专题06二次函数的新定义问题专训

专题06二次函数的新定义问题专训【精选最新40道二次函数的新定义问题专训】1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解有(

)个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据新定义和函数图象讨论：当时，则；当时，则，当时，则；当时，则；然后分别解关于的一元二次方程即可．【详解】解：：当时，则，解得：当时，则，无解当时，则，解得；当时，则，无解；当时，则，解得，故有1个解；综上所述，方程的解有3个；;故选：C．【点睛】本题考查了新定义运算与二次函数的性质，根据题意建立方程是解题的关键．2．（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）对于任意的实数m、n，定义符号的含义为m，n之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，x的取值范围为（

）A．或 B．或 C． D．或【答案】D【分析】符号的含义是取较大的值．则本题实为函数比较大小的问题，联立方程，画出函数图象，根据求得交点坐标，进而即可求解．【详解】解：令，如图所示，则的值为函数较大的值，∴比较两个函数的交点，较大的y值即为最大值．联立方程 

解得令，解得，，令，解得：，∴当时，或故选：D【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的图像和性质，正确画出函数图象是解答本题的关键．3．（2023秋·河南开封·九年级校考阶段练习）定义一种新函数，形如（a≠0且）的函数叫做“鹊桥”函数，某同学画出函数的图象如图．并写出了下列结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，y随x的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3函数有最小值是0；⑤当x＝1时函数的最大值是4．其中正确结论的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】将分别代入求得于坐标轴的交点可得①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴是直线x=1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y=0，求出相应的x的值为x=1或x=3，因此④也是正确的；从图象上看，当x＜1或x＞3，函数值要大于当x=1时的，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．【详解】解：①∵令，得，令，则解得∴与坐标轴的交点为（1，0），（3，0）和（0，3），∴①是正确的；②从图象可知图象具有对称性，对称轴为直线，因此②也是正确的；③根据函数的图象和性质，发现当1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y=0，求出相应的x的值为x=1或x=3，因此④也是正确的；⑤从图象上看，当x＜1或x＞3，存在函数值要大于当x=1时的，因此⑤是不正确的；故正确的为：①②③④．故选C．【点睛】考查了二次函数图象与x轴的交点问题，理解“鹊桥”函数的意义，掌握“鹊桥”函数与与二次函数之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．4．（2023·广东·统考二模）新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“特征数”，如：的“特征数”为．若“特征数”为的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为（

）A．或2 B． C． D．2【答案】C【分析】把特征数代入中，得，求出m的值即可．【详解】解：∵是二次函数的特征数，∴∵抛物线的图象与轴只有一个交点，∴，∴，∵，∴，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，把求二次函数（，a，b，c为实数）与x轴的交点坐标问题转化为解关于m的一元二次方程是解答本题的关键．5．（2023·湖南岳阳·校联考一模）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下新定义，若则称点是点的限变点，例如：点的限变点是，点的限变点是，若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别求出当和时n的取值范围即可．【详解】解：由题意知：当时，，∴当时，，当时，，∴当时，，∴当时，其限变点的纵坐标的取值范围是，故选D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到关于m的函数．6．（2023·福建·模拟预测）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为，将代入得，将代入得，设，，如图，联立方程，当△时，抛物线与直线有两个交点，即，解得，此时，直线和直线与抛物线交点在点，上方时，抛物线与线段有两个交点，把代入得，把代入得，，解得，满足题意．故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．7．（2023·山东济南·统考一模）定义：对于二次函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在自变量x0，使得函数值等于x0成立，则称x0为该函数的不动点，对于任意实数b，该函数恒有两个相异的不动点，则实数a的取值范围为（）A．0＜a＜2 B．0＜a≤2 C．﹣2＜a＜0 D．﹣2≤a＜0【答案】A【分析】若存在自变量x0，使得函数值等于x0成立，即恒有两个不相等的实数解，可设x为不动点，使y＝x，可得关系式ax2+bx+b﹣2＝0，由恒有两个相异的不动点知△＞0，即得a的取值范围．【详解】解：由题意可知方程x＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），恒有两个不相等的实数解，则△＝b2﹣4a（b﹣2）＝b2﹣4ab+8a＞0，对任意实数b恒成立，把b2﹣4ab+8a看作关于b的二次函数，则有△1＝（4a）2﹣4×8a＝16a2﹣32a＝16a（a﹣2）＜0，令16a（a﹣2）＝0，解得a＝0或a＝2，①当a≥2时，16a＞0，a﹣2≥0，即16a（a﹣2）≥0，②当a≤0时，16a≤0，a﹣2＜0，即16a（a﹣2）≥0，③0＜a＜2时，16a＞0，a﹣2＜0，即16a（a﹣2）＜0，即16a（a﹣2）＜0的解集，解得0＜a＜2，故选A．【点睛】本题考查二次函数图象与一元二次方程的关系，熟练掌握根的判别式结合问题进行求解，认真理解新定义渗透的数学问题是关键．8．（2023秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值之差为（

）A．5 B． C．4 D．【答案】B【分析】画出图象，从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．【详解】解：如图，由题意可得，互异二次函数y＝（x−m）2−m的顶点（m，−m）在直线y＝−x上运动，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），∴B（2，2），从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．当互异二次函数y＝（x−m）2−m经过点A（0，2）时，m＝2或m＝−1；当互异二次函数y＝（x−m）2−m经过点B（2，2）时，m＝或m＝．∴互异二次函数y＝（x−m）2−m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是，−1，∴m的最大值和最小值之差为故选：B．【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数图象性质．解答关键是研究动点到达临界点时图形的变化，从而得到临界值．9．（2020秋·安徽亳州·九年级统考阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，过一点P分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P叫作和谐点，所围成的矩形叫作和谐矩形．已知点P是抛物线上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（

）A．16 B．4 C．12 D．18【答案】C【分析】根据和谐点的定义与二次函数的性质列出m，n的方程，求解m，n即可；【详解】∵点是抛物线上的点，∴，∴，∴点是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，∴，∴，，当时，；当时，；故答案选C．【点睛】本题主要考查了二次函数图象特征和矩形的性质，准确理解计算是解题的关键．10．（2023·山东济南·统考三模）新定义：若两个函数图象有公共点，则称这两个函数图象为牵手函数．已知抛物线与线段是牵手函数，则m的取值范围是（

）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】依据二函数有公共点，则联立的二次方程有实数根，判别式大于或等于0，可初步确定m的取值范围，然后再依据自变量x的取值范围进一步确定m的取值范围，即可求解．【详解】∵抛物线与线段有公共点，∴抛物线与平行于x轴的线段相切或者相交．代入中，即关于x的二次方程有两个相等或者不等的实数根．整理上述关于x的二次方程得，．①∴对于①式，，即，．

将①式整理成关于m的二次方程：，则关于m的判别式：，解得：．结合x的已知取值范围得出：线段与抛物线有公共点的取值范围为：．观察图1～图4中抛物线与线段的相对位置关系递变规律发现：当时，正好是线段与抛物线有公共点时的抛物线最高与最低的位置，其递变规律是．把代入方程①式：，可求得，即抛物线与线段有公共点时的最高与最低位置．因此，m的取值范围是．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的性质，熟练掌握函数的递变规律是解本题的关键．11．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．当二次函数的图象与直线（a为常数）围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点时，则a的取值范围是______．【答案】【分析】由题意大致画出二次函数的图象与直线的图象，再根据围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点，结合图象即可得出，求解集即可．【详解】∵，且，∴二次函数的图象与直线的图象大致如图，∵围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点，∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．正确画出大致图象，并利用数形结合的思想是解题关键．12．（2023秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）定义表示不超过实数x的最大整数，如，函数的图象如图所示，则方程的解为_________．【答案】【分析】利用数形结合思想求解即可．【详解】解：画出函数与函数的图象，则两个函数的图象的公共点的横坐标就是方程的根，根据图象可知两个函数的图象共有两个公共点，其中一个点是，另一个点也在第三象限，且纵坐标为，令解得：（舍去），∴两个函数图象的公共点是，∴方程的解为【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握数形结合思想是解题的关键．13．（2023秋·北京西城·九年级北京十四中校考期中）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2．如果函数是以3为上确界的有上界函数，则实数___________．【答案】【分析】当时，，可得（舍）；当时，，可得（舍）；当时，，可得；当时，，可得（舍）．【详解】解：的对称轴为直线，当时，y的最大值为，∵3为上确界，∴，∴（舍）；当时，y的最大值为，∵3为上确界，∴，∴（舍）；当时，y的最大值为，∵3为上确界，∴，∴；当时，y的最大值为，∵3为上确界，∴，∴（舍），综上所述：a的值为，故答案为：．【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像及性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键．14．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，则点的限变点是____________．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是____________．【答案】【分析】根据新定义可求得点的限变点，根据新定义得到当时，，在时，得到；当时，，在时，得到，即可得到限变点的纵坐标n'的取值范围是．【详解】解：∵，，∴，∴点的限变点是，∵点在二次函数的图象上，∴当时，，∴，当时，，∴当时，，综上，当时，其限变点的纵坐标n'的取值范围是，故答案为：，．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．15．（2023·四川成都·统考二模）定义：若一个函数图象上存在横纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当、两部分组成的图象上恰有个“等值点”时，的取值范围为______．【答案】或【分析】先求出函数的图象上有两个“等值点”或，再利用翻折的性质分类讨论即可．【详解】令，解得：，，函数的图象上有两个“等值点”或，当时，，两部分组成的图象上必有个“等值点”或，：，：，令，整理得：，的图象上不存在“等值点”，，，，当时，有个“等值点”、、，当时，，两部分组成的图象上恰有个“等值点”,，当时，，两部分组成的图象上恰有个“等值点”，当时，，两部分组成的图象上没有“等值点”，综上所述，当，两部分组成的图象上恰有个“等值点”时，或．故答案为：或．【点睛】本题考查了二次函数与新定义“等值点”的综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，解题的关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题．16．（2023·江苏盐城·校考一模）定义{a，b，c}＝c（a＜c＜b），即（a，b，c）的取值为a，b，c的中位数，例如：{1，3，2}＝2，{8，3，6}＝6，已知函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}与直线y＝x+b有3个交点时，则b的值为_____．【答案】或【分析】画出函数的数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}的图象，观察图象，利用图象法解决问题即可．【详解】解：由题意：函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}的图象如图所示（图中实线）．由图象可得，当直线y＝x+b经过点A和点B时，函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}与直线y＝x+b有3个交点，令x2+1＝x+3，解得x＝﹣1或x＝2（舍去），∴A（﹣1，2），令x+3＝﹣x+2，解得，∴，当直线y＝x+b经过点A时，+b＝2，解得；当直线y＝x+b经过点B时，，解得．故答案为：或．【点睛】本题考查函数中的新定义类问题，涉及中位数的定义，函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．17．（2023秋·吉林长春·九年级长春市第五十二中学校考期末）定义：在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．如：A(1，0)，B(﹣3，2)都是“整点”，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于P，Q两点，若该抛物线在P，Q之间的部分与线段PQ所围的区域（不包括边界）恰有3个整点，则a的取值范围是_____．【答案】【分析】将函数解析式化为顶点式，确定图象的对称轴及顶点坐标，得到3个整点的位置，由此得到不等式组，求解即可．【详解】解：∵y＝ax2﹣2ax+a+2=，∴函数的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），∴P，Q两点关于直线x=1对称，根据题意，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于P，Q两点（不包括边界）恰有3个整点，这些整点是（0，1），（1，1），（2，1），∵当x=0时，y=a+2，∴，当x=1时，y=4a+2，∴,∴，解得，故答案为：．．【点睛】此题考查了将二次函数一般式化为顶点式，二次函数的性质，一元一次不等式组的应用，根据二次函数的对称轴及顶点确定3个点的位置，由此顶点不等式组是解题的关键．18．（2023秋·上海浦东新·九年级统考期末）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段MN长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线y的割距是______．【答案】【分析】先求出B点坐标，从而求出抛物线解析式，然后求出直线与抛物线的两个交点，利用两点距离公式即可求出答案．【详解】解：∵B直线与y轴的交点，∴B点坐标为（0，3），∵B是抛物线的顶点，∴抛物线解析式为，∴，解得或，∴直线与抛物线的两个交点坐标为（0，3），（1，2），∴抛物线关于直线y的割距是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了求一次函数与y轴交点，二次函数与一次函数的交点，两点距离公式，二次函数图像的性质，熟知相关知识是解题的关键．19．（2023·江苏苏州·模拟预测）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足m≥0时，n′＝n−4；m＜0时，n′＝−n，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点P2（−2，3）的限变点是（−2，−3）．若点P（m，n）在二次函数y＝−x2＋4x＋2的图象上，则当−1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是______．【答案】−2≤n′≤3【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′＝−m2＋4m＋2−4＝−（m−2）2＋2，在0≤m≤3时，得到−2≤n′≤2；当m＜0时，n′＝m2−4m−2＝（m−2）2−6，在−1≤m＜0时，得到−2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是−2≤n′≤3．【详解】解：由题意可知，当m≥0时，n′＝−m2＋4m＋2−4＝−（m−2）2＋2，∴当0≤m≤3时，−2≤n′≤2，当m＜0时，n′＝m2−4m−2＝（m−2）2−6，∴当−1≤m＜0时，−2＜n′≤3，综上，当−1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是−2≤n′≤3，故答案为：−2≤n′≤3【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．20．（2023秋·浙江宁波·九年级校考期末）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”如：、都是“整点”．当抛物线与其关于轴对称抛物线围成的封闭区域内（包括边界）共有个整点时，的取值范围______．【答案】【分析】通过抛物线的解析式可得对称轴为，过点，对分情况讨论或，分别求解即可．【详解】解：由可得，过点，当时，开口向下，如下图：此时整点有等等，显然超过9个，不符合题意；当时，开口向上，如下图：要保证封闭区域内（包括边界）共有个整点，需要满足，，此时整数点为，，即，解得故答案为【点睛】此题考查了二次函数的新定义问题，涉及了二次函数的性质与一元一次不等式组的求解，解题的关键是理解题意，并列出不等式组．21．（2023·江苏南通·统考二模）定义：在平面直角坐标系中，对于某函数图象上的一点P，先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度得到点Q，若点Q也在该函数图象上，则称点P为该函数图象的“n倍平点”．(1)函数①；②；③中，其图象存在“2倍平点”的是_______（填序号）；(2)若反比例函数，图象恰有1个“n倍平点”，求n的值；(3)求函数图象的“3倍平点”的坐标．【答案】(1)②(2)(3)或【分析】（1）根据函数图象的“n倍平点”的定义逐个进行判断即可；（2）设，则，把代入得，根据图象恰有1个“n倍平点”，得出，即可求出答案；（3）当时，，当时，，分两种情况，根据函数图象的“n倍平点”的定义分别计算即可得出结论．【详解】（1）当时，①设，则，当时，，∴点不在的图象上．∴该函数图象不存在“2倍平点”．②设，则，当时，，∴点在的图象上．∴该函数图象存在“2倍平点”．③设，则，当时，，∴点不在的图象上．∴该函数图象不存在“2倍平点”．故答案是②；（2）设，则，把代入得，，即，∵图象恰有1个“n倍平点”，∴．∴．∵，∴．（3）当时，，设，则，把代入得，，解得：，∴，．∴，．当时，，设，则，把代入得，，解得：，∴，．∴，．综上所述，函数图象的“3倍平点”的坐标是或．【点睛】本题主要考查了新定义，正确理解新定义：函数图象的“n倍平点”是解题的关键．22．（2023·贵州遵义·统考三模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．(1)函数的对称轴为__________．其友好同轴二次函数为__________．(2)已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为．①若函数的图象与函数的图象交于A、B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标），求线段的长；②当时，函数的最大值与最小值的差为8，求a的值．【答案】(1)直线，(2)①4；②或3【分析】（1）将函数画出顶点式即可得函数的对称轴，再根据友好同轴二次函数的定义求解即可得；（2）①根据友好同轴二次函数的定义求出函数，联立函数，，解方程可求出点的坐标，由此即可得；②分且且、两种情况，利用二次函数的性质求解即可得．【详解】（1）解：函数的对称轴为直线，因为，所以设函数的友好同轴二次函数为，所以，解得，所以函数的友好同轴二次函数为，故答案为：直线，．（2）解：①二次函数，则设，所以，解得，所以，联立得：，解得或，当时，；当时，，所以，所以；②函数的对称轴为直线，（Ⅰ）当且且时，抛物线的开口向上，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，则当时，取得最小值，最小值为，当时，取得最大值，最大值为4，所以，解得，符合题设；（Ⅱ）当时，抛物线开口向下，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，则当时，取得最大值，最大值为，当时，取得最小值，最小值为4，所以，解得，符合题设；综上，的值为或3．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键．23．（2021春·贵州贵阳·九年级贵阳市第二实验中学校考阶段练习）定义：同时经过x轴上两点，的两条抛物线称为同弦抛物线．如抛物线：与抛物线：是都经过，的同弦抛物线．(1)任意写出一条抛物线的同弦抛物线．(2)已知抛物线是的同弦抛物线，且过点，求抛物线对应函数的最大值或最小值．【答案】(1)（答案不唯一）(2)最小值为【分析】（1）根据同弦抛物线的定义即可得；（2）先根据同弦抛物线的定义可设抛物线的解析式为（且），将点代入可求出的值，再根据二次函数的性质求解即可得．【详解】（1）解：抛物线与抛物线：为同弦抛物线，抛物线的函数解析式为．（2）解：由题意可设抛物线的解析式为（且），将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为，由二次函数的性质可知，当时，抛物线对应函数取得最小值，最小值为．【点睛】本题考查了二次函数的性质，读懂同弦抛物线的定义，并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．24．（2023春·江苏盐城·九年级校考期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，称两个不同的点和为“反射对称点”、如：点（1，3）和（3，1）是一对“反射对称点”．(1)下列函数：①；②；③，其中图像上存在，“反射对称点”的是________（填序号）(2)直线与反比例函数的图像在第一象限内交于点P，点P和点Q为一对“反射对称点”，若，求k的值；(3)抛物线上是否存在一对“反射对称点”？如果存在，求出这一对“反射对称点”所连线段的中点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)①②③(2)(3)存在，中点坐标为或【分析】(1)根据定义，把点，分别代入函数解析式，解方程组即可；(2)根据题意，用的代数式将坐标表示出来，然后根据列出方程求出即可；(3)假设存在一对“反射对称点”，，由此得到线段中点坐标为，再将，两点代入中联立方程组求出的值即可．【详解】（1）解：对于，若，是一对“反射对称点”，则，得到，此时方程组有无数组解，∴函数图像上存在无数对“反射对称点”；对于，若，是一对“反射对称点”，则，得到，此时方程组有无数组解，∴函数图像上存在无数对“反射对称点”；对于函数，若，是一对“反射对称点”，则，得到，∴函数图像上存在唯一一对“反射对称点”，故答案为：①②③；（2）解：联立方程组，∴，∴，∵且点在第一象限，∴，∵点和点为一对“反射对称点”，∴，设直线解析式为，代入两点坐标，∴，解得，∴直线解析式为，设直线与轴交于点，过作于点，过作于点，如下图所示，则，∴整理得到：，又已知，∴，解得；（3）解：假设抛物线上存在一对“反射对称点”，，则线段的中点坐标为，∴，①－②并整理得到：，当即时，回代方程①得到，解得或，若此时重合，舍去；若时，，线段中点坐标为；当时，即时，回代方程①得到，解得或，当时，，此时，，此时线段中点坐标为；当时，，此时，，此时线段中点坐标为；综上所述，线段中点坐标为或．【点睛】本题是反比例函数和二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，反比例函数的图象及性质，能理解应用新定义是解题的关键．25．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市实验中学校考期中）对某一个函数给出如下定义：对于任意的函数值y，都满足，且在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上边界值；对于任意的函数值y，都满足，且在所有满足条件的N中，其最大值称为这个函数的下边界值；若一个函数既有上边界值又有下边界值，则称这个函数是有界函数，其上边界与下边界的差称为边界差．例如，图中的函数上边界值是，下边界值是．所以这个函数是“有界函数”，边界差为．(1)在下列关于x的函数中，是“有界函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“有界函数”的打“×”．①（_________）；②（___________）；③（_________）(2)若函数（为常数，且），当时，这个函数的边界差为2，求的值；(3)若关于x的函数（为常数）经过点，当时，其边界差为1，求t的值．【答案】(1)①√；②×；③×(2)(3)2或3【分析】（1）根据“有界函数”的定义结合各函数解析式判断即可；（2）分类讨论：当时和当时，结合一次函数的性质解答即可；（3）将点代入，可求出m的值，从而得出．分别求出当，时，y．再分类讨论：当，即时；当时；当，且，即时；当，且，即时，根据二次函数的图象和性质结合“边界差”的定义，可分别得出关于t的等式，解出t即可．【详解】（1）解：①对于，∵，∴当时，y随x的增大而增大，∴有最大值和最小值，∴是“有界函数”．故答案为：；②对于，总有，∴不是“有界函数”．故答案为：；③对于，总有，∴不是“有界函数”．故答案为：；（2）解：当时，当时，y随x的增大而增大，∴有上边界值，有下边界值，∴边界差为，∵这个函数的边界差为2，∴，即；当时，当时，y随x的增大而减小，∴有上边界值，有下边界值，∴边界差为，∵这个函数的边界差为2，∴，即；综上所述：k的值为；（3）解：将点代入，得：，解得：，．当时，，当时，，当时，．∵其边界差为1，当，即时，，解得：（舍去）；当时，，解得：（舍去）；当，且，即时，，解得：或4（舍去）；当，且，即时，，或1（舍去），综上所述：或3．【点睛】本题考查对新定义的理解，正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质．读懂题意，理解“有界函数”和“边界差”的定义是解题关键．26．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考三模）阅读与理解定义新运算：若，则；若，则；(1)已知，求；(2)已知，令，求y，并思考的函数图象与一次函数的图象是否相交，请说明理由．【答案】(1)16(2)，两图象相交，理由见详解【分析】（1）根据，代入数据即可求出结论；（2）根据、结合即可得出关于的函数关系式，将其代入中整理得，再根据根的判别式，即可得出的函数图象与一次函数的图象相交．【详解】（1）解：，，．（2）解：两函数图象相交．理由如下：，，．将代入，整理得：．，方程有两个不相等的实数根，两函数图象相交．【点睛】本题考查了根的判别式以及直线与抛物线的交点问题，解题的关键是：（1）根据定义式代入数据求值；（2）利用根的判别式，得出的函数图象与一次函数的图象相交．27．（2023春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）【阅读理解】把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换．

【知识运用】如图1，将的图象经过倒数变换后可得到的图象（部分）．特别地，因为图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此的图象上也没有纵坐标为0的点．小明在求的图象与的交点时速用了开平方的定义：，得，解得，则图象交点坐标为或．【拓展延伸】请根据上述阅读材料完成：(1)请在图2的平面直角坐标系中画出的图象和它经过倒数变换后的图象．(2)设函数的图象和它经过倒数变换后的图象的交点为A，B（点A在左边），直接写出其坐标．A______，B______；(3)设，且，求m．【答案】(1)见解析(2)，(3)【分析】（1）画出函数和函数的图象；（2）解析式联立成方程组，解方程组即可求解；（3）利用三角形面积公式即可求解．【详解】（1）解：如图所示：

（2）解，得或，，，故答案为：，；（3），，．【点睛】本题考查倒数变换，反比例函数与一次函数的交点，三角形面积．理解倒数变换的定义是解题的基础，能够熟练用描点法画图是正确画出图象的关键．28．（2023春·广东深圳·九年级统考阶段练习）【定义】若抛物线与一水平直线交于两点，我们把这两点间线段的长称为抛物线关于这条直线的跨径，抛物线的顶点到该直线的距离称为抛物线关于这条直线的矢高，矢高与跨径的比值称为抛物线关于这条直线的矢跨比．如图1，抛物线的顶点为，轴于点，它与轴交于点，，则的长为抛物线关于轴的跨径，的长为抛物线关于轴的矢高，的值为抛物线关于轴的矢跨比．【特例】如图2，已知抛物线与轴交于点，（点在点右侧）；①抛物线关于轴的矢高是______，跨径是______，矢跨比是______；②有一抛物线经过点，与抛物线开口方向与大小一样，且矢高是抛物线关于轴的矢高的，求它关于轴的矢跨比；【推广】结合抛物线的平移规律可以发现，两条开口方向与大小一样的抛物线，若第一条抛物线的矢高是第二条抛物线关于同一直线的矢高的（）倍，则第一条抛物线的跨径是第二条抛物线关于同一直线的跨径的______倍（用含的代数式表示）；【应用】如图3是某地一座三拱桥梁建筑示意图，其中主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线，它们关于水平钢梁所在直线的跨径分别为420米与280米，已知主跨的矢跨比为，则边跨的矢跨比是______．【答案】【特例】①4；4；1；②；【推广】；【应用】【分析】①根据矢高，跨径，矢跨比的定义，即可求解；②根据题意可设该抛物线解析式为，可求出该抛物线与x轴的另一个交点为，即可求解；【推广】设第二条抛物线的解析式为，第一条抛物线沿x轴向左平移h个单位得到第二条抛物线，其中，可得第一条抛物线的解析式为，再分别求出两抛物线的跨径，即可求解；【应用】中的结论可得，从而得到边跨的矢高，即可求解．【详解】①∵抛物线的顶点坐标为，∴抛物线关于轴的矢高是4，当时，，解得：，∴点，∴跨径是，∴矢跨比是；故答案为：4；4；1②∵抛物线经过点的矢高是抛物线关于轴的矢高的，∴抛物线经过点的矢高是，∵与抛物线开口方向与大小一样，∴可设该抛物线解析式为，把点代入得：，解得：（舍去）或3，∴该抛物线解析式为，当时，，解得：或2，∴该抛物线与x轴的另一个交点为，∴该抛物线的跨径是，∴它关于轴的矢跨比是；【推广】设第二条抛物线的解析式为，第一条抛物线沿x轴向左平移h个单位得到第二条抛物线，其中，∴第一条抛物线的解析式为，对于，顶点坐标为，当时，，∴第二条抛物线的跨径是，对于，当时，，∴第一条抛物线的跨径是，∵，∴第一条抛物线的跨径是第二条抛物线关于同一直线的跨径的倍；故答案为：【应用】∵主跨的矢跨比为，主跨的关于水平钢梁所在直线的跨径为420米，∴主跨的矢高是米，根据题意得：，解得：，∴主跨的矢高是边跨矢高的倍，∴边跨的矢高是米，∴边跨的矢跨比是．故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．29．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）定义：若一次函数与反比例函数满足，则我们把函数称为一次函数与反比例函数的“守正创新函数”．(1)一次函数与反比例函数是否存在“守正创新函数”？如果存在，写出其“守正创新函数”；如果不存在，请说明理由；(2)若一次函数与反比例函数存在“守正创新函数”，且该“守正创新函数”的图像与直线有唯一交点，求的值；(3)若一次函数与反比例函数的“守正创新函数”的图像与轴有两个交点分别是，，其中，点，求的面积的变化范围．【答案】(1)存在，(2)，(3)【分析】（1）根据定义新运算的规则即可求解；（2）根据题意，确定“守正创新函数”的解析式，根据有交点，韦达定理即可计算出的值；（3）根据题意，确定“守正创新函数”的解析式，根据与轴有两个交点，根据韦达定理，求根公式，三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）解：存在，理由如下，一次函数与反比例函数中，∵，，，∴，即满足，∴存在“守正创新函数”为．（2）解：∵，∴，∴，∴“守正创新函数”为，∵该“守正创新函数”的图像与直线有唯一交点，∴，即有两个相等的实数根，∴，即，∴，∴．（3）解：∵，∴，∴“守正创新函数”为，∴，∴，∴，，∴，又三角形高为，∴，∵，，∴，，当时，，时，，∴的面积的变化范围为．【点睛】本题主要考查定义新运算，一次函数，反比例函数，一元二次方程的综合，掌握一元二次方程中根与系数的关系，求根公式等知识是解题的关键．30．（2023·江苏宿迁·统考二模）定义：若一个函数图象上存在到坐标轴距离相等的点，则称该点为这个函数图象的“等距点”．例如，点和是函数图象的“等距点”．(1)判断函数的图象是否存在“等距点”？如果存在，求出“等距点”的坐标；如果不存在，说明理由；(2)设函数图象的“等距点”为A、B，函数图象的“等距点”为C，若的面积为时，求函数的表达式；(3)若函数图象恰存在2个“等距点”，试求出m的取值范围．【答案】(1)存在，或或(2)或(3)或【分析】（1）根据题中“等距点”的定义列出方程求解即可；（2）先求出反比例函数及一次函数图象上的“等距点”，然后由三角形面积列出方程求解即可；（3）根据“等距点”列出一元二次方程，再由题意中恰好有2个“等距点”，利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】（1）解：存在“等距点”令，解得，∴函数的图象上有两个“等距点”或令，解得，∴函数的图象上有两个“等距点”或．综上所述，函数的图象上有三个“等距点”或或（2）令，解得，则，∴令，解得，则，∴，∵，∴即，解得，∴或，（3）令，整理得，．当或时，此时在一、三象限有2个“等距点”．令，整理得，当或时，此时在二四象限有2个“等距点”．∵函数图象恰存在个“等距点”∴或．【点睛】题目主要考查新定义题型的理解，包括一次函数，二次函数及反比例函数，理解题意是解题关键．31．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）定义：点是轴上一点，将函数的图像位于直线右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数l′的图像，我们称函数是函数的相关函数，函数的图像记作，函数的图像未翻折部分记作，图像和合起来记作图像．例如：函数l的表达式为，当时，它的相关函数的表达式为．(1)如图，函数的表达式为，当时，它的相关函数的表达式为；(2)函数l的表达式为，当时，图像上某点的纵坐标为，求该点的横坐标；(3)函数的表达式为．①已知点的坐标分别为、，当，且图像与线段只有一个共点时，结合函数图像，求的取值范围；②若，点是图像上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）．【答案】(1)(2)该点的横坐标为或2(3)①的取值范围是或或；②的取值范围是或【分析】（1）运用“相关函数”的定义结合待定系数法解答即可；（2）先写出图象的解析式，再分别将代入，解得值，即可得出该点的横坐标；（3）①先根据“相关函数”的定义得出图象的解析式，把或或代入，求得的值，再运用二次函数图象和性质分类讨论：当图象与线段只有一个公共点时，当图象的顶点在线段上时，图象与线段只有一个公共点时，当图象在其对称轴左侧的部分与线段只有一个公共点时，综合得出结论即可；②由得，令可求出的值，当时，的最大值始终保持不变，当的最大值始终为4时，当的最大值为0时，综合得出结论即可．【详解】（1）解：由相关函数的定义可知，当时，的相关函数的解析式为，故答案为：；（2）解：函数的解析式为，当时，图象上的解析式为：，把分别代入，得：或，或，该点的横坐标为或2．（3）解：①函数的解析式为，图象的函数解析式为，把代入，得；把代入，得；把代入，得．图象的顶点坐标为．当图象与线段只有一个公共点时，如图由题意，得，解得．当图象的顶点在线段上时，图象与线段只有一个公共点时，如图图象的顶点坐标为，，即．当图象在其对称轴左侧的部分与线段只有一个公共点时，如图由题意，得，解得．综上所述，的取值范围是或或；②，，令，则，解得，，与轴交于，，，的顶点坐标为，点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，当的最大值始终为4时，，解得；当的最大值为0时，，解得，的取值范围是或．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了新定义在函数中的应用、抛物线的图象与线段的交点个数问题、二次函数的图象与性质、一元二次方程等知识点，数形结合、分类讨论、读懂定义并熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．32．（2023春·四川自贡·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，对于和点，给出如下定义：若，则称点为点的限变点．例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是．(1)点的限变点的坐标是；(2)判断点中，哪一个点是函数图象上某一个点的限变点？并说明理由；(3)若点在函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是，求的取值范围．【答案】(1)(2)点B是函数图象上某一个点的限变点，理由见解析(3)或【分析】（1）根据限变点的定义进行求解即可；（2）先分别假设A、B是函数图象上某一个点的限变点，进而求出函数图象上对应点的坐标，看该点是否在函数图象上即可；（3）根据题意可得图象上的点P的关联点必在函数的图象上，然后结合函数图象求解即可．【详解】（1）解：∵，∴点的限变点的坐标是，故答案为：（2）解：点B是函数图象上某一个点的限变点，理由如下：∵，∴若点A是函数图象上某一个点的限变点，则这个点的坐标为，又∵不在函数图象上，∴点A不是函数图象上某一个点的限变点；∵，∴若点B是函数图象上某一个点的限变点，则这个点的坐标为，又∵在函数图象上，∴点B是函数图象上某一个点的限变点；（3）解：由题意得，图象上的点P的关联点必在函数的图象上，∵，∴或．

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数与几何综合等等，正确理解题意是解题的关键．33．（2023春·江苏泰州·九年级泰州市姜堰区第四中学校考阶段练习）二次函数的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线，再将得到的对称抛物线向上平移m（）个单位，得到新的抛物线，我们称叫做二次函数的m阶变换．(1)二次函数的顶点关于原点的对称点为___________，这个抛物线的2阶变换的解析式为___________；(2)若二次函数M的5阶变换的关系式为．①二次函数M的解析式为___________；②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中右侧交点为点B，动点P在抛物线y5上，过点P作于点H，请求出最小时，点P的坐标．【答案】(1)，(2)①；②【分析】（1）根据二次函数的性质求出其顶点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点，写出其关于原点的对称点的坐标，根据定义即可求解解析式；（2）①将向下平移5个单位得到，此时该抛物线的顶点坐标为，该点关于原点的对称点为，进而求解；②先求出直线的函数表达式，设直线交y轴于点C，二次函数交y轴于点E，过点P作轴交于点D，证明，设点，则点，表示出，即可求解．【详解】（1）∵二次函数的顶点坐标为，则该点关于原点的对称点为，∴这个抛物线的2阶变换的表达式为，故答案为：，；（2）①∵，∴，∴的顶点坐标为，∴二次函数M的顶点坐标为，∴二次函数M的解析式为；故答案为：；②令，解得或0，∴，设直线的解析式为，把和的坐标代入，得，解得，∴直线的解析式为，∵，如图，设直线交y轴于点C，二次函数交y轴于点E，过点P作轴交于点D，当时，，∴，∴，∴，∴，设点，则点，∴，∴当时，最小，最小值为，∴当时，最小，此时，∴．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移等，综合性强，难度适中，熟练掌握知识点是解题的关键．34．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）定义：平面直角坐标系中，若点绕原点顺时针旋转，恰好落在函数图象上，则称点为函数图象的“直旋点”．例如，点是函数图象的“直旋点”．(1)在①，②，③三点中，是一次函数图象的“直旋点”的有_____（填序号）；(2)若点为反比例函数图象的“直旋点”，求的值；(3)二次函数与轴交于两点（A在的左侧），与轴交于点，点是二次函数图象的“直旋点”且在直线上，求点坐标．【答案】(1)②③(2)(3)或【分析】（1）分别写出三个点绕原点顺时针旋转得到的点的坐标，逐个验证是否在一次函数图象上即可；（2）把点绕原点顺时针旋转得到的点的坐标代入即可得到答案；（3）先求出点A、B、C的坐标，再求出直线的解析式，设点D的坐标为，则点D绕原点顺时针旋转得到点，根据点是二次函数图象的“直旋点”且在直线上，得到关于m、n的方程组，解方程组即可得到点D的坐标．【详解】（1）解：①绕原点顺时针旋转得到，当时，，故不是一次函数图象的“直旋点”，②绕原点顺时针旋转得到，当时，，故是一次函数图象的“直旋点”，③绕原点顺时针旋转得到，当时，，故是一次函数图象的“直旋点”，故答案为：②③（2）点绕原点顺时针旋转得到，∵点为反比例函数图象的“直旋点”，∴点满足，代入可得，，解得；（3）当时，，解得∴点，当时，，∴点,设直线的解析式为，则解得，∴直线的解析式为，设点D的坐标为，则点D绕原点顺时针旋转得到点，∵点是二次函数图象的“直旋点”且在直线上，∴点在二次函数图象上，在直线上，∴，解得，，∴点坐标为或【点睛】此题考查了反比例函数、一次函数、二次函数、待定系数法、点的旋转等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键．35．（2023·湖南怀化·统考三模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．(1)分別判断函数，的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；(2)设函数（），的图象的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为3时，求的值：(3)若函数（）的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出的取值范围．【答案】(1)函数的图象上不存在“等值点”，函数的图象上有两个“等值点”或(2)的值为或(3)或【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（2）先根据“等值点”的定义求出函数的图象上有两个“等值点”，同理求出，根据的面积为3可得，求解即可；（3）先求出函数的图象上有两个“等值点”或，再利用翻折的性质分类讨论即可．【详解】（1）解：在中，令，得不成立，函数的图象上不存在“等值点”；在中，令，解得：，，函数的图象上有两个“等值点”或；（2）解：在函数中，令，解得：，，在函数中，令，解得：，，轴，，，的面积为3，，当时，，解得，当时，，，方程没有实数根，当时，，解得：，综上所述，的值为或；（3）解：令，解得：，，函数的图象上有两个“等值点”或，①当时，，两部分组成的图象上必有2个“等值点”或，，，令，整理得：，的图象上不存在“等值点”，，，，②当时，有3个“等值点”、、，

③当时，，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，

④当时，，两部分组成的图象上恰有1个“等值点”，

⑤当时，，两部分组成的图象上没有“等值点”，

综上所述，当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，或．【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“等值点”综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，综合性较强，解题的关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题．36．（2023·浙江金华·统考一模）定义：在平面直角坐标系中，直线与某函数图象交点记为点P，作该函数图象中，点P及点P右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点P及点P右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“迭代函数”．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为．

(1)写出函数关于直线的“迭代函数”的解析式为_________．(2)若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则_________．(3)以如正方形的顶点分别为：，其中．①若函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点，则______；②若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，则n的取值范围为______．【答案】(1)(2)或．(3)①或，②或或．【分析】（1）根据“迭代函数”的定义可知“迭代函数”的图象是关于的对称，故求出图象上任意两点坐标，再根据函数关于直线的“迭代函数”是关于对称，求出对称点坐标，再由待定系数法求出“迭代函数”的解析式即可；（2）先求出原抛物线当时两点坐标，根据“迭代函数”的对称性可知与其中一点对称，分两种情况求解即可；（3）①先画出函数关于直线的“迭代函数”的图象．根据三个公共点的不同情况分两种情况求解即可；②根据正方形和“迭代函数”的图象对称性可知．四个公共点的分别是第一象限两个、第三象限或第二象限两个，分别结合图象进行求解．【详解】（1）解：当时，，当时，，∴则点、关于直线的对称点为，，设直线关于直线的对称直线为，则，解得，∴直线为，∴函数关于直线的”迭代函数”的解析式为；故答案为：（2），∴的顶点坐标为当时，解得：，，即与轴交点为、若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，当与是关于直线对称时，，当与是关于直线对称时，，综上所述：若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则或，故答案为：或．（3）①函数关于直线的“迭代函数”的图象如图所示：

∴函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有3个公共点，有两种情况：当第一象限有两个公共点时，第三个交点在第三象限，当图象上的点，，此时，当第三象限有两个公共点时，第三个公共点在第一象限，函数图象正好经过正方形的顶点，，，此时，综上所述：若函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点，则或．②如图：

若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，则第一象限一点一定有两个交点它们是、；根据正方形和“迭代函数”的图象对称性，I．当时，“迭代函数”的图象与正方形最多有3个公共点，II．当时，“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，如图所示，III．当，若第三象限由两个公共点，则第二象限无公共点，此时点关于对称点在正方形外，即：，解得：，此时点在函数关于直线的“迭代函数”的图象，即：，即：时，“迭代函数”的图象与正方形在第三象限有两个公共点，第二象限无公共点，Ⅳ．当，若第二象限有两个公共点，则第三象限无公共点，此时点关于对称点在正方形内，即：，解得：，此时点不在函数关于直线的“迭代函数”的图象，即：，∴．当，若第二象限有两个公共点，则第三象限无公共点，综上所述：若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，n的取值范围为或或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义”迭代函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．37．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．

(1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是___________；(2)点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线的解析式是___________．当时，x的取值范围是___________．(3)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由．【答案】(1)，(2)，，或(3)是直角三角形，理由见解析【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可；（2）把代入求出解析式，再求与的交点即为，最后根据函数图象判断当时，x的取值范围；（3）根据“梦之点”的定义求出点A，B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出，，，即可判断的形状．【详解】（1）∵矩形的顶点坐标分别是，，，，∴矩形“梦之点”满足，，∴点，是矩形“梦之点”，点不是矩形“梦之点”，故答案为：，；（2）∵点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，∴把代入得，∴，∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，∴“梦之点”都在直线上，联立，解得或，∴，∴直线的解析式是，函数图象如图：

由图可得，当时，x的取值范围是或；故答案为：，，或；（3）是直角三角形，理由如下：∵点A，B是抛物线上的“梦之点”，∴联立，解得或，∴，，∵∴顶点，∴，，，∴，∴是直角三角形．【点睛】本题是函数的综合题，考查了一次函数、反比例函数、二次函数，理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，正确理解新定义是解决此题的关键．38．（2023·江西新余·统考一模）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．【特例感知】(1)抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______．【深入探究】(2)经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标．【拓展运用】(3)在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．①当时，求点的坐标．②若直线与直线关于极限分割线对