

273

—

提示：l.Af(l)=f(0)=0最大

2.D・・・S'=4t+l.••当t=l时的瞬时速度为5米/秒

3.选C•・•『(x)=-X2・•・『(-1)=-1即tana=-1/.a=135°

4.iiBVy,=-2+3x2<0,：.--<x<—

33

5.C•・•y=3x2・・・该点处的切线斜率为3,・・・所求直线方程为y=-g(x+1)即C答案

6.选D・・・y，:/,y，|，切线斜率为1,又直线斜率为一1.•，两直线垂直.••夹角为

90°

7.AVff(x)=3x2+2ax,切线的斜率k=3+2a,3+2a=-3Aa=-3XVf(1)=a+b+l=0:.

b=2,故选A

8.选BY//(x)=3ax2+6x/.//(-l)=3a-6.\a=y

9.选BV/=3X2-12,由了=0得工=±2当4=±2,x=±3时求得最大值32,最小值0

z2

10.DV/a)=3x-a,・•・若/")为增函数，则/。)>0即a<3,要使a<31,XG[1,+

8),上恒成立，・・・aW3故选D

11.A令f'(x)=0得x=0或x=2,而f(0)=m,f(2)=-8+m,f(—2)=—40+m显然

f(0)>f(2)>f(-2)・・・m=3

最小值为f(-2)=-37故选A

12.B・・・r(x)=3/+i,.,•尸(幻>0・・・/(幻在上是增函数，且是奇函数，

:.f(X|)<f(―X2),f(X2)<f(—X3),f(X3)<f(-Xl).'.f(Xl)+f(x2)+f(X3)<—[f(Xl)+f(X2)+f(X3)]

即f(Xi)+f(X2)+f(X3)<0故选B

13.由题意可知切线斜率为1,由导数定义知/⑴=1

14.,・,/(幻=3——3・・・令3—-3忘0解得一1・1忘1

15.•・・y'=6x-4・・・k=y'|口=2二直线方程为y—2=2(x+l)即2x-y+4=0

16.・・・/(x)=x——・・・/")=1_3/=0得1=乎可知当％=*时函数值为最大值，最

大值是竽

17.解：由题意可知f(0)=1,f(l)=-l,....................6分

.c=1

c=1

・・・，4〃+28=1解之得=3...................11分

2

4+/?+C=-1Q

b=--

2

59

f(x)=一x4—x~+1..................12分

22

18.证明：Vy=a(x—Xi)(x—X2)=ax2—a(xi+X2)x+aXiX2................3分

:.y'=2ax—a(xi+x2).................6分

z

Aki=y'|X=xi=a(xi—X2)k2=y|X=x2=a(x2-xi)......................9分

设两切线与x轴所成锐角为。।和％

则tan0i=|a(xi—X2)I=Ia|(xs—Xi)>0,tan02=Ia(x2—xj|=|a|(x2—Xi)>0.............11

分

tan6i=tan02..................12分

19.解：/z(x)=3ax2+2bx+c,..............3分

,**f(x)在x=±l时取得极值；.x=±1是f(x)=0即3ax2+2bx+c=0的两根.....6分

3a+2^+c=0(l)

Vf(1)=-1:.a+b+c=-l(3)

3a-2b+c=0(2)

由(1),(2),(3)得2=‘，b=0,c=--............9分

22

i33

••/(冗)=5%'-----X，f!W=—(X-1)(x+1)

当x〈T或X>1时，f\x)>0,当-1<X<1时，f'(x)<0

・•・/(%)在(-8,-1)及(1,+8)上是增函数，在(-1,1)是减函数.....11分

，当x二T时函数取得极大值f(-1)=1

当x=l时函数取得极小值f(1)=-1...........12分

20.解：(l)V/,(^)=ax2-2ax+l..................................................….1分

・・・当a=0时，，/故结论成立........................2分

当a〉0时，［/(⑴=1-a20,・・・aWl即0<aWl...................4分

当a<0时，/'*)在(0,+8)上不恒大于或等于0,故舍去..........5分

综上得a的取值范围是OWaWL

(2)令/(x)=ax?—2ax+l=0,由题知其二根为x1，X2且x1+x2=2,xix2=—..................7分

Vl<—<5/.X><2-X2<5X1..................9分

x23

.*.X|(2—X2)=——(X1—1)2+1..................11分

aa

510

・・・一W-<l・・・l<aW-................12分

9a5

21.解：(1)由f(-x)=—/(x)(xWR)得.d=0；.f(x)=ax'cx,f*(x)=ax2+c.................2

分

a+c=0

由题设f⑴=—2为/(x)的极值，必有了'⑴=0・Y一解得a=l,c=-3

3。+c=0

*'•f\x)=3x2—3=3(x—1)(x+1)从而r(l)=f(一1)=0...............4分

当X£(—8,—1)时，尸(幻》0则〃%)在上是增函数;.......5分

在X£(—1,1)时，f\x)<0则f(x)在(一1,D上是减函数.......6分

当xW(1,+8)时，f\x)>0则/(力在(1,+8)上是增函数.......7分

・•・/(-1)=2为极大值........9分

⑵由⑴知，/。)=/-3方在［—1,1］上是减函数，且/(方在［—1,1］上的最大值

M=f(-1)=2,在

［—1,1］上的最小值m=f(2)=-2.........12分

_

对任意的xi,X2W(―1,1),恒有If{xx)—f(x2)I<Mm=2—(―2)=4........14分.

22.解：(1)设切去的正方形边长为x,则焊接成的盒子的底面边长为4-2工，高为X.所

以

V,=(4-2x)2*A:=4(X3-4X2+4X),(0<X<2)......5分

/.V；=4(3X2-8X+4).......6分

令匕=0得X产士2，X2=2(舍去)而匕=12(x—9W)(x—2)又当工0时，匕>0,

333

7910R

当时，匕<0.♦•当X二士时盒子容积最大，最大容积匕是匕.....9分

33127

方案：如下图a,在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图b,将切下的

小正方形焊接成长方形再焊在原正方形一边；如图c再焊成盒子

新焊成的盒子的容积匕为：3X2X1=6,显然匕>匕故此方案符合要求。.....14分

高中新课标数学选修(2-2)综合测试题

一、选择题

1、函数y=/在区间［1,2］上的平均变化率为()

(A)2(B)3(B)4(D)5

答案：(B)

2曲线y=/在点(口)处的切线与x轴、直线1=2所围成的三角形的面积为()

(A)-(B)-(C)-(D)-

3333

答案：(A)；

3、已知直线y=是y=lnx的切线，则女的值为()

(A)-(B)--(C)-(D)--

eeee

答案：(A)

4、设1,〃+初,b+山是一等比数列的连续三项，则〃力的值分别为()

C1iG

(A)a=±-,b=±-(B)a=——,Z?=—

2222

(C)"吟吟(D)a=一■L,b=

22

.V3

a2-b2=ba=±——

答案：(C)；由S+ai)2=a+bin«=>2

2ab=a

b=-

2

5、方程/+(4+i)x+4+〃i=0(。£R)有实根Z?,Rz=a+bi,则z)

(A)2-2/(B)2+2i(C)-2+2/(D)-2-2/

/?2+4Z?+4=0b=-2

答案：(A)；由《则z=2—2i

力+a=0a=2

6、已知三角形的三边分别为00,c,内切圆的半径为，则三角形的面积为

2

+b+c)r；四面体的四个面的面积分别为舟,”,邑灯“内切球的半径为R。类比三角形的

面积可得四面体的体积为()

(A)V=—(5|+“+$3+$4)R(B)丫=+$2+邑+$4次

(C)V=w(S[+52+53+$4)R(D)V=(S[+s2+*+&)R

答案：(B)

7、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…的第50项是()

(A)8(B)9(C)10(D)11

答案：(C)

8、在证明/(x)=2x+l为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前

提；②增函数的定义是小前提；③函数/(x)=2x+l满足增函数的定义是小前提；④函数

/(x)=2x+l满足增函数的定义是大前提；其中正确的命题是()

(A)①②(B)®®(C)®®(D)@®

答案：(C)

9、若a,bwR,则复数(。2-4。+5)+(-〃+2匕-6)，表示的点在()

(A)在第一象限(B)在第二象限

(C)在第三象限(D)在第四象限

答案：(D)；由。2-4。+5=(。-2)2+1>0,—82+2匕一6二—S—1)2—5<0,知

在第四象限；

10、用数学归纳法证明不等式“一!一+」一+…时的过程中,

〃+1n+22n24

由〃=%到〃=%+1时，不等式的左边()

(B)增加了两项一!一十一!一

(A)增加了一项-------

2(2+1)2k+12(k+1)

(C)增加了两项—一+-------又减少了

2k+\2优+1)k+\

(D)增加了一项一!—,又减少了一项」一；

2(k+1)k+\

答案：(C)；

11、如图是函数/(幻=/+"2+cx+d的大致

图象，则等于()

答案：(C)；提示，由图象过(0,0),(1,0),(2,0)知/*)=1*-1)。-2)经比较可得

再+=2

b=-3,c=2,d=b,即/(幻=/-3/+2x,由f/(x)=3/-6)+2得<2

12、对于函数/*)=d-3/,给出下列四个命题:①/(%)是增函数，无极值;②/。)

是减函数，有极值；③/(%)在区间(一8,0］及［2,+8)上是增函数；④/1)有极大值为0,

极小值一4；其中正确命题的个数为()

(A)1(B)2(C)3(D)4

答案：（B）；其中命题③与命题④是正确的。

二、填空题

13、函数/。）=/-3上+1在闭区间[一3,0]上的最大值与最小值分别为：

答案：3-17；

14、若4=1-3"z2=6-8/,且,+-!■=-!-,则z的值为_________；

zZ|z2

422113

答案：z--+—/；提示，由4=1一3i,得L=」_+±i

551z,1010

1a411

又由z?=6—8i,得上二二+:"那么上=」_2+11/

z25050zz2450

15、用火柴棒按下图的方法搭三角形:

按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数明与所搭三角形的个数〃之间的关系式可以

是•

答案：an=2n+l

16、物体A的运动速度u与时间f之间的关系为口=力一1（箕的单位是6/s,/的单位

是s）,物体B的运动速度u与时间，之间的关系为y=l+8f,两个物体在相距为405m的

同一直线上同时相向运动。则它们相遇时，A物体的运动路程为：

tt

答案：72加；提示，设运动is时两物体相遇，那么—力+J（1+8，W/=4O5

得/=9,由于—力=72,得相遇时A物体运动72A〃；

o

三、解答题

17、己知复数z”Z2满足10z；+5z；=2Z1Z2,且Z[+2z2为纯虚数，求证：3z「z?为

实数

证明:由10z；+5z；=2z邑，得10z；-2Z|Z2+5z；=0,

222

即(3Z]—Z2)2+(Z[+2z2)2=0,那么(3z,-z2)=-(Zj+2Z2)=[(Z,+2Z2)i]

由于，z+2z2为纯虚数，可设4+2Z2=〃SwR且6。0）

所以（3Z]-Zz）2=Z?2,从而3Z[-Z2=±b

故3Z1-Z2为实数

18、求由y=sinx与直线y=2且所围成图形的面积

3TT_3打

y=sinxx=----

4千-7T4

解：由<r-或

2日=,V2o37rk二

y=-----

71y=----

24

34

X=——

“=°或.434

L,本题的图形由两部分构成,首先计出［一把,0］上的面积，再计算出

y=0V24

y=T

3乃

［0,2一］上的面积，然后两者相加却可；于是

4

^2x20

cf2行x2匹x

S=(------sinx)ar+(sinx-3(-+COSX)+(-cosx-

t3万i3%3乃3;r

-T

3网

41X1416+(8-3应乃)

3冗8

19、用总长14.8m的钢条做一个长方体容器的框架.如果所做容器的低面的一边长比另

以一边长多0.56那么高是多少时容器的容积最大,并求出它的最大容积.

解：设该容器低面矩形边长为工相，则另一边长为(x+0.5)相，此容器的高为

—X—(x+0.5)=3.2—2x,

4

于是，此容器的容积为：V(x)=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x34-2.2x2+1.6x,其中

0<x<1.6

4

由V'(X)=-6/+4.4X+I.6=0,得M=1,X2=-—(舍去)

因为，V'(x)在(0,1.6)内只有一个极值点，且X£(0,l)时，Vz(x)>0,函数V(x)递

增；X£(1,1.6)时，Vz(x)<0,函数V(x)递减;

所以，当x=l时,函数V(x)有最大值V(l)=lx(l+0.5)x(3.2—2xl)=1.8〃J

即当高为1.2m时，长方体容器的容积最大，最大容积为1.8米3.

20、已知函数/。)=(炉-2or)e".

(I)当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论;

(H)设/(外在上是单调函数，求。的取值范围

解析：(1)略

(2)由f'(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=ex[x2+2(1-a)x-2a]

令f(x)=0，即/+2(1)x-2a=0，得.=。-,x2=a-14-

Jl+a?,其中再vx2

当“变化时，/(幻、/(X)的变化情况如下表：

X(YO,X|)xI(Xpx2)x2(x2,+oo)

r(%)+°-。+

/(x)Y极大值、极小值,

当aNO时、X]<-l,x220,/3)在(彳],工2)上单调递减；

由此可得：/(x)在[TJ]上是单调函数的充要条件为9之1，l+Jl+a-之1，

解得。？巳3；

4

3

即所求。的取值范围为匚,+00);

4

21、若西.>0(i=l,2,3,…/)，观察下列不等式：

(演+x2)(--1---)24,(x,++x3X--1----1---)29,…，请你猜测

X,x2一%x2x3

(x,+x2+--+xj(—+—+•••+—)将满足的不等式，并用数学归纳法加以证明。

司七了〃

I11

解:将满足的不等式为区+工2+3+与)(一+—+~+—)2〃0(〃22),证明如下：

1°当〃=2时，结论成立；

2°假设刀=左时,结论成立，即(2+8+…+占.)(」-+」-+…+」-)2&2

将x2天卜

那么，当〃=左+1时，(X[+X2+•••+•¥(+Xk+i)(---1----F•••H----1----)=

$X?Xkxi+1

11

/v1、/、1z11

(X]+x2+--+xk)(—+—+•••+—)+(X]+x2+---+XJ----+xft+l(—+—+•••

X|x2S司X2

4——)+122~+2|(X1+X,+…+X&)(-H---4-•—F)+1>k~+224-1=(女+1)~

XkV耳X2八

显然，当〃=4+1时，结论成立。

由1°、2°知对于大于2的整数〃，(再+工2+…+X”)(---1---+…H---)之〃2成立。

高中新课标数学选修（2-2）综合测试题

一、选择题

1.函数y=Y在区间口,2］上的平均变化率为（）

A.2B.3C.4D.5

答案：B

2.已知直线丁=依是），=lnx的切线，贝也的值为（）

A.-B.--C.-D.--

eeee

答案：A

3.如果IN的力能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长6cm（在弹性限度内）所耗费的功为（）

A.0.18JB.0.26JC.0.12JD.0.28J

答案：A

4.方程/+（4+以+4+川=0（。€即有实根〃，且2=。+切，则2=（）

A.2-2ZB.2+2/C.-2+2ZD.-2-2/

答案：A

5.△ABC内有任意三点不共线的2002个点，加上AB。三个顶点，共2005个点，把这

2005个点连线形成不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（）

A.4005B.4002C.4007D.4000

答案：A

6.数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…的第50项（）

A.8B.9C.10D.11

答案：C

7.在证明/（x）=2x+l为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②

增函数的定义是小前提；③函数/（x）=2x+l满足增函数的定义是大前提；④函数

f（x）=2x+l满足增函数的定义是大前提.其中正确的命题是（）

A.①②B.C.©®D.@@

答案：C

8.若a,beR,则复数(/-4〃+5)+(-/+助-6)i表示的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

答案：D

9.一圆的面积以lOitcnf/s速度增加，那么当圆半径r=20cm时，其半径r的增加速率”为

()

A.-cm/sB.-cm/sC.—cm/sD.­!■cm/s

2345

答案：C

10.用数学归纳法证明不等式“…+'->上(〃>2)”时的过程中，由〃=人到

/J+1〃十22n24

〃=k+l时，不等式的左边()

A.增加了一项一!—

2(A+1)

1

B.增加了两项+

2k+\2(&+1)

C.增加了两项」—+1又减少了一项」一

2k+\2(&+1)k+1

D.增加了一项」―，又减少了一项一L

2(&+1)2+1

答案：C

11.在下列各函数中，值域不是［-"应］的函数共有()

(1)y=(sinx)r+(cosx)'

(2)y=(sinx/+cosx

(3)y=sinx+(cosx)'

(4)y=(sinx)'・(cosx)'

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案：C

12.如图是函数/(幻=1+法2+5+4的大致图象，则丁+E等于

()

24s12

A.-B,-C.-D.

333

答案：c

二、填空题

13.函数/(x)=d一3x+1在闭区间[TO]上的最大值与最小值分别为

答案：3,-17

14.若4=1—3i,z2=6—8z,—»则z的值为________.

z马z2

答案：一士+2，

55

15.用火柴棒按下图的方法搭三角形：

按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数勺与所搭三角形的个数〃之间的关系式可以

是.

答案：an=2n+\

16.物体A的运动速度v与时间f之间的关系为口=力-1(v的单位是m/s,f的单位是s),

物体B的运动速度v与时间/之间的关系为v=l+8r,两个物体在相距为405m的同一直线上

同时相向运动.则它们相遇时，4物体的运动路程为.

答案：72m

三、解答题

17.已知复数马，z?满足10z；+5z；=2z,，且4+2Z2为纯虚数，求证：3劣一22为实数.

证明：由10z：+5可=2卒2,得10z；-2卒2+5z；=0,

22222

即(3Z1-Z2)+(马+2Z2)=0,那么(3Z,-Z2)=-(马+2Z2)=[(z,+2z2W],

由于，Z1+2z2为纯虚数，可设马=24=Oi(beR,且,

所以(34-Z2)2=从,从而3Z1-Z2=±b,

故34-Z2为实数.

18.用总长14.8的钢条做一个长方体容器的框架，如果所做容器的底面的一边长比另一边

长多0.5m,那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.

解：设该容器底面矩形的短边长为xcm,则另一边长为“+0.5)m,此容器的高为

148

y=—--x-(x+0.5)=3.2-2x,

于是，此容器的容积为：V(x)=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2xy+2.2x2+1.6x,其中Ovxvl.6,

UPV*(x)=-6x2+4.4x+1.6=0,得X]=l,x,=—(舍去)，

因为，口@)在(0J.6)内只有一个极值点，且xc(OJ)时，VV)>0,函数V(x)递增；

xw(1,1.6)时，V'(x)<0,函数V。)递减；

所以，当x=l时,函数丫⑴有最大值y(l)=lx(l+0.5)x(3.2-2xl)=L8m3,

即当高为1.2m时，长方体容器的空积最大，最大容积为1.8mL

19.如图所示，已知直线a与人不共面，直线cf]a=M，直线。flc=N,又af]平面a=A,

平面a=B，cf]平面a=C，求证：ABC三点不共线.

证明：用反证法，假设儿RC三点共线于直线/,

VAB,Cea,；./ua.

•・zn/=c，与/可确定一个平面

*,*cC\a=M>:.MwB.

又Ael,：,au0,同理bu4，

•・.直线a,方共面，与a,。不共面矛盾.

所以AB,C三点不共线.

20.已知函数/(x)=a?+3/一x+1在R上是减函数，求a的取值范围.

解：求函数/(x)的导数：ff(x)=3ax2+6x-l.

(1)当r(x)vO(xeR)时，/(%)是减函数.

30r*+6x-l<0(x€R)<=>a<0MA=36+12a<0<=>a<-3.

所以，当av-3时，由尸(x)vO,知/(x)(xwR)是减函数;

8

(2)当a=-3时，f(x)=-3x3+3x2-x+\=-3\x+—

9

由函数y=d在R上的单调性，可知当〃=—3时，/(x)(xwR)是减函数;

(3)当〃>一3时，在R上存在使((彳)>0的区间，

所以，当。>-3时，函数/(x)(xwR)不是减函数.

综上，所求。的取值范围是(-8,_3).

21.若%>0(i=123,…，〃)，观察下列不等式：(用十七)±4,

(%+x,+Xj)—I-----F—129,I11

+—+・・・+----满足的不

…，请你猜测(X1+x2+…+X”)

1%占x3)%x24

等式，并用数学归纳法加以证明.

解：满足的不等式为(X+S+…+X.),+'+…+'修〃2(〃22),证明如下:

X

I芭x2J

1.当〃=2时，结论成立；

2

2.假设当〃二A:时，结论成立，SP(x,+A：2+--+^)|-+—+—|FC

1111

=(%+占+…+七)—+・・•4-----------F—+•••+—

—++(耳+-V2H-----F)-------FX*+i

x?Xt+I

111

—+—+・・・+—

'女-+2I(X,+x2+•••+xk)+1

2F+2A+1=(A+1)2.

显然，当〃=&+1时，结论成立.

22.设曲线)，=加+云+c(a<0)过点(1,1).

(1)用a表示曲线与x轴所围成的图形面积S(a)；

(2)求S(a)的最小值.

解：(1)曲线过点(一1,1)及(1,1),故有1=。一人+。=。+人+。,

于是6=0且。=1一〃，令y=0,BPar2+(1-«)=0,得工=

记。二号卡,由曲线关于)，轴对称,

2

有S(a)=2^[ax+(1-a)]dx=25+(1_血]

=2吃…件卜的尹

(2)S(a)=Y=^~，令/3)=^^3<0),

则ff(a)==33-1)2-3]=纥£(2。+1).

a~a~

令r(a)=O,得〃=-■!■或a=l(舍去).

又〃《一8,一目时，yf(x)<0；

〃€(一：可时，f\x)>0.

所以，当。=-，时，/(a)有最小值幺，此时S(a)有最小值士，巨=26.

243V4

高中新课标数学选修(2-2)综合测试题

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

1.函数y=x«cosx-sinx的导数为()

(A)xcosx(B)-xsinx(C)xsinx(D)-xcosx

2.下列说法正确的是()

(A)当/(%)=0时，/(%)为/(x)的极大值

(B)当/'(%)=0时,/(%)为f(x)的极小值

(C)当r(/)=o时，为的极值

⑺)当〃/)为/(%)的极值时，/vo)=o

3.如果Z是3+4,的共挽狂数，则Z对应的向量次的模是()

(A)1(B)/(C)V13(D)5

4.若函数y=a(x3-x)的递减区间为(-则。的取值范围是()

(A)(0,-H»)(B)(-1,0)(C)(1收)(D)(0,1)

5.下列四条曲线(直线)所围成的区域的面积是)

冗冗

(1)y=sinx;(2)y=cosx：(3)1=一工；(4)x=—

(A)V2(B)2V2(C)0

6.由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,

叫()

(A)合情推理(B)演绎推理(C)类比推理(D)归纳推理

7.复数。-沆与c+力的积是实数的充要条件是()

(A)ad+bc=O(B)ac+bd=0(C)ad-bc=0(D)ac-bd=0

已知函数y=gsin2x+sinx,那么y'是()

8.

(A)仅有最小值的奇函数(B)既有最大值又有最小值的偶函数

(C)仅有最大值的偶函数(D)非奇非偶函数

9.用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等