清单02数列概念与等差等比数列（考点清单知识导图15个考点清单题型解读）

清单02数列的概念与等差、等比数列（15个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】数列的概念1．定义：按照确定的顺序排列的一列数称为数列．2．项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．第一个位置上的数叫做这个数列的第1项(或称为首项)，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，…，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项．3．数列的表示：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}，其中n∈N*.【清单02】数列的分类与通项公式1．数列的分类分类标准名称含义按项的有穷数列项数有限的数列个数无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第eq\a\vs4\al(2)项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第eq\a\vs4\al(2)项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列2．数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．【清单03】数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．【清单04】等差数列的概念1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母eq\a\vs4\al(d)表示．2．等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.【清单05】等差数列1．等差数列的通项公式已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.递推公式通项公式an＋1－an＝dan＝a1＋(n－1)d2．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数选用公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d【清单06】等比数列1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，第一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab.3.等比数列的通项公式已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1.4.等比数列的前n项和公式已知量首项a1、项数n与公比q首项a1、末项an与公比q公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1q＝1，,\f(a11－qn,1－q)q≠1))Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1q＝1，,\f(a1－anq,1－q)q≠1))5.等比数列前n项和的性质(1)等比数列{an}中，若项数为2n，则eq\f(S偶,S奇)＝eq\a\vs4\al(q)；若项数为2n＋1，则eq\f(S奇－a1,S偶)＝eq\a\vs4\al(q).(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)．(3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔数列{an}为等比数列．【考点题型一】数列的概念【例1】（2324高二下·四川绵阳·开学考试）（多选）下面四个结论正确的是（

）A．数列的项数是无限的B．数列的图像是一系列孤立的点C．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列D．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数【答案】BD【解析】A选项，有限数列的项数是有限的，故A错误；B选项，因数列的项数均为正整数，则若将项数作为横坐标，项作为纵坐标画在平面直角坐标系中，则相应图象为一系列孤立的点，故B正确.C选项，相同数列是指，两个数列，相同的项数对应相同的项，则数列1，2，3，4和数列1，3，4，2不是相同的数列，故C错误；D选项，因数列的项数均为正整数，项数与项一一对应，且分为有限数列与无限数列，则数列可看作定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数，故D正确.故选：BD【变式11】（2324高二上·广东东莞·期中）下列叙述正确的是（

）A．数列是递增数列B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为C．数列0，0，0，1，…是常数列D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列【答案】A【解析】对于A项，设，则对恒成立，所以，数列是递增数列.故A正确；对于B项，当时，与第一项为0不符.故B项错误；对于C项，数列中的项并不完全相同.故C项错误；对于D项，根据数列的概念，数列与顺序有关.所以，数列2，4，6，8与数列8，6，4，2不是相同的数列.故D项错误.故选：A.【考点题型二】求数列项的最值求数列最大(小)项的方法（1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项．（2）利用，求数列中的最大项；利用，求数列中的最小项.当解不唯一时，比较各解大小即可确定．【例2】（2324高二下·吉林长春·期中）已知，则数列的偶数项中最大项为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】数列中，，则，令，解得，则当时，，即，同理当时，，即，而当时，，所以数列的偶数项中最大项为.故选：D【变式21】（2324高二上·安徽马鞍山·月考）已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】，当，时，，，且随着的变大，变大，当，时，，，且随着的变大，变大，故这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是，.故选：C【变式22】（2425高三上·山西大同·期末）等比数列中，为其前项和，，且成等差数列，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】先根据等差中项及等比数列得通项求出公比，再根据等比数列的前项和公式求出，判断出数列的单调性即可得解.【解析】设公比为，由成等差数列，得，又数列an为等比数列，所以得，解得，所以，令，则，所以数列递增数列，所以当时，取得最小值1.故选：D.【考点题型三】数列的周期性【例3】（2324高二下·辽宁沈阳·阶段练习）在数列中，，，则（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根据递推式写出数列前面几项得出数列周期，进一步即可求解.【解析】由题意可得：，由此可以发现数列的周期是3，从而.故选：A.【变式31】（2324高二上·广东湛江·阶段练习）在数列中，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据递推公式列出数列的前几项，找到规律，即可判断.【解析】因为且，所以，，，，，，所以是以为周期的周期数列，所以.故选：C【变式32】（2324高二下·四川·期中）已知数列满足，，则数列前2024项的积为（）A．4 B．1 C．

D．【答案】B【分析】先找到数列an的周期，然后求得数列an前2024【解析】因为，所以，，所以数列an的周期为4.由，则，，，所以数列an前2024项的乘积为.故选：B.【变式33】（2324高二下·河南·期中）已知数列满足，且，若，则m的值可能为（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】D【解析】数列的递推公式为，由，则有，，，，，则是以4为周期的周期数列，，有，，故m的值可能为2024，故选：D．【考点题型四】等差数列的概念判断或证明一个数列是等差数列的方法1、定义法：（常数）是等差数列；2、中项法：是等差数列；3、通项公式法：（，为常数）是等差数列。【例4】（2324高二下·海南·期中）下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据等差数列的定义即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，不为常数，故A错误，对于B，为常数，故B正确，对于C,不为常数，故C错误，对于D，不为常数，故D错误，故选：B【变式41】（2324高二下·山东菏泽·期中）从1，2，3，…，9这9个数字中任取3个不同的数字，使它们成等差数列，则这样的等差数列共有（

）A．16个 B．24个 C．32个 D．48个【答案】C【分析】分别对公差的各不同取值判断等差数列的个数，即可求解．【详解】解：当公差时，数列有1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；，5，6，7；6，7，8；7，8，9共7个；当公差时，数列有1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9共5个；当公差时，数列有1，4，7，；2，5，8；3，6，9共3个；当公差时，数列有1，5，9共1个，同理，当时，有7个，当时，有5个，当时，有3个，当时，有1个，故共有．故选：C．【变式42】（2324高二下·浙江·期中）对于数列，设甲：为等差数列，乙：，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据等差数列的通项公式计算可证明充分性；由得，两式相减，结合等差中项的应用即可证明必要性.【详解】充分性：若an则．必要性：若，则，两式相减得，即，所以an是等差数列．所以甲是乙的充要条件.故选：C．【考点题型五】等差数列基本量的计算（1）在等差数列中，，或，两个公式共涉及，，，及五个基本量，它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、末项和前项和；、（2）依据方程的思想，在等差数列前项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”。【例5】（2425高二上·福建龙岩·开学考试）等差数列满足，，则该等差数列的公差（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据条件，利用等差数列的前项和公式，得到，进而得到，即可求解.【详解】由，得到，又，所以故.故选：B.【变式51】（2425高二上·全国·随堂练习）已知等差数列，，1，…，则该数列的第20项为（

）A．52 B．62 C． D．【答案】A【分析】由题意先求出等差数列的首相和公差，可求出等差数列的通项公式，令即可得出答案.【详解】由题意设等差数列的首相和公差分别为，所以，所以，所以.故选：A.【变式52】（2324高二下·广东·期中）已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，且的前n项和为，则（

）A．910 B．900 C．890 D．880【答案】A【分析】先确定新数列的首项，再根据两个等差数列的公共项构成的数列依然是等差数列，且公差是原来两个等差数列公差的最小公倍数确定公差，可求前10项和.【详解】因为两个等差数列的首项均为1，公差分别为4，5，所以an是首项为1，公差为的等差数列，则．故选：A【变式53】（2324高二下·江西萍乡·期中）等差数列中，，则（

）A．40 B．30 C．20 D．10【答案】B【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．【详解】设等差数列的公差为，，则，，则，解得，，．故选：B．【考点题型六】等差数列项的性质【例6】（2425高二上·全国·课后作业）等差数列中，若，为方程的两根，则等于（

）A．10 B．15 C．20 D．40【答案】B【分析】根据韦达定理求得，然后利用等差数列下标和的性质求解即可.【详解】∵，为方程的两根，∴，由等差数列的性质得，即，∴.故选：B【变式61】（2324高二下·陕西渭南·期中）已知为等差数列，，，则（

）A．6 B．9 C．12 D．17【答案】B【分析】根据下标和性质计算可得.【详解】因为，且，所以，又，所以，又，所以，解得.故选：B【变式62】（2324高二下·四川自贡·期中）在等差数列中，若，则的值为（

）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】C【分析】直接由等差数列的性质即可求解.【详解】由题意.故选：C.【变式63】（2324高二上·甘肃定西·阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（

）A．5 B．6 C．9 D．11【答案】C【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得.【详解】因为等差数列和的前项和分别为和，且，所以.故选：C【考点题型七】等差数列和的性质【例7】（2324高二下·海南·期末）记为等差数列的前项和，若，则（

）A．144 B．120 C．108 D．96【答案】B【分析】根据等差数列的前项和性质解题即可.【详解】记为等差数列的前项和,则也是等差数列.由于，则成等差数列.则，解得.则成等差数列．故，则.故选：B.【变式71】（2324高二下·甘肃庆阳·期中）已知等差数列的前项和为，且，则（

）A．16 B．18 C．24 D．26【答案】B【分析】利用等差数列的前项和的性质代入计算即得.【详解】因为an是等差数列，所以也是等差数列，即，即，解得.故选：B.【变式72】（2425高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为30，前项和为90，则它的前项和为（

）A．130 B．150 C．180 D．210【答案】C【分析】由等差数列片段和的性质即可求解.【详解】等差数列的前项和中，也成等差数列，即成等差数列，．故选：C．【考点题型八】等差数列和的最值问题【例8】（2324高二下·全国·课堂例题）若数列为等差数列，为前n项和，，，，则下列说法错误的是（

）A． B． C． D．和均为的最大值【答案】C【分析】设等差数列的公差为，根据题意，得到，结合等差数列的性质，逐项判定，即可求解.【详解】依题意，设等差数列的公差为，由，得，对于A，由，A正确；对于B，由，B正确；对于C，由，，C错误；对于D，由，可得数列为递减数列，且，则，所以和均为的最大值，D正确.故选：C【变式81】（2324高二下·陕西渭南·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据给定条件，结合等差数列性质，探讨数列单调性，并确定非正数项即可得解.【详解】等差数列中，，，则，因此数列是递增等差数列，前5项均为负数，从第6项起为正，所以当取得最小值时，.故选：B【变式82】（2324高一上·内蒙古呼伦贝尔·月考）解关于x的不等式.【考点题型九】等差数列的应用【例9】（2324高二下·北京房山·期中）世界上最古老的数学著作《莱因德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为（

）A．磅 B．磅 C．磅 D．磅【答案】D【分析】结合题意，利用等差数列的性质计算即可得.【详解】设五个人从小到大所得面包为、、、、，设其公差为，则由题意可得，即，整理可得，又，即，即有，即，即最小的1份为磅.故选：D.【变式91】（2425高二下·全国·单元测试）有一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报两个数字2、3，接下来报三个数字4、5、6，然后轮到报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2024个数字为（

）A．5983 B．5984 C．5985 D．以上都不对【答案】B【分析】由数列的求和公式求解．【详解】由题意知，A第n次报数的个数为：，则A第n次报完数后共报的个数为：，再代入正整数n，使得，则，解得n的最小值为37，得，而A第37次报时，3人总共报了次，当A第109次报完数，3人总的报数个数为：，则A报出的第2035个数字为5995，故A报出的第2024个数字为：，故选：B【变式92】（2425高二上·全国·随堂练习）“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（

）A．3.4升 B．2.4升 C．2.3升 D．3.6升【答案】A【分析】根据题意建立数列模型，由等差数列定义可求得首项和公差，即可求出结果.【详解】设从下至上各节的容积分别为，由题意知为等差数列，公差为，因为，即，解得所以．故选：A【考点题型十】等比数列的定义【例10】（2324高二下·辽宁·期中）（1）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数p；（2）设，是公比不相等的两个等比数列，，证明：数列不是等比数列．【答案】（1）或；（2）证明见解析【分析】（1）利用等比数列的定义及等比中项的性质待定系数计算即可；（2）利用等比数列的定义，证前三项不符合等比数列定义即可.【详解】（1）∵是等比数列，∴，将代入上式，得，即，整理得：．解得：或；（2）设，的公比分别为p，q，，，为证不是等比数列，只需证：．事实上，，．由于，，又，不为零，则，因此，，故不是等比数列．【变式101】（2324高二下·浙江·开学考试）已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足，则下列结论正确的是（

）A．数列为等比数列B．数列为等差数列C．数列中任意三项不能构成等比数列D．数列中可能存在三项成等比数列【答案】BC【分析】设数列的公差为，求出的值，求出、，利用等差数列的定义可判断AB选项；利用反证法结合等比数列的定义可判断CD选项.【详解】设数列的公差为，则，所以，，所以，，则，所以，数列为等差数列，所以，，所以，数列为等差数列，故B正确，A错误；（反证法）假设数列中存在三项、、能构成等比数列，即成立，由上可得，所以，，整理得：，所以，，可得，可得，整理可得，可得，与已知条件矛盾，所以，数列中任意三项不能构成等比数列，同理可知，数列中任意三项不能构成等比数列，故C正确，D错误.故选：BC.【变式102】（2425高二上·全国·课堂例题）判断下列数列是否为等比数列：(1)；(2)；(3).【答案】(1)是等比数列(2)不是等比数列(3)答案见解析【分析】（1）（2）（3）由等比数列定义判断或证明即可.【详解】（1）记数列为an，则．，数列an为等比数列，且公比为3；（2）记数列为an，则，，，…，，数列an不是等比数列．（3）当时，数列为不是等比数列；当时，因为，所以数列是等比数列，且公比为；综上所述，当时，数列不是等比数列；当时，数列是等比数列.【变式103】（2324高二下·陕西西安·阶段练习）已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)判断数列是否为等比数列；(3)证明：数列为等差数列，并求该数列的前项和．【答案】(1)(2)数列不为等比数列(3)数列为等差数列，【分析】（1）分和两种情况，根据与之间的关系分析求解；（2）由（1）可知：，取前三项检验即可；（3）由（1）可知：，利用等差数列的定义以及求和公式分析求解.【详解】（1）因为，若，可得；若，可得；由于不符合，所以.（2）由（1）可知：，则，可知，所以数列不为等比数列.（3）因为，则，由（1）可知：，则，可知数列是以首项，公差的等差数列，所以该数列的前项和.【考点题型十一】等比数列的基本量计算【例11】（2425高二上·福建龙岩·开学考试）等比数列中，若，则公比为（）A．1 B．－2 C．2 D．2或－2【答案】C【分析】由等比数列定义得，结合已知即可得解.【详解】设等比数列an的公比为，因为，所以，故选：C.【变式111】（2024高二·全国·专题练习）记为等比数列的前项和．若，，则．【答案】【分析】运用等比数列通项公式构造方程组，解出首项和公比，即可求出【详解】设等比数列的公比为，①由，可得解得②所以．③故答案为：．【变式112】（2425高二上·全国·课前预习）在等比数列中：(1)若，，求和；(2)若，，求．【答案】(1)或(2)【分析】（1）（2）根据题意结合等比数列的通项公式列式求解即可.【详解】（1）因为，则，解得，当时，；当时，．综上所述：或.（2）因为，则，即．又因为，则，即．两式相除得，所以．【考点题型十二】等比数列项的性质【例12】（2324高二下·贵州毕节·期末）已知等比数列的各项均为正数，若，则等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】运用等比数列的下标性质，结合对数性质可解.【详解】，则，根据等比数列的性质，知道,则，则，即，则.故选：C.【变式121】（2324高二下·北京大兴·期中）已知数列是等比数列，若，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据等比数列的性质运算即可.【详解】因为是等比数列，所以，所以.故选：.【变式122】（2324高二下·山东日照·期末）已知等比数列，，为函数的两个零点，则（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】由题意，结合对数运算性质、等比数列性质即可求解.【详解】由题意是一元二次方程的两个根，由韦达定理有，而对于等比数列而言，，从而.故选：C.【考点题型十三】等比数列和的性质【例13】（2324高二下·辽宁沈阳·期中）在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（

）A．30 B．35 C．40 D．75【答案】B【分析】利用等比数列的片段和性质列式运算即可得解.【详解】因为正项等比数列中，为其前项和，则也是等比数列，即，又，，所以，解得.故选：B.【变式131】（2425高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（

）A．8 B． C．4 D．2【答案】D【分析】根据题意结合等比数列的性质运算求解.【详解】由题意可知：，所以．故选：D.【变式132】（2324高二下·江西吉安·期末）设等比数列的前n项和为，且，则（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【分析】法一：由性质可得答案；法二：求出，再求出其公比为2，则，化简即可.【详解】法一：设等比数列的公比为，等比数列的前n项和为，显然当时不合题意，则不等于1，则，令，则有，由题意，得.法二：当时，，当时，.，为等比数列，当时，，化简得.故选：C.【变式133】（2324高二下·江苏南京·开学考试）已知等比数列an共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】设奇数项和为,偶数项和为,再根据题意利用等比数列性质求解即可.【详解】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得，而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比.故选：B【考点题型十四】等比数列前n项积的最值【例14】（多选）（2324高二上·江苏南京·期末）设等比数列的公比为，前项积为，且满足条件，则下列选项正确的是（

）A．B．C．的值是中最大的D．使成立的最大自然数等于4044【答案】AD【分析】先由条件分类讨论得到，，再利用等比数列的性质即可求解.【详解】，，，同号，且或，若，则不同号；若，则，不满足要求；故可得，，故A正确；，且，可得，故B错；，又，且最大，故C错；，且为等比数列，由等比数列的性质可得，，使成立的最大自然数等于4044，故D正确.故选：AD.【变式141】（多选）（2324高二下·山东潍坊·阶段练习）记等比数列的前n项和为，前n项积为，且满足，则（）A． B．C．是数列中的最大项 D．【答案】ACD【分析】A选项，由等比数列性质得到；B选项，；C选项，得到，C正确；D选项，由等比数列性质得到，故D正确.【详解】A选项，由等比数列性质得，A正确；B选项，，故，B错误；C选项，设公比为，因为，所以，故，故是数列中的最大项，C正确；D选项，由等比数列性质得，故，D正确.故选：ACD【变式142】（多选）（2324高二下·陕西渭南·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C．数列中的最大值是 D．数列无最大值【答案】ABC【分析】根据题中条件，分析出an为单调递减的数列，，.A选项利用即可判断正确；B选项利用等比中项即可判断正确；C选项可分析出数列中多少项比大即可判断；D选项，利用C的判断，可判断D的正误.【详解