专题17展开与折叠重难点题型专训（8大题型）

专题17展开与折叠重难点题型专训（8大题型）【题型目录】题型一几何体展开图的认识题型二由展开图计算几何体的表面积题型三由展开图计算几何体的体积题型四正方体几种展开图的识别题型五正方体相对两面上的字题型六含图案的正方体的展开图题型七求展开图上两点折叠后的距离题型八补一个面使图形围成正方体知识点一：图形的展开与折叠圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱．相对面关系的快速判断方法：(1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系．(2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系．常见立体图形的平面展开图立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下：(1)关于正方体的展开图，一个正方体展开成平面图形，究竟有几种可能的图形呢？下面我们运用分类的数学思想，运用简单的“枚举法”，将正方体展开成平面图形的可能情况一一列举出来：①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥；②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩；③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11）综上所述，正方体一共有11种展开图．(2)关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示：(3)关于棱柱的展开图．①三棱柱的展开图：②四棱柱的展开图：(4)关于圆柱的平面展开图．(5)关于圆锥的平面展开图．(6)关于棱锥的平面展开图(7)球不能展开成平面图形．【经典例题一几何体展开图的认识】1．（2023上·全国·七年级课堂例题）如图所示均为几何体的展开图，则从左到右的图形对应的几何体分别为（

）A．圆锥、三棱锥、圆柱、正方体 B．圆锥、四棱锥、圆柱、正方体C．圆锥、四棱柱、圆柱、正方体 D．圆锥、三棱柱、圆柱、正方体【答案】D【分析】根据常见的几何体的展开图进行判断即可．【详解】解：根据几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为：圆锥、三棱柱、圆柱、正方体，故选：D．【点睛】本题考查常见几何体的展开图，熟记常见几何体的平面展开图的特征是解题的关键．2．（2023上·云南昆明·九年级统考期末）要制作一个带盖的圆柱形礼品盒，下列设计的展开图中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据四个选项的图形折合，看是否能折叠成圆柱形即可获得答案．【详解】解：A、可折叠出圆锥体，故不符合题意；B、可折叠出无盖圆柱体，故不符合题意；C、可折叠出圆柱体，故符合题意；D、可折叠出长方体，故不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了几何体的展开图的应用，熟练掌握简单几何体的展开图是解题关键．3．（2023·上海·六年级假期作业）在棱长为4cm的正方体的6个面上，各挖去一个棱长为1cm的正方体，挖后的正方体的体积是，表面积增加了．【答案】5824【分析】用大正方体的体积减去6个小正方体的体积就是剩下的体积；每挖去一个小正方体就会增加四个小正方形的面，计算出增加的小正方形面的个数即可计算增加的面积．【详解】解：（cm3）．则挖后的正方体的体积是，表面积增加了．【点睛】本题考查正方体的体积和表面积，明确每挖去一个小正方体就会增加四个小正方形的面是解题的关键．4．（2022上·陕西汉中·七年级统考期末）如图，是一个几何体的展开图，则这个几何体有条棱．【答案】12【分析】由平面图形的折叠机四棱柱的展开图的特征作答．【详解】由平面图形的折叠机四棱柱的展开图的特征可知，这个几何体是四棱柱所以，四棱柱共有12条棱．故答案为：12．【点睛】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是熟记四棱柱的特征．5．（2023上·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校校考期末）一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示．(1)该盒子的底面的周长为______；（用含a的代数式表示）(2)若①，②，③，④四个面上分别标有整式，，，4，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）依据无盖的长方体盒子的高为a，底面的宽为，即可得到底面的周长；（2）根据该盒子的相对两个面上的整式的和相等，列方程求解即可．【详解】（1）解：由题可知，无盖的长方体高为a，底面的宽为，底面的长为，底面的周长为，故答案为：；（2）解：①，②，③，④四个面上分别标有整式，，，4，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，，解得：．【点睛】本题主要考查了长方体的展开图，一元一次方程的应用，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念【经典例题二由展开图计算几何体的表面积】1．（2023上·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市萧红中学校考开学考试）一个无盖的长方体水桶，长厘米，宽厘米，高厘米，做这个水桶用料（

）平方厘米．A． B． C．【答案】C【分析】求水桶的表面积减去上底面的面积，由此根据长方体的表面积公式，再减去即可．【详解】(平方厘米)，故选：．【点睛】此题考查了长方体的表面积，解题的关键是掌握表面积公式的应用．2．（2023下·黑龙江大庆·六年级统考期末）一个圆柱的侧面沿高展开后是一个边长31.4厘米的正方形，这个圆柱的表面积是（

）平方厘米A．157 B．985.96 C．1142.96【答案】C【分析】一个圆柱的侧面展开后是一个边长为31.4厘米的正方形，说明这个的圆柱的底面周长和高都是31.4厘米，根据圆柱的表面积=侧面积+底面积×2，把数据代入公式解答即可．【详解】解：（平方厘米）答：这个圆柱的表面积是1142.96平方厘米．故选：C．【点睛】此题主要考查的是圆柱表面积公式的灵活运用，理解掌握圆柱侧面展开图的特征是解题的关键．3．（2023上·山东济南·七年级校考阶段练习）如图是某几何体从不同方向看所得图形，根据图中数据，求得该几何体的侧面积为（结果保留）．

【答案】【分析】先根据几何体的三视图可判断其形状，再根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的侧面积即可．【详解】解：这个几何体是圆柱，从正面看的高为2，从上面看的圆的直径为1，∴该圆柱的底面直径为1，高为2，∴该几何体的侧面积为．故答案为：．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及几何体的表面积问题，解题的关键是了解圆柱的侧面积的计算方法．4．（2023上·黑龙江大庆·七年级校联考开学考试）一个长方体长20厘米，宽15厘米，高10厘米，把它切成两个完全相同的长方体，两个长方体表面积之和最大是()平方厘米．【答案】1900【分析】由“一个长方体长20厘米，宽15厘米，高10厘米，把它切成两个小长方体”可知，切成小长方体后增加了两个面，要求这两个长方体的表面积的和最大是多少，先求表面积最多增加多少，则增加的两个面是原长方体的两个最大面，然后加上原长方体的表面积即可．【详解】解：（平方厘米）故答案为：1900．【点睛】本题考查长方体的表面积，解题的关键是明白，切成小长方体后增加了两个面，要求表面积最多增加多少，则增加的两个面是原长方体的两个最大面．5．（2023上·河北保定·七年级统考期中）如图1，该三棱柱的高为，底面是一个每条边长都为的三角形．

(1)这个三棱柱有________个面，有________条棱．(2)如图2，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充完整．(3)这个三棱柱的侧面积是________，要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长的和的最大值为________．【答案】(1)5；9(2)见解析(3)135；37【分析】本题主要考查的是认识立体图形，能够数出三棱柱没有剪开的棱的条数是解答此题的关键．（1）根据图中棱柱的特点即可求解；（2）结合立体图形作出图形即可；（3）将三棱柱的展开图画出来，然后结合图形求解即可；【详解】（1）解：这个三棱柱有5个面，有条棱，故答案为：5；9；（2）如图所示（画法不唯一）．

（3）侧面积为：；

如图所示的几种展开图：由图形可知：没有剪开的棱的条数是4条，则至少需要剪开的棱的条数是：(条)，故至少需要剪开的棱的条数是5条，需剪开棱的棱长的和的最大值为：，故答案为：135；37【经典例题三由展开图计算几何体的体积】1．（2023下·河南新乡·七年级校考阶段练习）相同规格（长为，宽为）的长方形硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，有如图的甲、乙两种方案，所得长方体体积分别记为：和，下列说法正确的是（）

A． B． C． D．无法判断【答案】A【分析】由图可知，设甲方案中长方体箱子的正方形底面边长为，长方体的高为，则，求出，得值，然后求出体积即可，同理求出乙方案中长方体的体积，比较大小即可．【详解】设甲方案中长方体箱子的正方形底面边长为，长方体的高为，根据题意得：，解得：，∴；设乙方案中长方体箱子的正方形底面边长为，长方体的高为，根据题意得：，解得：，∴，即有：．故选：．【点睛】此题考查了长方体的展开图，体积，二元一次方程组的应用，解题的关键在于求出长方体的高，底面正方形的边长．2．（2022上·江苏·七年级专题练习）如图，把一个高6分米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米．原来这个圆柱的体积是（）立方分米．A．105π B．54π C．36π D．18π【答案】B【分析】根据近似长方体的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米可求出圆柱体的半径，再根据圆柱体的体积公式即可求得结果．【详解】解：∵近似长方体的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米，∴圆柱体的半径为：36÷2÷6＝3（分米），∴圆柱的体积为：π××6＝54π（立方分米），故选：B．【点睛】本题考查了圆柱体体积公式的推导及公式的应用，理解推导过程，正确求得圆柱体的半径是解决问题的关键．3．（2022上·陕西西安·七年级统考期中）如图所示的长方形是某圆柱的侧面展开图，已知这个长方形相邻的两边长分别为，，则圆柱体的体积为.

【答案】或/或【分析】以不同的边为圆柱体的底面周长，计算出底面半径，再根据圆柱体体积计算方法进行计算即可．【详解】解：①以为底面周长，为高，此时圆柱体的底面半径为，∴圆柱体的体积为，②以为圆柱体的底面周长，为高，此时圆柱体的底面半径为，∴圆柱体的体积为，故答案为：或．【点睛】本题考查圆柱体的展开与折叠，理解圆柱体表面展开图与圆柱体之间的关系是解决问题的关键．4．（2023上·全国·七年级专题练习）如图所示，把底面周长厘米，高10厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的表面积是平方厘米，体积是立方厘米．【答案】【分析】由题意知：把圆柱切拼成一个近似的长方体后，底面积、高及体积都没有变，只有表面积比原来的圆柱体多了两个长方形的面积，而这两个长方形的长跟圆柱的高相等，宽跟圆柱的底面半径相等；所以，要求长方体的体积，可求得圆柱体的体积即可;求长方体的表面积可用圆柱的表面积加上多出来的两个长方形的面积即可.【详解】解：（1）底面半径：（厘米），长方体的表面积＝圆柱的侧面积+2个底面积+2个长方形的面积，，（平方厘米）；（2）长方体的体积：，（立方厘米）；答：这个长方体的表面积是平方厘米，体积是立方厘米．故答案为：，．【点睛】此题在求长方体的表面积时易出错，要弄清切拼后表面积增加了，是增加了哪几个面的面积．5．（2023上·四川成都·七年级校考期中）有一个四棱柱(1)若它的底面边长都是，所有侧面的面积和是，那么它的侧棱长是多少？(2)若它的所有棱都相等，底面为正方形，且所有棱长之和为，那么它的形状是什么？它的体积是多少？(3)若它的底面是等腰梯形，上下底边长分别为，，腰长为，高是，它的侧棱长是周长的一半，求该四棱柱的体积．【答案】(1)(2)它的形状是正方体，，理由见详解(3)【分析】本题考查了等腰梯形，认识立体图形，几何体的表面积．（1）根据几何体的侧面积公式即可得到结论；（2）根据题意得到几何体的形状，先求出棱长，然后根据体积公式计算即可；（3）根据梯形的面积公式，四棱柱的体积公式即可得到结论．熟练掌握立体几何体的体积公式是解题的关键．【详解】（1）解：棱长，答：它的侧棱长是；（2）解：它的形状是正方体，体积是，理由如下：棱长，它的所有棱都相等，底面为正方形，这个四棱柱是正方体，它的体积，答：它的体积是；（3）解：它的底面是等腰梯形，上下底边长分别为，，，底面周长，侧棱长是周长的一半，侧棱长，该四棱柱的体积．【经典例题四正方体几种展开图的识别】1．（2023·浙江·模拟预测）在图中，实线所围成的多边形区域（阴影部分）是由四个全等正方形拼接而成的．现在若补上图中标有号码的其中一个全等小正方形，则可得到九个多边形区域（每个区域恰好含有五个全等小正方形），试问这九个多边形区域中，可以折成无盖的正方体容器的个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根据正方体的展开图有11种情况：1−4−1型共6种，1−3−2型共3种，2−2−2型一种，3−3型一种，由此判定找出答案即可．【详解】解：根据题意可得：补上后能够折成无盖的正方体容器的有：④⑤⑥⑦⑧⑨，共6个，故选：D．【点睛】此题考查正方体的展开图，解决此题的关键是记住正方体展开图的类型141型，231型，222型，33型．以及口诀“凹、田应弃之”．2．（2022上·山东济南·七年级济南育英中学校考期末）如图所示，图中每个小正方形的大小都相同，有4个涂了阴影，另外8个都标了字母，若从标了字母的8个正方形中抽出一个，能和4个阴影部分一起折成一个无盖的正方体盒子的共有（

）个．A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】C【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题即可．【详解】解：从标了字母的8个正方形中抽出一个，能和4个阴影部分一起折成一个无盖的正方体盒子的字母有：A、B、C、D、E、G，共有6个，故选：C．【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体的知识，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．3．（2023上·四川成都·七年级统考期末）将棱长为的正方体表面展开成平面图形，不考虑粘贴部分，则平面展开图的周长为．【答案】【分析】根据正方体的棱的条数以及展开后平面之间应有棱连着，可得出正方体表面展开要剪开的棱的条数，剪开1条棱，增加两个正方形边长，据此即可得到答案．【详解】解：正方体有个表面，条棱，要展成一个平面图形必须条棱连接，要剪的棱的数量为：条，剪开1条棱，增加两个正方形边长，平面展开图的周长为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方体的展开图的性质，根据展开图的性质得出一个平面图须有五条棱连接是解题关键．4．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，在有序号的小正方形中选出一个，它与图中五个有阴影的小正方形组合后，能构成正方体的表面展开图的是．【答案】①【分析】根据正方体的11种展开图的模型即可求解．【详解】解：∵选取②③④不可以构成正方体的表面展开图，选取①时，能构成正方体的表面展开图；答案为：①．【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，熟记正方体的表面展开图的模型是解题的关键．正方体的表面展开图用‘口诀’：一线不过四，田凹应弃之，相间、端是对面，间二、拐角邻面知．5．（2023上·广东佛山·七年级校考阶段练习）李明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．(1)共有_______种弥补方法；(2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）；(3)在你帮忙设计成功的图中，要把，8，10，，，12这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加等0（直接在图中填上）【答案】(1)4(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据正方体展开图特点：中间4联方，上下各一个，中间3联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以有四种弥补方法；（2）利用（1）的分析画出图形即可；（3）想象出折叠后的立方体，把数字填上即可，注意答案不唯一．【详解】（1）解：根据正方体展开图特点：中间4联方，上下各一个，中间3联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以共有4种弥补方法，故答案为：4；（2）解：如图所示：（3）解：如图所示：【点睛】此题主要考查了立体图形的展开图，解题的关键是识记正方体展开图的基本特征．【经典例题五正方体相对两面上的字】1．（2023·山东青岛·统考中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（）

A．31 B．32 C．33 D．34【答案】B【分析】根据正方体展开图的特征，得出相对面上的数字，再结合正方体摆放方式，得出使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，即可解答．【详解】解：由图①可知：1的相对面是3，2的相对面是4，5的相对面是6，由图2可知：要使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，上面的正方体有一个面被遮住，则这个面数字为6，能看见的面数字之和为：；左下的正方体有3个面被遮住，其中两个为相对面，则这三个面数字分别为4，5，6，能看见的面数字之和为：；右下的正方体有2个面被遮住，这两个面不是相对面，则这两个面数字为4，6，能看见的面数字之和为：；∴能看得到的面上数字之和最小为：，故选：B．【点睛】本题主要考查了正方体的相对面，掌握正方体展开图中“相间一行是相对面”，是解题的关键．2．（2023上·福建龙岩·七年级校考开学考试）有三块相同数字的积木，摆放如下图，相对两个面的数字积最大是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由前两个图形可知，与6相邻的四个面分别为1、2、4、5，因此与6对面的是3；再由第一和第三个图形可得与1相邻的四个面分别是3、4、5、6．据此分析出各相对面的数字，即可获得答案．【详解】解：根据题意，可知1和2相对，4和5相对，3和6相对，所以，相对两个面的数字积最大是．故选：A．【点睛】本题主要考查了正方体相对面上的数字的知识，理解题意，正确分析各相对面上的数字是解题关键．3．（2023上·江苏南京·七年级南京市人民中学校考期中）如图是一个正方体骰子的表面展开图，若1点在上面，3点在左面，则点在正面．

【答案】2【分析】利用正方体及其表面展开图的特点可知“3点”和“4点”相对，“5点”和“2点”相对，“6点”和“1点”相对，当1点在上面，3点在左面，可知5点在后面，继而可得出2点在正面．【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“3点”和面“4点”相对，面“5点”和面“2点”相对，面“6点”和面“1点”相对，如果1点在上面，3点在左面，2点在正面，可知5点在后面．故答案为：2．【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．4．（2023上·山东济宁·七年级济宁市第十五中学校考阶段练习）正方体六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，三个同学从不同的角度观察的结果如图所示，若记2的对面的数字为m，6的对面的数字为n，那么的值为．【答案】5【分析】由图一和图二可看出1的对面的数字是5；再由图二和图三可看出3的对面的数字是6，从而2的对面的数字是4．【详解】解：从3个小立方体上的数可知，与写有数字1的面相邻的面上数字是，6，所以数字1面对数字5，同理，立方体面上数字3对6．故立方体面上数字2对4．则，那么．故答案为：5．【点睛】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，是一道不错的题．解题的关键是按照相邻和所给图形得到相对面的数字．5．（2023上·陕西榆林·七年级校考阶段练习）一个正方体的六个面分别标有字母A、B、C、D、E、F，其从不同方向看到的情形如图所示，根据图示回答下列问题．(1)A的对面是______，B的对面是______，C的对面是______．(2)若A表示的数为，B表示的数为，C表示的数为，D表示的数为0，且正方体各对面上的两个数都互为相反数，请求出F所表示的数．【答案】(1)A的对面是E，B的对面是D，C的对面是F；(2)F所表示的数【分析】（1）观察三个正方体，A相邻的字母有B，C，D，F，从而确定出A对面的字母，C相邻的字母有A，B，D，E，从而确定与C对面的字母，最后确定出B的对面；（2）根据互为相反数的定义列出求出m，然后代入代数式求出C表示的数，进而可得F表示的数．【详解】（1）解：由图可知，A相邻的字母有B，C，D，F，C相邻的字母有A，B，D，E，∴A的对面是E，B的对面是D，C的对面是F；（2）解：由题意得：，解得：，∴C表示的数为，∵C的对面是F，∴F所表示的数；【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，互为相反数的定义，根据相邻面的情况确定出相邻的四个字母是确定对面上的字母的关键，也是解题的难点．【经典例题六含图案的正方体的展开图】1．（2023下·云南昭通·七年级校联考期末）在下列四个正方体中，只有一个是用左图所示的纸片折叠而成的，那么这个正方体是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据正方体的侧面展开图特点一一排除即可．【详解】∵、的正方体展开后，黑点所在的面分别在小三角形所在面的上面和右边，与所给纸片不符，∴排除和；对于，小圆圈的右边是空白，同样与所给纸片不符合，也可排除；故答案为：．【点睛】此题考查了正方体侧面展开图，解题的关键是动手折叠一下，空间想象力的培养．2．（2022上·福建泉州·七年级统考期末）图①是正方体的表面展开图，该正方体从图①所示的位置折叠成图②的正方体，在图①标注的顶点A、B、C、D中，与点P重合的顶点是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】B【分析】先找出下面，然后折叠，找出正方形位于正方体的哪个面上，点P所在正方形位于正方体的哪个面上，即可找出与点P重合的顶点．【详解】如图以正方形1为下面，将正方体从图①所示的位置折叠成图②的正方体时，正方形位于正方形的上面，点P所在正方形在前面，点B与点P重合．故选B【点睛】本题考查正方形的展开图和空间想象能力，关键是找出或想象出折叠前后图形的关系．3．（2022上·四川成都·七年级校考期中）有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个股子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是，最小是．【答案】5126【分析】观察图形可知，1和6相对、2和5相对，3和4相对；要使能看到的纸盒面上的数字之和最大，则把第一个正方体的数字1的面与第二个正方体的数字2的面相连，把数字2的面放在下面，则第一个图形露出的数字分别是3、4、5、6；第二个正方体的数字1面与第三个正方体的数字1的面相连，数字3的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是4、5、6，第三个正方体露在外面的数字就是3、4、5、6，据此可得能看得到的点数之和最大值；要使能看到的纸盒面上的数字之和最小，则把第一个正方体的数字6的面与第二个正方体的数字5的面相连，把数字5的面放在下面，则第一个正方体露在外面的数字分别是1、2、3、4；第二个正方体的数字6的面与第三个正方体数字6的面相连，数字4的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是1、2、3；第三个正方体露在外面的数字是1、2、3、4，即可得能看得到的点数之和最小值．【详解】解：根据题意，得：露在外面的数字之和最大是：3+4+5+6+4+5+6+3+4+5+6=51，最小值是：1+2+3+4+1+2+3+1+2+3+4=26，故答案为：51，26．故答案为：51，26．【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，也可动手制作一个正方体，根据题意在各个面上标上数字，再确定对面上的数字，可以培养动手操作能力和空间想象能力．4．（2022上·山东烟台·七年级校考期中）把小正方体的6个面分别涂上六种不同的颜色，并画上朵数不等的花，各面上的颜色和花的朵数情况如表：现将上述大小相等、颜色花朵分布完全一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体(如图)，那么长方体下底面有朵花.【答案】17【分析】通过分析可知红色面对绿色面，白色面对蓝色面，黄色面对紫色面，所以长方体下底面依次是紫色面、黄色面、绿色面、白色面，然后将对应的花的朵数相加即可.【详解】长方体下底面依次是紫色面、黄色面、绿色面、白色面，然后将对应的花的朵数相加即可.即故答案为17【点睛】本题主要结合正方体的展开图考查逻辑推理能力，能够找到以最后一个小正方体为突破口是解题的关键.5．（2022下·全国·九年级专题练习）如图是一颗骰子的三种不同的放置方法．（1）根据图中三种放置方法，推出“？”处的点数．（2）求这三个骰子下底面上点数和．【答案】（1）2；（2）11【分析】（1）由左侧两个图形可得，与2相邻的面为3，4，5，6，由第一个和第三个图可得，与6相邻的面为2，4，5，据此可得结论；（2）由第一个图可知，4的对面是5，即可得到第二个图和第三个图的下底面都为5，进而得出这三个骰子下底面上点数和．【详解】解：（1）由左侧两个图形可得，与2相邻的面为3，4，5，6，故2的对面是1，即第一个图的下底面为1，又由第一个和第三个图可得，与6相邻的面为2，4，5，故第一个图的左面是4，后面为3，故结合第一个和第三个图可得“？”处的点数为2；（2）由第一个图可知，4的对面是5，故第二个图和第三个图的下底面都为5，故这三个骰子下底面上点数和为5＋5＋1＝11．【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，注意正方体的空间图形并从相对面入手是解题的关键．【经典例题七求展开图上两点折叠后的距离】1．（2022上·重庆合川·七年级重庆市合川中学校考期末）图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】将图①折成正方体，然后判断出、的在正方体中的位置，从而可得到之间的距离．【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点、的在正方体中的位置，蜗牛是从点沿该正方体的棱爬行到点，故选：C．【点睛】本题考查了展开图折成几何体，判断出、的在正方体中的位置是解题的关键．2．（2022上·七年级单元测试）图是边长为的六个小正方形组成的图形，它可以围成图的正方体，则在图中，小虫从点沿着正方体的棱长爬行到点的长度为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】将图1折成正方体，然后判断出A、B在正方体中的位置关系，从而可得到AB之间的距离．【详解】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，得出AB=1，则小虫从点A沿着正方体的棱长爬行到点B的长度为1．故选B．【点睛】本题主要考查的是展开图折成几何体，判断出点A和点B在几何体中的位置是解题的关键．3．（2022下·九年级课时练习）如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：①点H与点C重合；②点D与点M与点R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合．其中正确命题的序号是．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）【答案】②④【分析】将这个展开图还原之后可以找到每个点对应的位置，这样就可以进行判断了没注意判断不要出错.【详解】把展开图，折叠为正方体如图，依据正方体展开图的特征，②④是正确的，故答案为②④.【点睛】本题主要考查了空间几何体的展开图，我们将这个展开图还原之后可以找到每个点对应的位置，这样就可以进行判断了没注意判断不要出错.4．（2022上·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是．【答案】2【分析】将图1折成正方体，然后判断出在正方体中的位置关系，从而可得到之间的距离．【详解】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，得出，故答案为：2．【点睛】本题主要考查的是展开图折成几何体，判断出点A和点B在几何体中的位置是解题的关键．5．（2022上·七年级单元测试）某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线．解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线．问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线．【答案】最短路线有2条，作图见解析．【分析】要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是把正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】解：将正方体的面展开，作出线段AM，经过测量比较可知，最短路线有2条，如图所示：【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．【经典例题八补一个面使图形围成正方体】1．（2023上·山东枣庄·七年级统考阶段练习）如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个正方体，共有（

）种添法．

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据正方体的展开图得出结论即可．【详解】解：在图中添加一个小正方形，使它能折成一个正方体的情况如下：

共有4种添法，故选：B【点睛】本题主要考查正方体的展开图，根据正方体的展开图得出结论是解题的关键．2．（2022上·山东淄博·六年级统考期末）如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（）A．4种 B．3种 C．2种 D．1种【答案】C【分析】利用正方体的展开图的特征解答即可．【详解】解：如图所示，不同的选法有2处，故选：C．【点睛】本题主要考查了正方体的展开图．解题的关键是掌握四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．3．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）小强有6个大小一样的正方形，他已用5个正方形拼成了如图所示的图形（阴影部分），要想使拼接的图形能够折叠成一个封闭的正方体盒子，他的第6个正方形可放在的位置（填写序号）．【答案】③【分析】根据正方体的表面展开图分析即可求解．【详解】解：如图所示，故答案为：③．【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，理正方体的表面展开图的模型是解题的关键．正方体的表面展开图用‘口诀’：一线不过四，田凹应弃之，相间、Z端是对面，间二、拐角邻面知．4．（2022上·河南南阳·七年级统考期末）如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置．【答案】A【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．【详解】解：正方形A与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体．故答案为：A．【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．5．（2022上·吉林长春·七年级校考期末）图①，图②，图③均为5×5的正方形网格，在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起构成一个正方体的表面展开图，并且3种方法得到的展开图不相同．【答案】画图见解析【分析】正方体的展开图一共有种，其中型有种，型有种，型有种，型有种，根据以上展开图的形态结合已知图形可得答案．【详解】解：如图所示：【点睛】本题考查的是正方体的表面展开图，掌握正方体的表面展开图的特点是解题的关键．【培优检测】1．（2023上·山东济宁·七年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图所示的正方体的展开图是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据答案可知，这几个展开图均为正方体展开图，再根据正方体上的图案位置判断即可．【详解】解：根据答案可知，这几个展开图均为正方体展开图；∵正方体

这样的两个面的对角线没有连接在一起，∴A错误；∵

不在

这两个面中间，∴B、C错误；故选：D．【点睛】本题主要考查正方体的展开图的应用，具备想象力和观察力是解题的关键．2．（2023上·山东枣庄·七年级枣庄市第十五中学校考阶段练习）小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．【详解】解：根据展开图中各种符号的特征和位置，可得墨水在B盒子里面．故选：B．【点睛】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．易错易混点：学生对相关图的位置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．解题的关键是掌握基本图形的展开图．3．（2023·浙江·模拟预测）在图中，实线所围成的多边形区域（阴影部分）是由四个全等正方形拼接而成的．现在若补上图中标有号码的其中一个全等小正方形，则可得到九个多边形区域（每个区域恰好含有五个全等小正方形），试问这九个多边形区域中，可以折成无盖的正方体容器的个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根据正方体的展开图有11种情况：1−4−1型共6种，1−3−2型共3种，2−2−2型一种，3−3型一种，由此判定找出答案即可．【详解】解：根据题意可得：补上后能够折成无盖的正方体容器的有：④⑤⑥⑦⑧⑨，共6个，故选：D．【点睛】此题考查正方体的展开图，解决此题的关键是记住正方体展开图的类型141型，231型，222型，33型．以及口诀“凹、田应弃之”．4．（2023·山东青岛·统考中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（）

A．31 B．32 C．33 D．34【答案】B【分析】根据正方体展开图的特征，得出相对面上的数字，再结合正方体摆放方式，得出使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，即可解答．【详解】解：由图①可知：1的相对面是3，2的相对面是4，5的相对面是6，由图2可知：要使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，上面的正方体有一个面被遮住，则这个面数字为6，能看见的面数字之和为：；左下的正方体有3个面被遮住，其中两个为相对面，则这三个面数字分别为4，5，6，能看见的面数字之和为：；右下的正方体有2个面被遮住，这两个面不是相对面，则这两个面数字为4，6，能看见的面数字之和为：；∴能看得到的面上数字之和最小为：，故选：B．【点睛】本题主要考查了正方体的相对面，掌握正方体展开图中“相间一行是相对面”，是解题的关键．5．（2023下·黑龙江大庆·六年级统考期末）一个圆柱的侧面沿高展开后是一个边长31.4厘米的正方形，这个圆柱的表面积是（

）平方厘米A．157 B．985.96 C．1142.96【答案】C【分析】一个圆柱的侧面展开后是一个边长为31.4厘米的正方形，说明这个的圆柱的底面周长和高都是31.4厘米，根据圆柱的表面积=侧面积+底面积×2，把数据代入公式解答即可．【详解】解：（平方厘米）答：这个圆柱的表面积是1142.96平方厘米．故选：C．【点睛】此题主要考查的是圆柱表面积公式的灵活运用，理解掌握圆柱侧面展开图的特征是解题的关键．6．（2023上·广东佛山·七年级校联考期中）如图是一个正方体形状纸盒的展开图，将其折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则．【答案】9【分析】由图可知，m，n的对面分别是，，根据相对面上的两个数互为相反数，可得出m，m的值，再代入即可求解．【详解】由图可知，m，n的对面分别是，，∵相对面上的两个数互为相反数，∴m，n所表示的数分别是，．∴．故答案为：．【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，灵活运用正方体的相对面关系是解题的关键．7．（2023上·山东济南·七年级校考阶段练习）如图是某几何体从不同方向看所得图形，根据图中数据，求得该几何体的侧面积为（结果保留）．

【答案】【分析】先根据几何体的三视图可判断其形状，再根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的侧面积即可．【详解】解：这个几何体是圆柱，从正面看的高为2，从上面看的圆的直径为1，∴该圆柱的底面直径为1，高为2，∴该几何体的侧面积为．故答案为：．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及几何体的表面积问题，解题的关键是了解圆柱的侧面积的计算方法．8．（2022上·陕西西安·七年级统考期中）如图所示的长方形是某圆柱的侧面展开图，已知这个长方形相邻的两边长分别为，，则圆柱体的体积为.

【答案】或/或【分析】以不同的边为圆柱体的底面周长，计算出底面半径，再根据圆柱体体积计算方法进行计算即可．【详解】解：①以为底面周长，为高，此时圆柱体的底面半径为，∴圆柱体的体积为，②以为圆柱体的底面周长，为高，此时圆柱体的底面半径为，∴圆柱体的体积为，故答案为：或．【点睛】本题考查圆柱体的展开与折叠，理解圆柱体表面展开图与圆柱体之间的关系是解决问题的关键．9．（2023上·山东济宁·七年级济宁市第十五中学校考阶段练习）正方体六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，三个同学从不同的角度观察的结果如图所示，若记2的对面的数字为m，6的对面的数字为n，那么的值为．【答案】5【分析】由图一和图二可看出1的对面的数字是5；再由图二和图三可看出3的对面的数字是6，从而2的对面的数字是4．【详解】解：从3个小立方体上的数可知，与写有数字1的面相邻的面上数字是，6，所以数字1面对数字5，同理，立方体面上数字3对6．故立方体面上数字2对4．则，那么．故答案为：5．【点睛】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，是一道不错的题．解题的关键是按照相邻和所给图形得到相对面的数字．10．（2023上·重庆·七年级重庆市第十一中学校校联考阶段练习）两个同样大小的正方体形状积木，每个正方体上相对的两个面上写的数之和都等于3，现将两个正方体并列放置．看得见的五个面上的数字如图所示，则看不见的七个面上的数的和等于．

【答案】19【分析】先根据“相对两个面上写的数之和都等于3”求出看不见的七个面上的数（或两个相对面上的数之和），再相加即可得．【详解】解：∵每个正方体上相对两个面上写的数之和都等于3，∴左边正方体：下底面上的数是，后面上的数是，左右两相对面上的数之和是3，右边正方体：下底面上的数是，后面上的数是，左面上的数是，则看不见的七个面上所写的数之和是，故答案为：19．【点睛】本题考查了正方体相对面上的数、有理数加减法的实际应用，熟练掌握正方体的特征是解题关键．11．（2023上·陕西西安·七年级统考期中）正方体的表面展开图如图所示，若相对面上的两个数互为倒数，求的值．【答案】【分析】观察得到相对面，利用相对面互为倒数可求出x和y的值，再代入求值即可．本题考查了正方体的展开图和倒数，解题关键是找到相对面．【详解】解：将展开图还原成正方体后，可得x与1为相对面，y与为相对面，z与3为相对面．因为相对面上的两个数互为倒数，所以，，，所以，所以的值为．12．（2023上·山东烟台·六年级统考期中）李明同学学习了图形的展开与折叠后，帮助爸爸设计了正方体水果包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个面，请你把它补上，使其折叠后成为一个封闭的正方体包装盒．

(1)共有__________种弥补方法；(2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）；(3)在你帮忙设计成功的图中，把，10，，8，，12这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0．（直接在图中填上）【答案】(1)4(2)见解析（答案不唯一）(3)见解析（答案不唯一）【分析】本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图的特点是解题关键．（1）根据正方体的平面展开图的特点即可得；（2）根据正方体的平面展开图的特点即可得；（3）将互为相反数的两个数填入相对面上即可得．【详解】（1）解：由正方体的平面展开图的特点可知，在下面4个位置弥补即可．

所以共有4种弥补方法，故答案为：4．（2）解：画出一种成功的设计图如下所示：

（3）解：将互为相反数的两个数填入相对面上即可，如图所示：

13．（2023上·河北保定·七年级统考期中）如图1，该三棱柱的高为，底面是一个每条边长都为的三角形．

(1)这个三棱柱有________个面，有________条棱．(2)如图2，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充完整．(3)这个三棱柱的侧面积是_____