考点14锐角三角函数（原卷版）

考点14锐角三角函数锐角三角函数主要包括：正切、正弦、余弦，特殊角的三角函数，由三角函数求锐角，解直角三角形以及用锐角三角函数解决实际问题，在江苏省各地的中考中，除用锐角三角函数解决实际问题常考查解答题外，多以选择和填空考查为主，在选择和填空中除解直角三角形考查难度较大以外，其他知识的考查较为简单。一、锐角三角函数的概念与特殊角的锐角三角函数值；二、解直角三角形；三、锐角三角函数的实际应用。考向一：锐角三角函数的概念与特殊角的锐角三角函数值1.锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα30°45°160°1．（2022·上海市青浦区沈巷中学九年级期中）在中，，那么边的长为（

）A． B． C． D．2．（2022·上海市曹杨第二中学附属学校九年级期中）已知在中，，，，那么的长等于（）A． B． C． D．3．（2022·安徽·合肥市第二十三中学九年级月考）如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，则的值是（

）A．1 B． C． D．4．（2022·广东·佛山市南海外国语学校九年级月考）的值等于（

）A．1 B． C．3 D．5．（2022·浙江·温州市第三中学模拟）某滑梯示意图及部分数据如图所示．若，则的长为（

）A． B． C． D．考向二：解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：1）三边关系：a2+b2=c2；2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；4）sin2A+cos2A=1．3．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.1．（2022·安徽·合肥市第二十三中学九年级月考）如图，在中，，，P为边上的一个动点（不与A、C重合），连接，则的最小值是（

）A． B． C． D．82．（2022·陕西师大附中九年级月考）如图，是的高，若，则边的长为（）A． B． C． D．3．（2022·浙江·杭州市丰潭中学九年级月考）圆内接正六边形的边长为2，则该圆内接正三角形的边长为（）A．4 B． C． D．4．（2022·江苏·沭阳县怀文中学九年级期中）以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（）A．8，8，8 B．4，10，10 C．5，12，13 D．6，8，105．（2022·安徽·九年级期中）如图，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线﹣﹣运动到点停止．图②是点，运动时的面积与运动时间的函数关系的图像，则的值为（）A．2 B． C．3 D．4考向三：锐角三角函数的实际应用1．仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．3．方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．1．（2022·陕西师大附中九年级月考）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，坡高，则迎水坡宽度的长为（）A． B． C． D．2．（2022·浙江·宁波市镇海蛟川书院模拟）如图，为了测量山坡上一棵树的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为，然后他沿着正对树的方向前进到达点B处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是和，设垂直于AB，且垂足为C．则树的高度为（）（结果精确到，）A．18.9 B．18.8 C．19.0 D．19.13．（2022·山西太原·九年级月考）如图，小明为了测量门口一棵大树的高度，他自制一个纸板测量大树的高度，已知，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，测得边离地面的高度，，则树的高度是（

）A．7m B．m C．8m D．m4．（2022·山西长治·九年级月考）如图，这是某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河坝面宽减少的长度等于（

）（结果精确到，参考数据）A． B． C． D．5．（2022·吉林·长春博硕学校九年级月考）某火箭从地面P处发射，当火箭达到A点时，从位于地面Q处雷达站测得A、Q的距离是500米，仰角为，则发射点P与雷达站Q之间的距离是（）A．米 B．米 C．米 D．米1．（2022·四川遂宁·模拟）如图，工人师傅准备从一块斜边长为的等腰直角材料上裁出一块以直角顶点为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥接缝处忽略，则圆锥的底面半径为（）A． B． C． D．2．（2022·浙江·杭州北苑实验中学模拟）如图，在中，，，，则的值为（

）A． B． C． D．3．（2022·山东·阳信县实验中学模拟）如图所示，已知是的外接圆，是的直径，连接，若，则的值为（）A． B． C． D．4．（2022·宁夏·固原市原州区三营中学一模）如图，在中，，点O在上，经过点A的与相切于点D，交于点E，若则图中阴影部分面积为（）A． B． C． D．5．（2022·山东省实验初级中学模拟）在正方形网格中，△ABC在网格中的位置如图，则cosB的值为（）A． B． C． D．26．（2022·辽宁·丹东市第十七中学一模）如图，等腰中，，点D在线段上运动（不与A、B重合），将与分别沿直线翻折得到与，给出下列结论：①；②面积的最小值为；③当点D在的中点时，是等边三角形；④当时，的长为；其中所有正确结论的序号是（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④7．（2022·山东·济南市东方双语实验学校模拟）如图，从地到地的飞机航线经过某市的地标建筑物A的上空，一架飞机在从地飞往N地途中处测得建筑物A顶部的俯角为，继续沿航线飞行千米，飞机恰好处于建筑物A的正处，则此时飞机距建筑物A的顶部的距离是（）A．2千米 B．2千米 C．2千米 D．千米8．（2022·浙江·宁波外国语学校一模）如图，在矩形纸片中，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，点、、恰好在同一直线上，若，，，则的长是（

）A． B． C． D．9．（2022·浙江·杭州绿城育华学校模拟）已知为锐角，若，则的度数为______．10．（2022·山东滨州·模拟）如图，在等腰三角形中，，底边，则底角的余弦值为___________．11．（2022·浙江·宁波市镇海蛟川书院模拟）如图，为的直径，为上一点，连接为的切线，过切点作，交直线于点，连接交于点，若，，则_____．12．（2022·河南·郑州外国语中学模拟）如图，已知在长方形纸条中，点G在边上，，将该纸条沿着过点G的直线翻折后，点C、D分别落在边下方的点E、F处，且点E、F、B在同一条直线上，折痕与边交于点H，与交于点M．设，那么的周长为______（用含t的代数式表示）13．（2022·吉林长春·模拟）如图，点，，点是一点，若，则的面积为______．14．（2022·山东临沂·三模）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上，已知直角三角纸板中，测得眼睛D离地面的高度为米，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是___________m．15．（2022·浙江衢州·模拟）计算：16．计算：．17．（2022·江苏镇江·一模）本学期小明经过一段时间的学习，想利用所学的数学知识对某小区居民楼的高度进行测量．如图，先测得居民楼与之间的距离为31m，后站在F点处测得居民楼的顶端C的仰角为．居民楼的顶端A的仰角为．已知居民楼的高度为m，小莹的观测点E距地面m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．（参考数据：）18．（2022·河南驻马店·模拟）如图所示，当一热气球在点A处时，其探测器显示，从热气球看高楼顶部点B的仰角为，看高楼底部点C的俯角为，热气球与高楼的水平距离为60米，那么这栋楼高是多少米？（结果保留根号）．19．（2022·四川·泸州国家高新区初级中学校模拟）如图，在平面直角坐标系中，，P为线段上一动点，过O，P，B三点的圆交x轴正半轴于点C，连接，设．(1)求证：当P与A重合时，四边形是矩形．(2)连接，求的值．(3)设圆心为M，连接，当四边形中有一组对边平行时，求所有满足条件的m的值．20．（2022·宁夏·固原市原州区三营中学一模）如图，在中，，以为直径的圆交与点E和点D，且E为的中点，过E点作与点F，(1)求证：是的切线；(2)求的值．1．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰中，，BC=，同时与边的延长线、射线相切，的半径为3．将绕点按顺时针方向旋转，、的对应点分别为、，在旋转的过程中边所在直线与相切的次数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·江苏南通·中考真题）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为___________m（结果保留根号）．3．（2022·江苏扬州·中考真题）在中，，分别为的对边，若，则的值为__________．4．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，在正方形网格中，的顶点、、都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则_________．5．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连.为了计算、两点之间的距离，经测量得：，，米，求、两点之间的距离．（参考数据：，，，，，）6．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面，坡角．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为，在坡面上的影长为．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．7．（2022·江苏镇江·中考真题）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是，高为．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径、以及、组成的轴对称图形，直线为对称轴，点、分别是、的中点，如图2，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角，发现并证明了点在上．请你继续完成长的计算．参考数据：，，，，，．8．（2022·江苏盐城·中考真题）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m．(1)求、两点之间的距离；(2)求长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，，）9．（2022·江苏泰州·中考真题）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°，厂房高AB=8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少?（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）10．（2022·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．(1)当点E在上时，作，垂足为M，求证；(2)当时，求的长；(3)连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值．1．（2022·江苏宿迁·二模）在中，、、，则的值是（）A． B． C． D．2．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）如图，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，则tan∠CBD的值为（）A．5 B． C．3 D．3．（2022·江苏·无锡市天一实验学校三模）如图，平行四边形OABC的周长为7，，以O为原点，OC所在直线为x轴建立直角坐标系，函数的图象经过OABC顶点A和BC的中点M，则k的值为（

）A． B． C． D．4．（2022·江苏徐州·模拟）如图，是正方形的内切圆，切点分别为，，，，与相交于点，则的值是（

）A． B． C． D．5．（2022·江苏无锡·模拟）如图，△ABC∽△DBE，延长AD，交CE于点P，若∠DEB＝45°，AC＝2，DE，BE＝1.5，则tan∠DPC＝（）A． B．2 C． D．6．（2022·江苏南通·二模）如图1，中，，．点P从点A出发，沿边AB向点B运动．过点P作，垂足为P，PQ交的边于点Q，设，的面积为y．y与x之间的函数关系大致如图2所示，则当时，y的值为（

）A．3 B．2 C． D．7．（2022·江苏淮安·二模）如图，在中，点D在上，，垂足为C，若，则的值是（

）A． B． C． D．8．（2022·江苏苏州·一模）如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，点A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则tan∠BOD的值为（

）A．3 B． C．2 D．9．（2022·江苏镇江·一模）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线折叠得到，交于点，连接，若，，，则的长是______．10．（2022·江苏·射阳县第六中学二模）如图，反比例函数在第一象限的图象上一点，在轴上，点的纵坐标为1，若，的面积是，则的值是______．11．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校二模）如图，四边形是矩形的内接矩形，且，，，则的值为______．12．（2022·江苏·常州市北郊初级中学二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点O均落在格点上，则∠AOB的正切值为_____．13．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学三模）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC=2，则图中阴影部分的面积是________．14．（2022·江苏南通·二模）狼山位于江苏南通南城南的狼山风景名胜区，高不过百余米，却与南岳衡山、中岳嵩山、江西庐山、北京香山等同列“中国佛教八小名山”，是江北著名旅游佳地．如图，亮亮同学去狼山风景区旅游时，利用无人机从A处测得狼山顶部点B的仰角为45°，测得狼山底部点C的俯角为60°，此时无人机与BC的水平距离AD长为40m，那么亮亮同学测得狼山的高度BC约为______m（结果保留整数，）．15．（2022·江苏·无锡市天一实验学校模拟）计算：(1)；(2)；(3)若是锐角，，求的值．16．（2022·江苏泰州·模拟）如图，小明在大楼高（即，且）的窗口处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为，已知该山坡的坡度（即）为（点，，，，在同一个平面上，点，，在同一条直线上）．(1)的度数等于________度（直接填空）(2)求，两点间的距离（结果精确到，参考数据：，）17．（2022·江苏·连云港市新海初级中学三模）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于墨子备城门，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．(1)求点A位于最高点时到地面的距离；(2)当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A1时，求此时水桶B上升的高度．（考数据：）18．（2022·江苏·盐城市初级中学三模）如图①，将“欢迎光临”门挂倾斜放置时，测得挂绳的