专题03多边形及其内角和-2022-2023学年八年级数学上册重要考点题型(人教版)

专题03多边形及其内角和【思维导图】◎考点1：多边形的概念与分类多边形概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形凸多边形

概念：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。

正多边形

概念：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）

例．（2022·河南周口·八年级期末）下列长度的三条线段与长度为4的线段首尾依次相连能组成四边形的是（

）．A．1，1，2， B．1，1，1 C．1，2，2 D．1，1，6【答案】C【解析】【分析】将每个选项中的四条线段进行比较，任意三条线段的和都需大于另一条线段的长度，由此可组成四边形，据此解答．【详解】解：A、因为1+1+2=4，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；B、因为1+1+1<4，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；C、因为1+2+2>4，所以能构成四边形，故该项符合题意；D、因为1+1+4=6，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；故选：C．【点睛】此题考查了多边形的构成特点：任意几条边的和大于另一条边长，正确理解多边形的构成特点是解题的关键．变式1．（2022·全国·八年级）下列命题正确的是（

）A．各边相等的多边形是正多边形B．各内角分别相等的多边形是正多边形C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形D．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形【答案】D【解析】【分析】正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，据此即可逐一判断.【详解】解：A、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误；B、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误；C、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误；D、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项正确；故选：D【点睛】本题主要考查正多边形的定义，解题的关键是掌握正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.变式2．（2019·湖北·襄阳阳光学校八年级阶段练习）下列说法正确的是()A．一个多边形外角的个数与边数相同 B．一个多边形外角的个数是边数的二倍C．每个角都相等的多边形是正多边形 D．每条边都相等的多边形是正多边形【答案】B【解析】【分析】根据多边形外角的定义及正多边形的定义作答．【详解】A．由于任何一个多边形在每一个顶点处都有两个外角，所以一个多边形外角的个数是顶点个数的2倍，也是边数的2倍，故A错误；B．正确；C．如矩形，每个角都相等，但矩形不是正多边形，故C错误；D．如菱形，每条边都相等，但菱形不是多边形，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查了多边形外角的定义及正多边形的定义．多边形的边与它相邻的边的延长线组成的角叫做多边形的外角．一个n边形在每一个顶点处都有两个外角，因此，n边形有2n个外角．每个角都相等，每条边也都相等的多边形是正多边形．变式3．（2021·全国·八年级专题练习）如图，下面四边形的表示方法：①四边形ABCD；②四边形ACBD；③四边形ABDC；④四边形ADCB．其中正确的有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【答案】B【解析】【详解】根据题意，结合图形，所给四边形的表示方法正确的有：①四边形ABCD；④四边形ADCB.故选B.点睛：本题主要考查的是四边形的定义，熟练掌握四边形的表示方法是解题的关键.◎考点2：多边形的对角线对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

【对角线条数】一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为例．（2022·全国·八年级课时练习）从一个多边形的任何一个顶点出发都只有3条对角线，则它的内角和是（

）A．360° B．540° C．720° D．900°【答案】C【解析】【分析】根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n3）条对角线，得到边数可得内角和．【详解】解：设这个多边形是n边形，依题意，得n3=3，解得n=6，故这个多边形的边数是6，∴内角和是（62）×180°=720°，故选：C．【点睛】本题考查了多边形的对角线和内角和公式，如果一个多边形有n条边，那么从多边形的一个顶点出发，可引对角线（n3）条．变式1．（2022·湖北武汉·八年级期末）一个多边形的内角和等于1260°，从它的一个顶点出发，可以作对角线的条数是（

）A．4 B．6 C．7 D．9【答案】B【解析】【分析】先根据多边形内角和公式求出这个多边形的边数，再根据多边形一个顶点出发的对角线条数公式求解即可．【详解】解：设这个多边形的边数为n，由题意得，∴，∴从这个多边形一个顶点出发可以引93=6条对角线，故选B．【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式，多边形一个顶点出发的对角线条数，正确求出这个多边形的边数是解题的关键．变式2．（2021·重庆巫溪·八年级期末）一个n边形的内角和为1080°，从这个n边形的一个顶点可画对角线的条数是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】【分析】根据n边形的内角和为1080°，求出n边形的边数，即可得出从一个顶点出发可引出（n3）条对角线．【详解】解：∵n边形的内角和为1080°，∴（n2）×180°=1080°，解得n=8，∴83=5．故选：A．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理及多边形的对角线，熟记多边形的内角和计算公式是正确解答本题的基础，掌握从一个顶点出发可引出（n3）条对角线是解题的关键．变式3．（2022·全国·八年级）下列说法正确的是（

）A．五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形是正五边形B．正六边形各内角都相等，所以各内角都相等的六边形是正六边形C．从n边形的一个顶点出发可以引（n2）条对角线D．n边形共有条对角线【答案】D【解析】【分析】根据正多边形的定义即可判断A、B两项，根据多边形对角线的性质和条数公式即可判断C、D两项，进而可得答案．【详解】解：A、五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形不一定是正五边形，故本选项说法错误，不符合题意；B、正六边形各内角都相等，但各内角都相等的六边形不一定是正六边形，故本选项说法错误，不符合题意；C、从n边形的一个顶点出发可以引（n－3）条对角线，本选项说法错误，不符合题意；D、n边形共有条对角线，故本选项说法正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的相关知识，属于基本题型，熟练掌握多边形的定义及其相关知识是解题的关键．◎考点3：多边形的内角和n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°

例．（2022·全国·八年级）若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(n﹣2)×180°=720°，然后解方程即可．【详解】解：（n−2）×180°＝720°，∴n−2＝4，∴n＝6．∴这个多边形的边数为6．故选：C．【点睛】设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°．解得n=6.故选C.本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键.变式1．（2022·全国·八年级）湖南革命烈士纪念塔是湖南烈士公园的标志性建筑，塔于1959年建成，以纪念近百年为人民解放事业献身的革命先烈，塔底平面为八边形，这个八边形的内角和是（）A．720° B．900° C．1080° D．1440°【答案】C【解析】【详解】解：（n﹣2）•180＝（8﹣2）×180°＝1080°．故这个八边形的内角和是1080°．故选：C．【点睛】本题考查正多边的内角和公式，熟练掌握公式运算是解题的关键．变式2．（2022·全国·八年级课时练习）一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2000°，则这个内角是（

）．A．160° B．140° C．200° D．20°【答案】A【解析】【分析】设多边形的边数是n，没加的内角为x，根据多边形的内角和公式，进行计算即可得解．【详解】解：设多边形的边数是n，没加的内角为x，根据题意得：，∵，∴，．故选：A．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式可得多边形的内角和是180°整数倍是解题的关键．变式3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，小明从正八边形（各边相等，各内角也相等）草地的一边AB上一点S出发，步行一周回到原处在步行的过程中，小明转过的角度的和是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据正八边形的内角和求出每个内角，再求出每次转过的角度45°，一共转8次，利用45°×8计算即可.【详解】解：∵ABCDEFGH为正八边形，∴每个内角为（82）×180°÷8=135°，小明每转一次转过的角为180°135°=45°，步行一周回到原处，小明一共转八次所有转过的角度之和为45°×8=360°，故选:D．【点睛】本题考查正八边形的内角和、每个内角、外角与外角和，掌握正多边形相关知识是解题关键．◎考点4：多边形的外角和n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。例．（2022·全国·八年级课时练习）若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（

）A．10 B．9 C．8 D．6【答案】D【解析】【分析】根据多边形的外角和等于360°计算即可．【详解】解：360°÷60°＝6，即正多边形的边数是6．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．变式1.（2022·全国·八年级课时练习）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（

）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形【答案】A【解析】【分析】根据多边形内角和公式和任意多边形外角和为定值360°列方程求解即可．【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，，，∴，故选：A．【点睛】本题考查的知识点多边形的内角和与外角和，熟记多边形内角和公式是解题的关键．变式2．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图，在六边形ABCDEF中，若，则（

）A．200° B．40° C．160° D．220°【答案】D【解析】【分析】根据多边形外角和定理进行求解即可．【详解】解：∵正六边形外角和为，，，．故选D．【点睛】本题考查了多边形外角和，牢记多边形的外角和等于是解题关键．变式3．（2022·全国·八年级课时练习）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，如果∠1＝41°，∠2＝51°，那么∠3等于（）A．5° B．10° C．15° D．20°【答案】B【解析】【分析】先算出三个图形的内角是多少，再根据三个平角的和即可求出∠3的值．【详解】如图所示：∵等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝108°，∴∠3+108°+∠BAC+∠1+60°+∠BCA+∠2+90°+∠ABC=540°（三个平角的为540°）∠3＝540°180°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝10°．故选：B．【点睛】本题考查多边形的内角和和外角和．找出图中的△ABC利用内角和是180°是解决本题的关键．◎考点5：平面镶嵌例．（2022·全国·八年级课时练习）下列正多边形的组合中，能够铺满地面不留缝隙的是（）.A．正六边形和正五边形 B．正八边形和正三角形C．正五边形和正八边形 D．正六边形和正三角形【答案】D【解析】【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．【详解】解：A.正六边形的每个内角是120°，正五边形每个内角是180°360°÷5=108°，120m+108n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；B.正八边形的每个内角为：180°360°÷8=135°，正三角形的每个内角60°．135m+60n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；C.正五边形每个内角是180°360°÷5=108°，正八边形的每个内角为：180°360°÷8=135°，108m+135n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；D.正六边形的每个内角是180°360°÷6=120°，正三角形的每个内角是60°，2×120°+2×60°=360°，或120°+4×60°=360度，能铺满；故选：D.【点睛】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．变式1．（2022·全国·八年级课时练习）生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是（）A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正十二边形【答案】B【解析】【分析】判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．【详解】A选项，2个正方形与3个正三角形能进行平面镶嵌，因为2×90°+3×60°＝360°，不符合题意；B选项，正五边形不能与正三角形进行平面镶嵌，因为正五边形的内角和108°．108°的整数倍与60°的整数倍的和不等于360°，符合题意；C选项，2个正六边形与2个三角形能进行平面镶嵌，因为2×120°+2×60°＝360°，不符合题意；D选项，2个正十二边形与1个正三角形能进行平面镶嵌，因为2×150°+1×60°＝360°，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．变式2．（2022·全国·八年级课时练习）在数学活动课中，我们学习过平面镶嵌，若给出如图所示的一些边长均为1的正三角形、正六边形卡片，要求必须同时使用这两种卡片