第一次月考押题预测卷（考试范围第十六十七章）

第一次月考押题预测卷（考试范围：第十六、十七章）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023秋·陕西西安·八年级校考期末）下列化简正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次根式的除法运算可判断A，根据二次根式的性质与化简可判断B，C，D，从而可得答案．【详解】解：A、，运算正确，符合题意；B、，不符合题意；C、，不符合题意；D、，不符合题意；故选A．【点睛】此题主要考查二次根式的性质及化简，二次根式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．2．（2022·内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（

）A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a【答案】B【分析】根据数轴得∶0<a<1，得到a>0，a1<0，利用二次根式和绝对值的性质化简求解即可．【详解】解∶∵根据数轴得∶0<a<1，∴a>0，a1<0，∴原式=|a|+1+1a=a+1+1a=2．故选∶B．【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握是解题的关键．3．（2022·江苏扬州·校考三模）如图，在9×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是∠ABC的平分线，则BD的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用勾股定理求出、、的长，可得为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一可得的值，继续用勾股定理即可求出的值．【详解】解：由题可知，，，，，又平分，，且,即三角形ABD是直角三角形，．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的三线合一，熟练掌握相关定理是解题的关键．4．（2022·重庆·统考中考真题）估计的值应在（

）A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间【答案】B【分析】先化简，利用，从而判定即可．【详解】，∵，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的关键．5．（2022春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是15，整个图形（连同空白部分）的面积是39，则大正方形的边长是（

）A． B． C．5 D．【答案】B【分析】设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，根据题意可列出方程组，解方程组，即可求得．【详解】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c根据题意得：解得，或(舍去)故大正方形的边长是故选：B．【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算题，结合图形和题意列出方程组是解决本题的关键．6．（2022·重庆忠县·八年级期末）中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①根据“整弦数”的定义即可求解；②根据定义举出反例即可求解；③根据“整弦数”的定义即可求解；④先求出m与n之积，再根据“整弦数”的定义即可求解；⑤先设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），进一步得到两个连续正整数，再根据勾股定理的逆定理即可求解．【详解】解：①∵∴20是“整弦数”，符合题意；②如5，2是“整弦数”，∵不是“整弦数”，∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意；③若，则，，c2为“整弦数”，则c为正整数”，不符合题意；④∵m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，∴m与n之积为“整弦数”，符合题意；⑤设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），∵（2n+1）2=4n2+4n+1且等于两个连续正整数的和，∴较小的正整数为2n2+2n，较小的正整数为2n2+2n+1，∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n）2+4n2+4n+1=（2n2+2n）2+2（2n2+2n）+1=（2n2+2n+1）2，∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了勾股定理的综合运用，涉及数字类变化规律、整式的混合运算、完全平方公式等知识，正确理解“整弦数”的定义是解题关键．7．（2022·山东八年级期中）中，，高，则BC的长为（）A．14 B．14或4 C．4 D．无法确定【答案】B【分析】根据题意画出图形，分两种情况讨论，再分别在中，利用勾股定理解得CD的长，在中，利用勾股定理解得BD的长，最后计算线段的和差解题．【详解】解：分两种情况讨论：若是钝角三角形，如图，是的高，在中，，在中，，；若是锐角三角形，如图，是的高，在中，，在中，，；故BC为：14或4，故选：B．【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理并分情况讨论是解题的关键.8．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在中，，将边沿折叠，使点B落在上的点处，再将边沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点N、M，则线段的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理求出AB=10，利用等积法求出CN＝，从而得AN＝，再证明∠NMC＝∠NCM＝45°，进而即可得到答案．【详解】解：∵∴AB=，∵S△ABC＝×AB×CN＝×AC×BC∴CN＝，∵AN＝，∵折叠∴AM＝A'M，∠BCN＝∠B'CN，∠ACM＝∠A'CM，∵∠BCN+∠B'CN+∠ACM+∠A'CM=90°，∴∠B'CN+∠A'CM＝45°，∴∠MCN＝45°，且CN⊥AB，∴∠NMC＝∠NCM＝45°，∴MN＝CN＝，∴A'M＝AM＝AN−MN＝=．故选B．【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．9．（2022·重庆渝北·八年级期末）二次根式除法可以这样理解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子，把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．判断下列选项正确的是（

）①若a是的小数部分，则的值为；②对于式子，对它的分子分母同时乘以或，均不能对其分母有理化；③比较两个二次根式的大小；④计算．A．①② B．③④ C．②③ D．②④【答案】D【分析】先判断的整数部分求解a的值，再分母有理化可判断①，再把的分子，分母都乘以或由结果可判断②，先把分母有理化，再比较结果的大小可判断③，逐一把各项分母有理化，再进行二次根式的加减运算即可判断④，从而可得答案．【详解】解：∵∴∴故①不符合题意；∵故②符合题意；∵而∴，故③不符合题意；∵故④符合题意；故选D【点睛】本题考查的是二次根式的除法运算，分母有理化，理解分母有理化的含义，熟练的运用分母有理化的方法解决问题是关键．10．（2022春·广东江门·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，长为2的线段（点在点右侧）在轴上移动，，，连接，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，则有，推出要求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到和的距离和最小，如图1中，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，求出即可解决问题．【详解】解：设，，，，，，要使的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到和的距离和最小，如图1,中，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，，，的最小值，的最小值为：，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，坐标与图形的性质，两点间距离公式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会利用转化的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11．（2022·湖北武汉·校考三模）计算的结果是_____．【答案】7【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：=|7|=7．故答案为7．12．（2023秋·广东佛山·八年级佛山市高明区沧江中学校考期末）如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，则它爬行的最短距离为_____．【答案】13m##13米【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：如图所示，台阶平面展开图为长方形，，，则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．由勾股定理得：，即，，故答案为：m．【点睛】本题主要考查了平面展开图—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．13．（2022春·黑龙江绥化·八年级校考期中），则a－b＝______．【答案】4【分析】首先进行二次根式的乘法运算，根据相等求出a和b的值，代入代数式求值．【详解】解：∵，∴a=2，b=6，则a－b=26=4；故答案为4．【点睛】本题考查二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是解决问题的关键．14．（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工．取，，，则，两点的距离是_________．【答案】【分析】如图所示：过点作于点，先求出，再根据勾股定理即可求出的长．【详解】如图所示：过点作于点，则∠BEC=∠DEC=90°，，，∴∠BCE=90°30°=60°，又，，∴∠ECD=45°=∠D，∴，，，，即．故答案为：．【点睛】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关内容并能灵活运用．15．（2022·浙江·八年级期末）已知，则的值是_____________．【答案】9【分析】先将原等式变形为，再根据平方的非负性可得，，，由此可求得a、b、c的值，进而可求得答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，，，∴，，，∴，，，∴，故答案为：9．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和灵活应用完全平方公式是解决此题的关键．16．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是_____．【答案】12【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定理可求AB的长．【详解】如图，延长BE交AD于点F，∵点E是DC的中点，∴DE＝CE，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，∴∠D＝∠BCE，∠FED＝∠BEC，∴△BCE≌△FDE（ASA），∴DF＝BC＝5，BE＝EF，∴BF＝2BE＝13，AF=5,在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．17．（2023春·八年级课时练习）已知整数x，y满足，则的最小值为_____．【答案】【分析】原式可变形为，然后因式分解为，从而得到，进而分析得出，，则答案可得．【详解】解：，变形为，∴，∴，∴，∵x，y均为整数，，∴最小值时，，∴最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是的得到．18．（2022·江苏南京·校联考一模）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝60°，DC⊥BC，DC＝BC，则AD的长的最大值为______．【答案】##【分析】过点D作DE⊥AC的延长线于点E，得出∠DCE=30°，令CD=CB=x，AC=y，则DE=x，CE=x，则AE=y+x，由勾股定理，得AD2=AE2+ED2，进而求最值．【详解】解：过点D作DE⊥AC的延长线于点E，∵∠ACB＝60°，DC⊥BC，∴∠DCE=30°，令CD=CB=x，AC=y，则DE=x，由勾股定理，得CE=，∴AE=AC+CE=y+x，在Rt△ADE中，AD2=DE2+AE2，∴AD2=（x）2+（y+x）2=x2+y2+xy，∵（xy）2≥0，∴x2+y22xy≥0，即xy≤，当x=y时，等号成立，∴AD2=x2+y2+xy≤x2+y2+×=当x=y时，AD有最大值，且AD2=，∵AB＝2，∠ACB＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴当x=y=2时，AD2==8+4，又AD＞0，∴AD=．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，利用勾股定理解三角形，30°的直角三角形的性质和边关系，利用不等式求最值等知识，难度有些大，属于压轴题．三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2023秋·河北秦皇岛·八年级校考期末）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式计算即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．（2022·吉林长春·统考模拟预测）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上；(1)在图①中，画一个锐角三角形，使它的三边长都是有理数．(2)在图②中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数．(3)在图③中，画一个不等腰的直角三角形，使它的三边长都是无理数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）利用勾股定理画一个边长分别为5，5，6的三角形即可；（2）利用勾股定理及其逆定理，结合格点特征即可作图；（3）利用勾股定理及其逆定理，结合格点特征即可作图．【详解】（1）解：如图，，，符合三条边长都是有理数，三个角都是锐角，可知三角形即为所求；（2）解：如图，，，满足，可知三角形即为所求；（3）解：如图，，，，满足，可知三角形即为所求．【点睛】本题考查格点作图、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．21．（2022·吉林九台·八年级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题：（1）根据题意可知：（填“＞”、“＜”、“＝”）．（2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．【答案】（1）=；（2）小男孩需向右移动的距离为米．【分析】（1）根据男孩拽绳子前后始终保持不变即可得；（2）由勾股定理分别求出AC，BC的长，然后根据（1）中结论求解即可．【详解】解：（1）∵AC的长度是男孩拽之前的绳长，是男孩拽之后的绳长，绳长始终未变，∴，故答案为：=；（2）∵A、B、F三点共线，∴在RtΔCFA中，，∵，∴在RtΔCFB中，，由（1）可得：，∴，∴小男孩需移动的距离为米．【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．22．（2022·浙江舟山·统考二模）如图，在中，∠C＝90°，D是边BC上一点，连接AD并延长至点E，AD＝DE，过点E作EF⊥BC于点F，连接BE．(1)求证：．(2)若BE＝DE，AC＝8，CD＝4，求AB的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由“”可证；（2）由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可求，由勾股定理可求解．【详解】（1）证明：在和中，，；（2），，，，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．23．（2022·河北八年级期中）先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：（1）的有理化因式是______；（2）化去式子分母中的根号：______．（直接写结果）（3）______（填或）（4）利用你发现的规律计算下列式子的值：．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2020【分析】（1）根据有理化因式的定义求解；（2）利用分母有理化计算；（3）通过比较它们的倒数大小进行判断，利用分母有理化得到，，然后进行比较大小；（4）先根据规律，化简第一个括号中的式子，再利用平方差公式计算即可．【详解】解：（1）的有理化因式是，故答案为：；（2）∵，故答案为：；（3）∵，，而，∴>，∴<，故答案为：<（4）解：原式【点睛】本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．24．（2022·江苏八年级期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．【答案】（1）正方形、长方形；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）直接利用勾股四边形的定义得出答案；（2）OM=AB知以格点为顶点的M共两个，分别得出答案；（3）连接CE，证明△BCE是等边三角形，△DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾股四边形；【详解】（1）解：正方形、长方形，理由如下：如图：正方形ABCD中，由勾股定理有：；长方形DEFG中，由勾股定理有：；都满足勾股四边形的定义，因此都是勾股四边形．（2）解：答案如图所示．（3）证明：连接EC，∵△ABC≌△DBE，∴AC=DE，BC=BE，∵∠CBE=60°，∴△CBE为等边三角形，∴EC=BC，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，∴DC2+EC2=DE2，∴DC2+BC2=AC2．即四边形ABCD是勾股四边形．【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解并运用新定义“勾股四边形”、“勾股边”，正确寻找全等三角形解决问题．25．（2022·山东济南·统考模拟预测）如图，△ABC与△ACD为正三角形，点O为射线CA上的动点，作射线OM与射线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与射线CD相交于点F．(1)如图1，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，求证：△OEC≌△OFD；(2)如图2，当点O在CA的延长线上时，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请证明：OC+CE＝CF；(3)点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝2，当CF＝1时，请求出BE的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3或5【分析】（1）利用ASA证明△AEC≌△AFD即可得出结论；（2）过点O作OH∥BC，交CF于H，可知△COH是等边三角形，再利用ASA证明△OHF≌△OCE，从而解决问题；（3）作BH⊥AC于H，当点O在线段AH上，点F在线段CD上时，利用ASA证明△ONE≌△OCF，得CF=NE，OC=CN，从而得出BE的长；当点O在线段CH上，点E在线段BC上时，同理可得答案．【详解】（1）证明：∵△ABC与△ACD为正三角形，∴AB＝AC＝BC＝AD＝CD，∠BAC＝∠BCA＝∠ADC＝∠DAC＝60°，∵将射线OM绕点O逆时针旋转60°，∴∠EAF＝60°，∴∠BAC＝∠CAD＝∠EAF＝60°，∴∠EAC＝∠DAF，且AC＝AD，在△AEC与△AFD中，，∴△AEC≌△AFD（ASA），（2）证明：如图，过点O作OH∥BC，交CF于H，∴∠HOC＝∠BCA＝60°，∠OHC＝∠HCE＝60°，∴△COH是等边三角形，∴OC＝CH＝OH，∵∠EOF＝∠COH＝∠CHO＝∠BCA＝60°，∴∠COE＝∠FOH，∠OCE＝∠OHF＝120°，OH＝OC，在△OHF与△OCE中，，∴△OHF≌△OCE（ASA），∴CE＝FH，∵CF＝CH+FH，∴CF＝CO+CE；（3）作BH⊥AC于H，∵AB＝6，AH＝CH＝3，∴BH＝AH＝3，当点O在线段AH上，点F在线段CD上时，∵OB＝2，∴OH＝＝1，∴OC＝3+1＝4，过点O作ON∥AB，交BC于N，∴△ONC是等边三角形，∴ON＝OC＝CN＝4，∠NOC＝∠EOF＝60°＝∠ONC＝∠OCF，∴∠NOE＝∠COF，ON＝OC，∠ONC