1.6完全平方公式（备作业）2021-2022学年七年级数学下册(北师大版)

1.6完全平方公式一、单选题1．下列式子满足完全平方公式的是（

）A．（3x﹣y）（﹣y﹣3x） B．（3x﹣y）（3x+y）C．（﹣3x﹣y）（y﹣3x） D．（﹣3x﹣y）（y+3x）【答案】D【分析】首先将各式变形，再根据完全平方公式的知识求解即可求得答案．【解析】解：A、∵（3xy）（y3x）=（3xy）（y+3x），∴不是完全平方式，故本选项错误；

B、（3xy）（3x+y），不是完全平方式，故本选项错误；

C、∵（3xy）（y3x）=（3x+y）（3xy），∴不是完全平方式，故本选项错误；

D、∵（3xy）（y+3x）=（3x+y）（y+3x）=（3x+y）2，∴是完全平方式，故本选项正确．

故选D．【点睛】此题考查了完全平方公式．解题的关键是注意符号的变化．2．展开后的结果是（）.A． B．C． D．【答案】B【分析】先把变成，然后根据完全平方公式展开即可.【解析】，故选B.【点睛】本题是对完全平方公式的考查，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键.3．若多项式是一个完全平方式，则m的值为（）A．12 B． C．6 D．【答案】B【分析】利用完全平方公式的结构特征解答即可．【解析】解：∵9x2mx+4是一个完全平方式，∴m=±12，∴m=±12．故选：B．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．若，下列等式：①②③④⑤，其中错误的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】利用完全平方公式以及平方差公式，进行逐一判断即可．【解析】解：故①说法正确；故②说法错误；故③说法正确，④说法错误；，故⑤说法正确；错误的有2个，故选C．【点睛】本题主要考查了乘法公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5．如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】我们通过观察可看出大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，从而得出结论．【解析】解：由图形可得：大正方形的边长为：a+b，则其面积为：（a+b）2，小正方形的边长为：（ab），则其面积为：（ab）2，长方形面积为：ab，大正方形的面积又可以表示为（ab）2+4ab，故（a+b）2=（ab）2+4ab．故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，认真观察，熟练掌握长方形、正方形、组合图形的面积计算方法是正确解题的关键．6．已知a－b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值是()A．4 B．9 C．13 D．15【答案】C【分析】先根据完全平方公式变形：a2+b2=（ab）2+2ab，再整体代入求出即可．【解析】解：∵ab=3，ab=2，

∴a2+b2=（ab）2+2ab=32+2×2=13，

故选C．【点睛】本题考查了对完全平方公式的应用，注意：完全平方公式是：（a+b）2=a2+2ab+b2，（ab）2=a22ab+b2．7．如图所示，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片有1张，长为、宽为的矩形卡片有4张，边长为的正方形卡片有4张，用这9张卡片刚好能拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】可根据拼前与拼后面积不变，求出正方形的边长．【解析】解：设拼成后大正方形的边长为x，则a2+4ab+4b2＝x2，则（a+2b）2＝x2，∴x＝a+2b，故选A．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景以及整式的混合运算，解题的关键是依据面积相等列方程．8．已知（a+b）2=7，（a﹣b）2=4，则a2+b2的值为（

）A．11 B．3 C．32 D．【答案】D【解析】【分析】直接利用完全平方公式把两个等式展开，然后相加化简求出答案即可【解析】∵（a+b）2=7，（a﹣b）2=4，∴a2+2ab+b2=7，a2﹣2ab+b2=4，∴2（a2+b2）=11，∴a2+b2=112故选：D．【点睛】此题考查了完全平方式，牢记公式是解题的关键.9．已知，则的值是A．3 B．7 C．9 D．11【答案】B【分析】利用完全平方公式将两边平方，即可得出的值．【解析】解：，，，，故选：．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式的特征是解题的关键．10．不论x，y为何有理数，x2+y2﹣10x+8y+45的值均为（）A．正数 B．零 C．负数 D．非负数【答案】A【解析】【解析】因为x2+y2－10x+8y+45=,所以x2+y2－10x+8y+45的值为正数,故选A.二、填空题11．（1）________；（2）________；（3）________；（4）________．【答案】【分析】（1）先提取一个负号，然后利用完全平方公式求解即可；（2）先提取一个负号，然后利用平方差公式求解即可；（3）先提取一个负号，然后利用平方差公式求解即可；（4）先提取一个负号，然后利用完全平方公式求解即可．【解析】解：（1）原式＝；（2）；（3）；（4）．故答案为：；；；．【点睛】本题主要考察了完全平方公式和平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握两个公式．12．（1）________________；（2）________；（3）________；（4）________；（5）________．【答案】【分析】（1）根据，求解即可；（2）根据，求解即可；（3）根据，求解即可；（4）根据，求解即可；（5）根据，求解即可．【解析】解：（1）∵，；（2）∵，∴；（3）∵，∴；（4）∵，∴；（5）∵，∴．故答案为：，；；；；．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式．13．若多项式是完全平方式，则的值为________．【答案】或【分析】根据完全平方公式，这里首末两项是x和3y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3y积的2倍．【解析】解：∵x2−kxy＋9y2是一个完全平方式，

∴−kxy＝±6xy，

∴k＝±6．

故填或．【点睛】本题主要考查完全平方公式，掌握两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．14．如果是一个完全平方式，则__________．【答案】1或3【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．【解析】解：∵=，∴2(m1)x=±2×x×2，解得m=1或m=3．故答案为1或3【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．15．要使成为一个完全平方式，可以加上一个单项式______.【答案】或【分析】根据完全平方公式的特征即可得出答案.【解析】①若把看成，把1看成，则缺少了中间项，中间项为±8x；②若把看成2ab，把1看成，则缺少了项，项为；故答案为：或.【点睛】本题考查的是完全平方公式，需要熟练掌握完全平方公式的特征.16．已知a、b满足等式，，则m、n的大小关系为________．【答案】【分析】利用作差法求出，然后根据完全平方公式将其配方，最后利用平方的非负性即可判断．【解析】解：，故答案为：．【点睛】此题考查的是用作差法比较大小，掌握完全平方公式和平方的非负性是解决此题的关键．17．已知，则______．【答案】0【分析】将变形得到，从而利用完全平方式的非负性求得x,y的值，代入求值即可【解析】解：∴∴原式=故答案为：0【点睛】本题考查利用完全平方公式求值，掌握公式结果正确计算是本题的解题关键.18．代数式的最大值是______，当取得最大值时，与的关系是______.【答案】4【分析】求代数式的最大值，即求的最小值，然后回答即可.【解析】求代数式的最大值，即求的最小值，，则代数式的最大值是4，则，则.【点睛】本题是对完全平方式的考查，熟练掌握完全平方式是解决本题的关键.19．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，则＋＝_______；当＋＝40时，则图3中阴影部分的面积_________．【答案】3420【分析】①分别用代数式表示出和，利用完全平方公式的变形化简，即可求得；②利用两个正方形的面积减去2个三角形的面积即得,运用①中的结论，即可求得．【解析】①，＋＝＋＝②＋＝=40，故答案为：34；20．【点睛】本题考查了完全平方公式，几何图形的面积，整式的乘法，熟悉完全平方公式是解题的关键．20．如图所示为杨辉三角函数表的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如为正整数）展开式的众数，请你仔细观察表中的规律，填出展开式中所缺的系数．______________+【答案】464【分析】根据杨辉三角，下一行的系数是上一行相邻两系数的和，然后写出各项的系数即可．【解析】（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．故答案为4，6，4．【点睛】本题考查了完全平方公式，发现杨辉三角形各项系数之间的关系是解答本题的关键．三、解答题21．运用完全平方公式计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）3969；（6）9604．【分析】利用完全平方公式直接求解即可．【解析】解：（1），（2），（3），（4），（5），，，（6），，．【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．22．运用完全平方公式计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根据完全平方公式直接进行计算；（2）根据完全平方公式直接进行计算；（3）根据完全平方公式直接进行计算；（4）根据完全平方公式直接进行计算．【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的运算是解答此题的关键．23．运用乘法公式计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）根据平方差公式，可得答案；（2）根据平方差公式，再根据完全平方公式，可得答案；（3）根据完全平方公式，可得答案；（4）根据平方差公式，再根据完全平方公式，可得答案．【解析】解：（1）原式＝[（3x−5）＋（2x＋7）][（3x−5）−（2x＋7）]＝（3x−5＋2x＋7）（3x−5−2x−7）＝（5x＋2）（x−12）＝；（2）原式＝[（x＋y）＋1][（x＋y）−1]＝−1＝；（3）原式＝＝−6（2x−y）＋9＝；（4）原式＝＝．【点睛】本题考查了完全平方公式，利用了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解题关键．24．计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【答案】（1）3；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可；（2）利用平方差和完全平方公式先去括号，然后合并同类项即可；（3）先提取公因式，然后利用平方差公式求解即可；（4）利用平方差和完全平方公式先去括号，然后合并同类项即可；（5）利用平方差和完全平方公式求解即可；（6）利用完全平方公式求解即可；（7）利用平方差公式求解即可；（8）利用平方差公式求解即可．【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【点睛】本题主要考查了乘法公式和整式的运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．25．（1）若，求的值；（2）若，，求的值．【答案】（1）25；（2）3【分析】（1）先根据，得到求出x、y的值，然后代值计算即可；（2）只需要得到即，由此求解即可．【解析】解：（1）∵，∴，∴，∴，，∴，，∴，；（2）∵，∴∵，∴∴，∵∴，∴．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式．26．求值：（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值；（3）若，，求的值；（4）当时，的值是10，求时，该代数式的值；（5）已知，求的值；（6）已知，求代数式的值；（7）已知，求代数式的值．【答案】（1）108；（2）8；（3）1；（4）；（5）；（6）；（7）0【分析】（1）根据进行求解即可；（2）根据进行求解即可；（3）根据，，然后两式相减即可求解；（4）时，的值是10，即可得到即，再把x=3代入求解即可；（5）根据，得到，由则最后可以得到，由此即可求解；（6）先利用多项式乘以多项式求得，从而得到，，由此求解即可；（7）根据，即可得到，求出x、y、z的值即可求解．【解析】解：（1）∵，，∴；（2）∵，∴，∴；（3）∵，，∴，∴；（4）∵时，的值是10，∴即，∴时，代数式的值；（5）∵，∴，∴、；（6）∵，∴，∴，，∴；（7）∵，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，整式的乘法，幂的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．27．（1）填空：________________；（2）若，求的值；（3）若，求的值．【答案】（1）2，2；（2）23；（3）7．【分析】（1）用完全平方公式进行解答即可得，（2）用完全平方公式进行解答即可得，（3）先将变形为，即可求得．【解析】解：（1）∵，∴，∵，∴；（2）；（3），，，则．【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是要灵活运用完全平方公式．28．甲、乙两人各持一张分别写有整式、的卡片．已知整式，下面是甲、乙二人的对话：甲：我的卡片上写着整式，加上整式后得到最简整式；乙：我用最简整式加上整式后得到整式．根据以上信息，解决下列问题：（1）求整式和；（2）请判断整式和整式的大小，并说明理由．【答案】（1）；；（2）；答案见解析．【分析】（1）依题意可得，代入各式即可求解；（2）化简，根据配方法的应用即可求解．【解析】解：（1）．∵，∴．（2）．理由：．∵，∴．【点睛】此题主要考查整式的加减及配方法的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的应用．29．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2（1）如图2，将