新教材同步备课2024春高中数学第8章立体几何初步8.4空间点直线平面之间的位置关系8.4.1平面课件新人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1平面学习任务1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(数学抽象、直观想象)2．掌握关于平面基本性质的三个基本事实．(数学抽象、逻辑推理)3．会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系．(逻辑推理)必备知识·情境导学探新知01生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？平面的描述性概念几何里所说的“平面”，就是从生活中一些物体中抽象出来的．平面是向四周__________的画法水平放置常把平行四边形的一边画成_____

竖直放置常把平行四边形的一边画成_____

知识点1平面无限延展横向竖向记法(1)用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内(2)用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD(3)用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC，平面BD思考1．课桌面、黑板面、海面是平面吗？[提示]

虽然课桌面、黑板面、海面给我们以平面的形象，但是平面是无限延展的，所以它们不是平面．思考2．我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面，这句话对吗？[提示]

不对，我们通常用平行四边形表示平面，但平面是无限延展的，所以平行四边形不是一个平面．思考3．几何中的平面有什么特点？[提示]

(1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的．知识点2点、直线、平面之间的位置关系(1)直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内．(2)直线、平面都可以看成点的集合．点P在直线l上，记作P__l；点P在直线l外，记作P__l；点P在平面α内，记作P∈α；点P在平面α外，记作P∉α；直线l在平面α内，记作l__α；直线l不在平面α内，记作l__α．∈∉⊂⊄思考4．“线段AB在平面α内，直线AB不全在平面α内”这一说法是否正确？为什么？[提示]

不正确．∵线段AB在平面α内，∴线段AB上的所有点都在平面α内，∴线段AB上的A，B两点一定在平面α内，∴直线AB在平面α内．基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的________，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α知识点3平面的基本事实及推论(1)基本事实三个点基本事实内容图形符号基本事实2如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α两个点基本事实内容图形符号基本事实3如果两个不重合的平面有一个_______，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l公共点(2)基本事实的推论

推论1经过一条直线和这条直线外_____，有且只有一个平面(图①)．推论2经过两条________，有且只有一个平面(图②)．推论3经过两条________，有且只有一个平面(图③)．一点相交直线平行直线思考5．经过三点有多少个平面？[提示]

当三点不共线时，由基本事实1可知，经过这三点有且只有一个平面．而当三点共线时，经过这三点有无数个平面．思考6．三个基本事实各有什么作用？[提示]

(1)基本事实1是确定平面的依据．(2)基本事实2是判断直线在平面内的依据．(3)基本事实3可以①判定两个平面相交；②作两个平面的交线；③证明点共线或线共点．如图，点A______平面ABC；点A____平面BCD；BD______平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝______．∈∉⊂BC关键能力·合作探究释疑难02类型1立体几何三种语言的相互转化类型2点、线共面问题类型3点共线、线共点问题类型1立体几何三种语言的相互转化【例1】用符号表示下列语句，并画出图形．(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．[解]

(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图．反思领悟

三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．[跟进训练]1．用符号语言表示下列语句，并画出图形．(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；[解]

符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图①．(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC．[解]

符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图②．类型2点、线共面问题【例2】

(源自苏教版例题)已知：A∈l，B∈l，C∈l，D∉l(如图)．求证：直线AD，BD，CD共面．[思路导引]

因为直线l与点D可以确定平面α，所以只需证明AD，BD，CD都在平面α内．[证明]

因为D∉l，所以l与D可以确定平面α．因为A∈l，所以A∈α．又D∈α，所以AD⊂α．同理，BD⊂α，CD⊂α，所以AD，BD，CD在同一平面α内，即它们共面．反思领悟

解决点线共面问题的基本方法[跟进训练]2．(源自人教B版例题)证明：两两相交且不过同一个点的3条直线必在同一个平面内．[解]

已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．求证：直线AB，BC，AC共面．证明：法一：因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α．因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC⊂α．因此直线AB，BC，AC都在平面α内，所以直线AB，BC，AC共面．法二：因为A不在直线BC上，所以点A和直线BC可确定一个平面α．因为B∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB⊂α．同理AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，所以A，B，C三点可以确定一个平面α．因为A∈α，B∈α，所以AB⊂α，同理BC⊂α，AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．类型3点共线、线共点问题【例3】如图，已知平面α，β，且α∩β＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β．求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．[证明]

因为梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰．所以AB，CD必定相交于一点．设AB∩CD＝M．又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，M∈β．所以M∈α∩β．又因为α∩β＝l，所以M∈l．即AB，CD，l共点(相交于一点)．[母题探究]本例变为：如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．[证明]

若EF，GH交于一点P，则E，F，G，H四点共面，又因为EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，由基本事实3可得P∈BD．所以点P在直线BD上．反思领悟

1．证明三点共线的方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．2．证明三线共点的步骤(1)首先说明两条直线共面且交于一点．(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交．(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．[跟进训练]3．三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必相交于同一点．[证明]

如图，∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ．∵直线a和b不平行，∴a，b必相交．设a∩b＝P，则P∈a，P∈b．∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α．又α∩β＝c，∴P∈c．故a，b，c三条直线必相交于同一点．学习效果·课堂评估夯基础0312341．(多选)下列说法正确的是(

)A．平面是处处平的面B．平面是无限延展的C．平面的形状是平行四边形D．一个平面的厚度可以是0.001cm√AB

[平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，AB两种说法是正确的；CD两种说法是错误的．]√2．(多选)如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面可记为(

)A．平面MN B．平面NQC．平面α D．平面MNPQ1234√BCD

[平面可用希腊字母、平行四边形的四个顶点或对角线字母表示．]√√3．下列空间图形画法错误的是(

)1234A

B

C

DD

[遮挡部分应画成虚线或不画，故D错．]√4．已知α与β是两个不重合的平面，则下列推理正确的序号是______．①A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α；②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB；③l⊄α，A∈l⇒A∉α；④A∈l，l⊂α⇒A∈α．1234①②④

[利用三个基本事实知①②④正确，若l∩α＝A，显然有l⊄α，但是A∈α，③错误．]①②④回顾本节知识，自主完成以下问题：1．如何用符号表示空间点、线、面的位置关系？[提示]

点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达文字语言符号语言图形语言A在l上A∈lA在l外A∉l文字语言符号语言图形语言A在α内A∈αA在α外A∉αl在α内l⊂α文字语言符号语言图形语言l在α外l⊄αl，m相交于Al