第17讲图形运动中函数关系的确定（练习）

第17讲图形运动中函数关系的确定（练习）1．（2018·上海八年级期末）观摩、学习是我们生活的一部分，而在观摩中与展览品保持一定的距离是一种文明的表现．某学校数学业余学习小组在平面直角坐标系xOy有关研讨中，将到线段PQ所在的直线距离为的直线，称为直线PQ的“观察线”，并称观察线上到P、Q两点距离和最小的点L为线段PQ的“最佳观察点”．(1)如果P(1，)，Q(4，)，那么在点A(1，0)，B(，2)，C(，3)中，处在直线PQ的“观察线”上的是点；(2)求直线y＝x的“观察线”的表达式；(3)若M(0，﹣1)，N在第二象限，且MN＝6，当MN的一个“最佳观察点”在y轴正半轴上时，直接写出点N的坐标；并按逆时针方向联结M、N及其所有“最佳观察点”，直接写出联结所围成的多边形的周长和面积．【答案】(1)A，B；(2)直线y＝x的“观察线”的解析式为y＝x﹣2或y＝x+2；(3)围成的图形是菱形MQNQ′，这个菱形的周长8，这个菱形的面积6．【分析】（1）由题意线段PQ的“观察线”的解析式为y=0或y=2，由此即可判断；

（2）如图2中，设直线的下方的“观察线”MN交y轴于K，作KE⊥直线，求出直线MN的解析式，再根据对称性求出直线的上方的“观察线”PQ即可；

（3）如图3中，设点Q是MN的一个“最佳观察点”，点P是MN的中点．解直角三角形求出点P坐标，再根据中点坐标公式求出等N坐标；观察图象可知：设此时的另一个“最佳观察点”为Q′，按逆时针方向联结M、N及其所有“最佳观察点”，所围成的图形是菱形MQNQ′，这个菱形的周长=8，这个菱形的面积=＝×6×2＝6．【详解】(1)如图1中，由题意线段PQ的“观察线”的解析式为y＝0或y＝2，∵点A在直线y＝0上，点B在直线y＝2上，∴点A，点B是直线PQ的“观察线”上的点，故答案为A，B．(2)如图2中，设直线y＝x的下方的“观察线”MN交y轴于K，作KE⊥直线y＝x，由题意：EK＝，∵直线y＝x与x轴的夹角为30°，∴∠EOK＝60°，∴∠EKO＝30°，∴tan30°＝＝，∴OE＝1，∴OK＝2OE＝2，∵MN∥直线y＝x，∴直线MN的解析式为y＝x﹣2，根据对称性可知在直线y＝x上方的“观察线”PQ的解析式为y＝x+2．综上所述，直线y＝x的“观察线”的解析式为y＝x﹣2或y＝x+2．(3)如图3中，设点Q是MN的一个“最佳观察点”，点P是MN的中点．当点Q在y轴的正半轴上时，连接PQ，则PQ垂直平分线线段MN．在Rt△PQM中，PQ＝，PM＝3，∴MQ＝＝2，∵M(0，﹣1)，OQ＝2﹣1，作PH⊥y轴于H．在Rt△PQH中，∵tan∠PQH＝＝，∴∠PQH＝60°，∴∠QPH＝30°，∴QH＝PQ＝，PH＝QH＝，∴OH＝2﹣1﹣＝﹣1，∴P(﹣，﹣1)，∵PN＝PM，∴N(﹣3，3﹣1)．观察图象可知：设此时的另一个“最佳观察点”为Q′，按逆时针方向联结M、N及其所有“最佳观察点”，所围成的图形是菱形MQNQ′，这个菱形的周＝8，这个菱形的面积＝×6×2＝6．【点睛】本题考查一次函数综合题、点到直线的距离、轨迹、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．2．（2018·上海民办浦东交中初级中学八年级月考）如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点A、B，再将△A0B沿直钱CD折叠，使点A与点B重合．折痕CD与x轴交于点C，与AB交于点D．（1）点A的坐标为；点B的坐标为；（2）求OC的长度，并求出此时直线BC的表达式；（3）直线BC上是否存在一点M，使得△ABM的面积与△ABO的面积相等？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（4，0），（0，3）；（2）y=﹣x+3;（3）见解析．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）设OC=x，则AC=BC=4﹣x，在Rt△BOC中，利用勾股定理求出x，再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；（3）过点O作OM∥AB交直线BC于M．由OM∥AB，可知S△AOB=S△ABM，由直线AB的解析式为，OM∥AB，推出直线OM的解析式为，由解得，可得M，根据对称性可知，经过点O′（0，6）与直线AB平行的直线与直线BC的交点M′，也满足条件．【详解】解：（1）令y=0，则x=4；令x=0，则y=3，故点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）．故答案为（4，0），（0，3）；（2）设OC=x，∵直线CD垂直平分线段AB，∴AC=CB=4﹣x，∵∠BOA=90°，∴OB2+OC2=CB2，32+x2=（4﹣x）2，解得∴∴设直线BC的解析式为y=kx+b，则有解得∴直线BC的解析式为（3）过点O作OM∥AB交直线BC于M．∵OM∥AB，∴S△AOB=S△ABM，∵直线AB的解析式为，OM∥AB，∴直线OM的解析式为由解得，∴M，根据对称性可知，经过点O′（0，6）与直线AB平行的直线与直线BC的交点M′，也满足条件，易知BM′=BM，设M′（m，n），则有∴∴M′综上所述，满足条件的点M坐标为或．【点睛】本题考查一次函数综合题、翻折变换、线段的垂直平分线的性质、等高模型、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会有添加辅助线，构造平行线解决问题，注意一题多解，属于中考压轴题．3．（2018·上海八年级期中）已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．（1）求点B的坐标；（2）求直线AE的表达式；（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．（4）若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．【答案】（1）B（8，0）；（2）y=﹣2x+6；（3）△OFB为等腰三角形，S△OBF=8；（4）y=（0＜x＜8）．【分析】（1）如图1中，设OE=x，作EM⊥AB于M．首先证明△AEO≌△AEM，推出AM=AO=6，由OA=6，OB=8，∠AOB=90°，推出AB=10，推出BM=4，在Rt△EBM中，根据EM2+BM2=EB2，可得x2+42=（8x）2，解方程即可．（2）根据S△AEB=，即可解决问题．（3）利用面积即可解决，方法类似（2）．【详解】解:（1）如图1中，∵一次函数y=x+6的图象与坐标轴交于A、B点，∴A（0，6），B（8，0），设OE=x，作EM⊥AB于M．∵AE平分∠OAB，OE⊥OA，∴OE=EM=x，在△AEO和△AEM中，，∴△AEO≌△AEM，∴AM=AO=6，∵OA=6，OB=8，∠AOB=90°，∴AB=10，∴BM=4，在Rt△EBM中，∵EM2+BM2=EB2，∴x2+42=（8x）2，∴x=3，∴E（3，0），设直线AE的解析式为y=kx+b则，解得，∴直线AE的解析式为y=2x+6．（2）由（1）可知OE=3，AE=，EB=5，∵S△AEB=•EB•OA=•AE•BF，∴BF=．（3）如图2中，在Rt△AOE中，，∴AE=，∵S△AEB=•EB•OA=•AE•BF，∴BF=，∴y=（0＜x＜8）．【点睛】本题考查一次函数综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积．勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用面积法求高.4．（2020·上海八年级期中）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．【答案】（1）C（0，6）．（2）y=x+6．（3）P1（4，3），P2（）P3（），P4（）．试题分析：（1）通过解方程x2﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．则C（0，6）；（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；（3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答．试题解析：（1）解方程x214x+48=0得x1=6，x2=8∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x214x+48=0的两个实数根∴OC=6，OA=8∴C（0，6）（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）由（1）知，OA=8，则A（8，0）∵点A、C都在直线MN上∴解得，∴直线MN的解析式为y=x+6（3）∵A（8，0），C（0，6）∴根据题意知B（8，6）∵点P在直线MNy=x+6上∴设P（a，a+6）当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）；②当PC=BC时，a2+（a+66）2=64解得，a=±，则P2（，），P3（，）③当PB=BC时，（a8）2+（a+66）2=64解得，a=，则a+6=∴P4（，）综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2(，)，P3(，)，P4（，）考点：一次函数综合题．5．（2021·上海奉教院附中八年级期末）如图，已知，直线，点P在线段上，点D为射线上一动点，连接，射线交直线于点E．已知，．（1）如图1，当点D在线段上时，求证：；（2）当时，请在图2中画出相应的图形，并求线段的长；（3）如果的平分线交射线于点G，设，，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）图见解析，2；（3）【分析】（1）先判断出，进而判断出，再判断出，得到即可；（2）依题意画出图形，由（1）得到，再判断出，求出，进而求出AE；（3）先表示出，再判断出，得到，在中，，即，即可．【详解】（1）证明：如图1，作于点H，作于点F，，．，．，即，．，．，，，，，；（2）如图2，作于点H，作于点F，同（1）得，，，，．，．，．，，，．∵在四边形AHPF中，，∴四边形AHPF是矩形，，；（3）如图3，作于点H，作于点F，由（2）得，，，，，．∵PG平分，．，，，在中，，即，．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质和判定，矩形的判定及性质，同角的余角相等，勾股定理，证明出是关键．6．（2018·上海八年级期中）如图，直线与轴相交于点，与直线相交于点．（1）求点的坐标；（2）请判断的形状并说明理由；（3）动点从原点出发，以每秒个单位的速度沿着的路线向点匀速运动（不与点、重合），过点分别作轴于，轴于，设运动秒时，矩形与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式．【答案】（1）；（2）等边三角形，见解析；（3）当时，，当时，【分析】（1）解两个函数解析式组成的方程组即可得到交点P的坐标；（2）过点P作PC⊥x轴于C，得到OC=2，PC=，AC=OAOC=2，根据勾股定理求出OP=4，AP=4，得到AP=OP=OA，即可得到是等边三角形的结论；（3）当时，OE=t，过点P作PC⊥x轴于C，根据EF∥PC，得到，求出EF=，OF=，得到；当时，AE=8t，BE交OP于M，根据EF∥PC，得到，求出，，根据∠BMO=∠POA=60°，BO=求出BM=BO=，根据S=求出函数解析式.【详解】解：（1）解方程组，，点的坐标是；（2）是等边三角形，当时，，的坐标是，过点P作PC⊥x轴于C，∵P，∴OC=2，PC=，∴AC=OAOC=2，∵∠PCO=90°，∴OP=4，同理AP=4，∴AP=OP=OA，∴是等边三角形；（3）当时，OE=t，过点P作PC⊥x轴于C，∵EF⊥x轴，∴EF∥PC，∴,∴，∴EF=，OF=，∴；当时，AE=8t，BE交OP于M，∵EF∥PC，∴,∴,∴，,∵∠BMO=∠POA=60°，BO=,∴BM=BO=，∴S===．【点睛】此题考查一次函数图象与几何图象，函数图象的交点坐标的求法，矩形的性质，动点问题与图形面积的函数解析式，等边三角形的判定.7．（2019·上海八年级期末）梯形中，，，，，、在上，平分，平分，、分别为、的中点，和分别与交于和，和交于点．（1）求证：；（2）当点在四边形内部时，设，，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当时，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）3或．【分析】（1）由中位线的性质，角平分线的定义和平行线的性质得出，易证，则结论可证；（2）过作交于点K，过点D作交于点，则得到矩形，则有，，然后利用（1）中的结论有，，在中，利用含30°的直角三角形的性质可得出QC，DQ的长度，然后在中利用勾股定理即可找到y关于x的函数关系式；（3）分两种情况：点在梯形内部和点在梯形内部，当点在梯形内部时，有；当点在梯形内部时，有，分别结论（2）中的关系式即可求出EG的长度．【详解】（1）证明：、分别是、的中点，．平分，．又，，，．点是的中点，．．（2）过作交于点K，过点D作交于点，∵，，，∴四边形是矩形，，．，，，同理：．在中，，，，．，．在中，．，即．．（3）①点在梯形内部．∵是梯形的中位线，，即．解得：，即．②点在梯形内部．同理：．解得：，即．综上所述，EG的长度为3或．【点睛】本题主要考查四边形的综合问题，掌握中位线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理是基础，能够作出辅助线并分情况讨论是解题的关键．8.如图所示：长方形纸片ABCD的边AB=2，BC=3，点M是边CD上的一个动点，（不与点C重合），把这张长方形纸片折叠，使点B落在M上，折痕交边AD与点E，交边BC于点F．（1）写出图中全等三角形；（2）设CM=x，AE=y，求y与x之间的函数解析式，写出定义域；（3）试判断∠BEM能否可能等于90度?如可能，请求出此时CM的长；如不能，请说明理由．【难度】★★【解析】解：（1）；．，；，，，解得：，，．【总结】本题主要考查折叠的性质，折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等，还考查了直角三角形的性质及勾股定理的综合运用．9.如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，点P是射线BC上的一个动点，∠PAQ＝60°，PQ交射线CD于点Q，设点P到点B的距离为x，PQ＝y．（1）求证：△APQ是等边三角形；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果PD⊥AQ，求BP的值．【难度】★★★【解析】（1）证明：过作，，，，，是等边三角形；是等边三角形，．在中，，．．在中，，；当与重合，与重合时，联结，