1.3.2空间向量的坐标运算学案高二上学期数学人教A版选择性

深圳市盐田高级中学20242025学年第一学期高二数学学案学案内容：高中数学选择性必修第一册学生姓名：学案编写：高二数学备课组编写日期：2024年09月第一章空间向量与立体几何1.6空间向量运算的坐标表示一、【复习导入看数学】有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示吗？二、【课堂教学明新知】◆知识点一空间向量运算的坐标表示若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则加法a+b=

减法ab=

数乘λa=,λ∈R

数量积a·b=

◆知识点二空间向量运算的坐标表示的应用若a≠0,b≠0,a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则共线a∥b⇔⇔(λ∈R)

垂直a⊥b⇔⇔

向量长度|a|==

向量夹角公式cos<a,b>==

空间两点间的距离公式设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,O为坐标原点,则P1P2=OP2OP1=,P1◆探究点一空间向量的坐标运算例1已知a=(2,1,2),b=(0,1,4),求a+b,ab,a·b,(a+b)·(ab).变式1：(多选题)[2024·福州六校高二期中]已知向量a=(1,2,2),b=(6,3,2),则下列结论正确的是()A.a+b=(7,1,4)B.ab=(5,1,0)C.a·b=4D.|a|=5◆探究点二空间向量平行、垂直的坐标表示及应用例2已知空间三点A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4).设a=AB,b=AC.(1)若|c|=3,c∥BC,求c;(2)若ka+b与ka2b互相垂直,求k.变式2：设x,y∈R,向量a=(x,1,0),b=(2,y,2),c=(1,2,1),且a⊥b,b∥c,则|a+b|=()A.14 B.10C.29 D.27◆探究点三利用空间向量的坐标运算求夹角及长度例3如图，在棱长为1的正方体中，M为的中点，，分别在棱，上，，．（1）求的长．（2）求与所成角的余弦值．变式3：如图,在棱长为2的正方体中,E,F分别是DD1,DB的中点,G在棱CD上,且CG=13CD,H是C1G的中点.建立适当的空间直角坐标系,解决下列问题(1)求证:EF⊥B1C;(2)求cos<EF,C1G(3)求FH的长.拓展题：在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,P是底面ABCD(含边界)上一动点,满足A1P⊥AC1,则线段A1P长度的取值范围是 ()A.62,2 B.62,3C.[1,2] D三、【课堂检测练能力】1.（多选题）已知空间向量，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．与夹角的余弦值为2.已知为单位正交基底，且，，则向量的坐标为___________，a∙b的值为___________.3.在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则___________；___________.4.如图,在四面体ABCD中,若向量AB=(3,5,2),CD=(7,1,4),E,F分别为BC,AD的中点,则EF的坐标为()A.(2,3,3)B.(2,3,3)C.(5,2,1)D.(5,2,1)5.已知向量a=(5,3,1),b=-2,t,-25,若a与6.在z轴上求一点M，使点M到点与点的距离相等．四、【课堂小结提素养】我们本节课学习了哪些知识（即学习重点），需要注意的点是什么（即学习难点）？1.6空间向量运算的坐标表示参考答案二、课堂教学明新知例1解:a+b=(2,1,2)+(0,1,4)=(2+0,11,2+4)=(2,2,2).ab=(2,1,2)(0,1,4)=(20,1+1,24)=(2,0,6).a·b=(2,1,2)·(0,1,4)=2×0+(1)×(1)+(2)×4=7.2a·(b)=2(a·b)=2×(7)=14.(a+b)·(ab)=(2,2,2)·(2,0,6)=2×22×0+2×(6)=8.变式1AC[解析](1)对于A,因为a=(1,2,2),b=(6,3,2),所以a+b=(7,1,4),故A正确;对于B,因为a=(1,2,2),b=(6,3,2),所以ab=(5,5,0),故B错误;对于C,因为a=(1,2,2),b=(6,3,2),所以a·b=1×62×3+2×2=4,故C正确;对于D,因为a=(1,2,2),所以|a|=1+4+4=3,故D错误.故选AC.例2解:(1)因为BC=(2,1,2)且c∥BC,所以设c=λBC=(2λ,λ,2λ)(λ∈R),所以|c|=(-2?)2+(-?)2+(2?)(2)因为a=AB=(1,1,0),b=AC=(1,0,2),所以ka+b=(k1,k,2),ka2b=(k+2,k,4).因为(ka+b)⊥(ka2b),所以(ka+b)·(ka2b)=0,即(k1,k,2)·(k+2,k,4)=2k2+k10=0,解得k=2或k=52变式2C[解析]因为向量a=(x,1,0),b=(2,y,2),c=(1,2,1),且a⊥b,b∥c,所以2x+y+2×0=0,21=y-2,解得y=4,x=2,所以向量a=(2,1,0),b=(2,4,2),所以a+b=(4,3,2),所以|a+b|=42解：（1）建立如图1.39所示的空间直角坐标系，则点A的坐标为，点M的坐标为．于是．（2）由已知，得，，，，所以，，，．所以．所以所以，与所成角的余弦值是．变式3解:(1)证明:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),E(0,0,1),F(1,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),B1(2,2,2),G0,4因为EF=(1,1,1),B1C=(所以EF·B1C=(1,1,1)·(2,0,2)=1×(2)+1×0+(1)×(2)=0,所以EF⊥B1C,故EF(2)因为C1G=0,-23,-因为|EF|=3,且EF·C1G=(1,1,1)·0,-23,-所以cos<EF,C1G>=EF·C1(3)因为H是C1G的中点,所以H0,又因为F(1,1,0),所以HF=1,-故|FH|=12+-23即FH=223拓展A[解析]如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),∴AC1=(1,1,1),∵P是底面ABCD(含边界)上一动点,∴可设P(x,y,0)(0≤x≤1,0≤y≤1),则A1P=(x,y,1),∵A1P⊥AC1,∴A1P·AC1=x+y1=0,∴y=1x,