第一单元 圆柱与圆锥（易错梳理）-六年级下册数学单元复习讲义 北师大版

🚩圆柱与圆锥💡学问盘点🎯学问点1：面的旋转⭐留意面的外形不同，快速旋转后形成的立体图形也不同。1、⭐留意面的外形不同，快速旋转后形成的立体图形也不同。2、将一个长方形以长（宽）为轴，快速旋转后可以形成一个圆柱。3、将一个直角三角形沿一条直角边快速旋转，会形成一个圆锥。🎯学问点2：圆柱和圆锥的特征⭐留意圆柱⭐留意圆柱有很多条高，圆锥只有一条高。2、圆柱的上、下两个圆面叫作圆柱的底面，圆柱的曲面叫作圆柱的侧面；圆柱的两个底面之间的距离叫作圆柱的高。⭐留意圆柱或圆锥的高都是一条垂直于底面的线段。3、圆锥的圆面叫作圆锥的底面，圆锥的曲面叫作圆锥的侧面；⭐留意圆柱或圆锥的高都是一条垂直于底面的线段。4、测量圆锥的高的方法：把圆锥放在水平面上，在圆锥的顶点上放一个平面的东西，比如一块木板，并与底面的平行，测量一下这两个平面间的距离，这两个平面间的距离就是圆锥的高。⭐⭐易错点剪开圆柱的侧面时肯定要沿高剪开才可以得到一个长方形。5、测量圆柱的高的方法：把圆柱放在水平面上，选一把直尺和一个直角三角板，使圆柱的底面与直尺的0刻度线对齐，使三角板与直尺垂直并靠紧圆柱的底面，此时圆柱的另一个底面对准的刻度值即是圆柱的高。🎯学问点3：圆柱的表面积⭐易错点⭐易错点在解决圆柱的表面积的问题时，要依据不同实物的表面积状况进行计算。圆柱的侧面假如沿高剪开得到一个长方形。长方形的面积=长方形的长×长方形的宽↓↓↓圆柱的侧面积=圆柱的底面周长×圆柱的高用字母表示：S侧=Ch或S侧=πdh或S侧=2πrh2、圆柱的表面积圆柱的表面积=侧面积+两个底面积⭐留意把圆柱剪拼成一个近似的长方体后，它的体积大小不变，表面积增加。⭐留意把圆柱剪拼成一个近似的长方体后，它的体积大小不变，表面积增加。🎯学问点4：圆柱的体积1、意义：圆柱形物体所占空间的大小叫作圆柱的体积。2、圆柱的体积的计算公式。把一个圆柱的底面平均分成若干个相等的扇形，再把这些扇形依据等分线沿高剪开，等分成若干份，就可以拼成一个近似的长方体。长方体的体积=长×宽×高↓↓↓↓圆柱的体积=底面周长的一半×半径×高底面积用字母表示：V=S×hV=πr²×h3、求不规章物体的体积计算不规章物体的体积，可以借助圆柱形容器和水，给圆柱形容器里装适量的水，量出水的高度，把不规章物体放入容器完全浸入水中，并且水不被溢出，这时测量水的高度，上升的水的体积就是不规章物体的体积。🎯学问点5：圆锥的体积1、意义：圆锥形物体所占空间的大小叫作圆锥的体积。2、圆锥的体积公式一个圆锥和一个圆柱的底面积和高都相等，将圆锥形容器装满沙子，再倒入圆柱形容器，3次可以倒满。所以说圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的13。⭐⭐留意推断圆柱和圆锥的关系，肯定要在等底等高的条件下。圆锥的体积=圆柱的体积×1用字母表示：V=13Sh或V=πr²h×💡易错题集合🔎易错点1：圆锥的特点⭐点拨生疏圆锥的基本特点是解答此题的关键。典例⭐点拨生疏圆锥的基本特点是解答此题的关键。解析圆锥的高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离。圆锥只有一个顶点和一个圆心，所以圆锥只有一条高。解答×✨针对练习1填空：①圆柱上、下两个底面都是（），而且大小（），上、下底面之间的距离叫作圆柱的（）。②圆锥的底面是（），侧面是一个（）。从圆锥的（）到底面（）的距离是圆锥的高。③圆柱有（）条高，圆锥有（）条高。🔎易错点2：依据圆柱形罐子求包装盒的长、宽、高典例某种饮料罐的外形为圆柱形，底面直径为6.5cm，高为11cm。将24罐这种饮料每行摆6罐，摆4行放入箱内，这个箱子内部的长、宽、高至少是多少？解析箱子中饮料罐每行摆6罐，摆4行，刚好是24罐，说明只摆放了一层，由此可知长方体箱子的长至少相当于6个圆柱形饮料罐底面直径的和，长方体箱子的宽至少相当于4个圆柱形饮料罐底面直径的和，长方体箱子的高至少相当于1个圆柱形饮料罐的高。解答6.5×6＝39（cm）6.5×4＝26（cm）答：这个箱子内部的长至少是39cm、宽至少是26cm、高至少是11cm。✨针对练习2有一种圆柱形的饮料罐，底面直径为7厘米，高为12厘米。将20罐这样的饮料放入一个长方体纸箱内（如右图）。这个长方体纸箱的长、宽、高至少是多少厘米？🔎易错点3：实际问题求解圆柱形物体求表面积⭐点拨求圆柱形物体的表面积时，易受思维定式的影响，直接用侧面积加两个底面的面积求解。在解决实际问题时，要具体问题具体分析。典例⭐点拨求圆柱形物体的表面积时，易受思维定式的影响，直接用侧面积加两个底面的面积求解。在解决实际问题时，要具体问题具体分析。解析题目中重要的信息为：无盖水桶。从这个信息可以得知一个这样的水桶所用的铁皮的面积应是圆柱的侧面积加一个底面积。解答3.14×4×5+3.14×（4÷2）²=75.36（平方分米）答：至少需要75.36平方分米的铁皮。✨针对练习3一个圆柱形的蓄水池，底面周长是25.12米，高是3米，要在蓄水池的四周及底部抹水泥。假如每平方米用水泥20千克，一共需要水泥多少千克？🔎易错点4：求圆柱形的物体在平面上滚过的面积⭐点拨圆柱形的物体在平面上滚一圈，压过的面积与圆柱的侧面有关系。典例压路机前轮直径是1.6m，宽是2⭐点拨圆柱形的物体在平面上滚一圈，压过的面积与圆柱的侧面有关系。解析压路机推动着前轮碾压路面，前轮与路面接触的部分是前轮的侧面，所以求压路机前轮转动一周压路的面积就是求压路机前轮的侧面积。解答3.14×1.6×2=10.048（m²）答：压路的面积是10.048m²。✨针对练习4一台压路机，前轮直径为1米，宽为1.5米，工作时每分钟转动20周。这台压路机工作1分钟，前轮压过的路面面积是多少平方米？🔎易错点5：圆柱形木料锯成小段表面积增加问题典例把一个底面半径为2分米、长为1.5米的圆柱形木料锯成3小段，表面积增加多少平方分米？⭐点拨每锯一次将增加两个底面积，锯成3段需要锯两次，增加了2×2=4（个）底面。⭐点拨每锯一次将增加两个底面积，锯成3段需要锯两次，增加了2×2=4（个）底面。解答3.14×2²×4=50.24（平方分米）答：表面积增加50.24平方分米。✨针对练习5把一根直径是20厘米、长2米的圆柱形木材锯成同样4段小圆柱，表面积增加了多少平方厘米？⭐点拨圆柱的高不变，底面直径或半径扩大到原来的n倍，那么这个圆柱的体积就扩大到原来的n²倍。🔎易错点⭐点拨圆柱的高不变，底面直径或半径扩大到原来的n倍，那么这个圆柱的体积就扩大到原来的n²倍。典例推断：圆柱的高不变，底面直径扩大到原来的2倍，它的体积就扩大到原来的8倍。（）解析直径扩大到原来的2倍，则半径也扩大到原来的2倍，由于S底=πr²，所以底面积就扩大到原来的4倍。又由于V=Sh，而高不变，所以它的体积就扩大到原来的4倍。解答×✨针对练习6推断：①一个圆柱的底面积扩大3倍，高也扩大3倍，它的体积就扩大到9倍。（）②圆柱的高扩大2倍，体积就扩大2倍。（）⭐点拨物体浸没在水中，水面上升的体积等于物体的体积。留意物体要完全浸没在水中。🔎易错点7⭐点拨物体浸没在水中，水面上升的体积等于物体的体积。留意物体要完全浸没在水中。典例一个圆柱形容器的底面积直径是10厘米，水面高5厘米，把一个小铁块浸没在水中，这时水面高7厘米，求出小铁块的体积。解析小铁块浸没在水中，水面上升所增加的体积就是小铁块的体积，水面上升的部分是一个底面直径为10厘米，高位2厘米的圆柱，计算出该圆柱的体积就是所求小铁块的体积。解答3.14×（10÷2）²×（7-5）=157（立方厘米）答：小铁块的体积的体积为157立方厘米。✨针对练习7一个圆柱形水槽的底面半径是8厘米，水槽中完全浸没一个铁块，当铁块取出时，水面下降了5厘米，这个铁块的体积是多少立方厘米？易错点8：圆锥体积公式的逆应用⭐点拨圆锥的体积公式是V＝13Sh，在计算式不要遗忘⭐点拨圆锥的体积公式是V＝13Sh，在计算式不要遗忘1解析要透彻地理解圆锥体积公式的推导过程，圆锥的体积公式是借助圆柱的体积公式得到的，当圆锥与圆柱等底等高时，圆锥的体积是圆柱的13。由于圆柱的体积公式是V＝Sh，所以圆锥的体积公式是V＝1解答24×3÷12=6（米）答：这个圆锥的高是6米。✨针对练习8一个圆锥与一个圆柱等底等高，已知它们的体积之和是56立方分米，圆锥、圆柱的体积分别是多少立方分米？⭐点拨学会利用题目中给的已知信息推算出你所需要的解题信息。🔎易错点9：利用圆锥的体积公式解决实际问题⭐点拨学会利用题目中给的已知信息推算出你所需要的解题信息。典例张大伯家有一堆小麦，堆成了圆锥形，张大伯量得它得底面周长是9.42m，高是2m，着堆小麦得体积是多少立方米？假如每立方米小麦得质量为700千克，这堆小麦得质量为多少千克？解析先依据底面周长求出小麦得底面积，再利用圆锥的体积公式求出小麦堆得体积，最终依据每立方米小麦得质量为700千克，求出这堆小麦得总质量。解答13×3.14×（9.42÷3.14÷2）²×2=4.71（m³4.71×700=3297（千克）答：这堆小麦得质量为3297千克。✨针对练习9李师傅要将一堆圆锥形的沙土运到建筑工地。量得沙堆底面周长为12.56米，高1.5米，假如用一辆一次能运1.3m³的小推车运，那么要多少次才能运完？⭐点拨“等积变形”问题即物体的外形发生了转变，但体积未转变，可依据前后两个物体的体积相同来求解未知量。🔎易错点10：“等积变形”的应用⭐点拨“等积变形”问题即物体的外形发生了转变，但体积未转变，可依据前后两个物体的体积相同来求解未知量。典例把一个底面直径是4厘米，高是6厘米的圆柱形钢材熔铸成一个底面直径是8厘米的圆锥形零件，这个圆锥形零件的高是多少厘米？解析将一个圆柱形的钢材熔铸成一个圆锥形的零件，其外形发生了转变，但体积没有转变，即V圆柱=V圆锥，依据这个关系列式求解。解答方法1：V圆柱=3.14×（4÷2）²×6=75.36（立方厘米）V圆柱=V圆锥h圆锥=V圆柱×3÷S圆锥底=75.36×3÷[（8÷2）²×3.14]=4.5（厘米）方法2：解：设这个圆锥形零件的高是x厘米。3.14×（4÷2）²×6=13×3.14×（8÷2）x=4.5答：这个圆锥形零件的高是4.5厘米。✨针对练习10将一个底面半径为5厘米，高为2米的圆柱形钢材熔铸成一个底面直径为4分米的圆锥，圆锥有多高？💡跟踪训练一、选择题1、下图中，圆锥的体积与圆柱（）的体积相等。2、一个圆柱的底面半径是2厘米，高是12.56厘米，它的侧面沿高剪开是（）。A、长方形B、正方形C、平行四边形3、如图示，把一张长5厘米、宽4厘米的长方形纸分别绕它的长和宽旋转一周，形成两个圆柱，它们的体积相比，（）。A、第一个大B、其次个大C、一样大D、不能确定4、甲圆柱的底面直径是8厘米，高是10厘米；乙圆柱的底面直径是10厘米，高是8厘米。它们的表面积相比较，（）。A、甲＞乙B、甲=乙C、甲＜乙D、无法确定5．两个圆柱的底面积相等，高之比是2：3，则体积之比是（）。A、2：3B、4：9C、8：27D、4：6二、填空题1、等体积等底面积的圆锥和圆锥，假如圆柱高为6米，圆锥的高是（）米。2、求压路机滚筒滚动一周能压多少平方米的路面，就是求滚筒的（）。3、一个圆锥的体积是75.36dm³，底面半径是2dm，高是（）dm。4、（）绕它的一条边旋转一周可以形成圆柱；（）绕它的一条直角边旋转一周可以形成圆锥。5、有一个底面直径是10厘米，高20厘米的圆柱，假如把它沿底面直径垂直切成两半，表面积增加了（）平方厘米。6、学校有一个圆柱形的喷水池，它的底面周长是25.12米，它最多能装25.12平方米的水，这个喷水池深（）米。三、推断题1、圆柱的侧面开放图肯定是长方形或正方形。()2、圆柱的高不变，底面直径扩大到原来的5倍，体积也扩大到原来的5倍。()3、圆柱的底面直径可以和高相等。()4、把一个圆柱切成两部分，它的表面积不变。()5、两个圆柱的底面积相等，那么它们的侧面积也肯定相等。（）四、按要求完成练习。1、把第一行图形沿虚线旋转一周后会得到哪一个图形？连一连。2、按要求求出下面图形的表面积或体积。（单位：cm）（1）表面积+体积（2）体积（3）表面积（4）体积五、解决问题1、一根竹筒，从里面量直径是4厘米，长是10厘米。把大米装至竹筒的352、一种圆柱形的油桶高48厘米，底面直径是20厘米，做这个油桶至少要用多少平方厘米的铁皮？3、一个装满粮食的圆锥形屯粮仓，底面直径是10米，高9米，货车运走13，剩下的用每次能装7.854、一个无盖的圆柱形水桶，高是6分米，底面半径是2分米。（1）这个水桶可以装多少升的水？（2）假如给这个水桶表面刷上油漆（里外都刷），每平方米用油漆0.5千克，那么粉刷这个水桶大约需要多少千克的油漆？（得数保留整数）5、林同学测量一个土豆的体积，他找来一个底面直径为10厘米的圆柱形玻璃容器，放入土豆后再注入一些水（完全浸没），量的水面高度为9厘米。取出土豆后，又量得水面高度为6厘米。这个土豆体积是多少立方厘米？6、把一个底面半径是6厘米，高是10厘米的圆锥形容器装满水，然后把水倒入一个底面半径是5厘米的圆柱形容器中，求圆柱形容器内水面的高度。7、一个装满稻谷的粮囤，上面是圆锥形，下面是圆柱形。量得圆柱的底面周长是62.8m，高是2m，圆锥的高是1.2m。这个粮囤能装稻谷多少立方米？假如每立方米稻谷重500kg，这个粮囤能装稻谷多少吨？💡参考答案🏅针对训练针对训练1：①圆相等高②圆扇形顶点底面圆心之间③很多1针对训练2：观看右图可以看出，纸箱中饮料罐每行摆4罐，摆5行，刚好是20罐，说明只摆放了一层，由此可知长方体纸箱的长至少相当于5个圆柱形饮料罐底面直径的和，长方体纸箱的宽至少相当于4个圆柱形饮料罐底面直径的和，长方体纸箱的高至少相当于1个圆柱形饮料罐的高。7×5＝35（厘米）7×4＝28（厘米）答：这个长方体纸箱的长至少是35厘米、宽至少是28厘米、高至少是12厘米。针对训练3：底面积：3.14×(25.12÷3.14÷2)×(25.12÷3.14÷2)=50.24(m²)侧面积：25.12×3=75.36(平方米)一个底面和侧面的面积和：50.24+75.36=125.6(平方米)需要水泥：20×125.6=2512(千克)答：一共需水泥2512千克。针对训练4：3.14×1×1.5×20=94.2（平方米）答：前轮压过的路面面积是94.2平方米。针对训练5：3.14×（20÷2）2×6=1884（平方厘米）答：表面积比原来增加了1884平方厘米。针对训练6：①√【解析】解：设这个圆柱原来的底面半径为“1”。这个圆柱的体积为：π×12×h=πh底面半径扩大3倍后的体积为：π×32×h=9πh9πh÷πh=9即一个圆柱体的底面半径扩大3倍，高不变，体积扩大9倍。一个圆的半径扩大n倍（n≠0），依据圆面积计算公式“S=πr2”，它的面积就扩大n2倍，再依据一个因数扩大或缩小多少倍，另一个因数不变，其积就扩大或缩小相同的倍数。②×【解析】圆柱体的体枳是由它的底而积和高两个条件决左的，髙扩大2倍，底而积是否不变这里不明确，假如是底而积缩小2倍，那么体积就不变。针对练习7：3.14×8²×5=1004.8(cm3)答:铁块的体积是1205.76cm3。【解析】由题意可知,铁块的体积等于水下降的体积,已知底面半径8㎝和水面下降高度5㎝。依据圆锥体积公式V圆柱=πr²h,计算可得。针对练习8：圆锥：56÷（1+3）=14（立方厘米）圆柱：14×3=42（立方厘米）答：圆锥体积是14立方厘米，圆柱体积是42立方厘米。【解析】等底等高时圆柱体积是圆锥体积的3倍。针对练习9：12.56÷3.14÷2=2（米）13×3.14×2²×1.5÷1.3≈5答：至少要5次才能运完。针对练习10：2米=200厘米，4分米=40厘米3.14×5²×200×3÷[3.14×（40÷2）²]=37.5（厘米）答：圆锥高37.5厘米。🏅跟踪训练一、1、B【解析】依据V圆锥=底面积×高÷3，V圆柱=底面积×高，底面积=πr²V圆锥=3²π×15÷3=45πA、V=3²π×15=135πB、3²π×5=45πC、1²π×5=5π2、B【解析】依据“圆柱的侧面开放后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高”进行分析：假如该圆柱侧面开放是正方形，则圆柱的高等于圆柱的底面周长，圆柱的底面是一个圆，依据“圆的周长=2πr”进行解答即可．由题意知，圆柱的底面周长为：2×3.14×2=12.56（厘米），与高12.56厘米相等，所以它的侧面沿高剪开是正方形。3、A【解析】以长为轴得到圆柱的体积：3.14×4²×5=251.2(立方厘米)以宽为轴得到圆柱的体积：3.14×5²×4=314(立方厘米)，251.2＜314，所以以宽为轴得到圆柱的体积大。4、C【解析】甲：3.14×8×10+3.14×(8÷2)2×2=351.68(平方厘米)乙：3.14×10×8+3.14×(10÷2)2×2=408.2(平方厘米)408.2>351.68所以乙圆柱的表面积大.5、A【解析】圆柱的体积=底面积×高,假如两个圆柱的底面积相等,高之比是a:b,则体积之比是a:b。两个圆柱的底面积相等,高之比是2:3,则体积之比是2:3。二、1、18

【解析】设圆柱与圆锥的底面积是S，体积是V，则圆柱与圆锥的高的比是：VS：3VS2、侧面积3、184、长方形直角三角形5、4006、0.5【解析】依据圆的周长公式C=2πr，得出r=C÷π÷2，由此求出水池底面的半径，再依据圆的面积公式S=πr2求出水池底面的面积，最终依据圆柱的体积公式V=sh，得出h=V÷s代入数据求出高。三、1、×【解析】圆柱体的侧面沿高开放得到的图形是长方形或正方形，假如不沿高，而是从上底到下底斜着开放得到的是平行四边形；因此，圆柱的侧面开放图肯定是长方形或正方形．此说法错误。2、×【解析】假设原来的半径是R,那么扩大到原来的5倍后是5R,求体积时,是用底面积乘以高,而底面积等于圆周率乘以半径的平方,即V（体积）＝圆周率×（5R）×（5R）×高＝圆周率×25×高,体积扩大到了原来的25倍,而不是5倍。3、√4、×5、×