第10章分式（基础常考易错）分类专项训练

第10章分式（基础、常考、易错）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算的结果是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】根据分式的加减运算即可求出答案．【详解】解：原式=1故选：A【点睛】此题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题关键．2．（2023春·江苏·八年级专题练习）把分式约分的结果是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据平方差公式对分子进行因式分解，然后化简即可．【详解】解：故选：D．【点睛】本题考查了平方差公式和分式的化简；正确运用公式是解题的关键．3．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知，则的值为（）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】把变形得到整体代入求值即可．【详解】解：∵，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查分式求值，掌握整体代入是解题的关键．4．（2023春·江苏·八年级专题练习）化简的结果是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同分母分式相加减的运算法则计算即可．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．【详解】解：原式．故选：C．【点睛】本题主要考查了同分母分式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．5．（2017春·江苏无锡·八年级校考期中）如果分式的值是零，则x的取值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0，据此计算．【详解】解：由题意可得且，解得．故选：A．【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．6．（2021春·江苏常州·八年级校考期中）广元市坚持以建设中国生态康养旅游名市和中国最干净城市为目标，把治水作为民生实事的重要工程，在推进南河水质改善的行动中，需要铺设一段全长为的排污管道，实际施工时每天的工作效率比原计划增加，结果提前天完成这一任务．设原计划每天铺管道，根据题意，新列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设原计划每天铺管道，根据关键语句“需要铺设一段全长为的排污管道，实际施工时每天的工作效率比原计划增加，结果提前天完成这一任务”列出方程，从而解答本题．【详解】解：原计划每天铺管道，则实际施工时每天铺管道，依题意，得：．故选：A．【点睛】本题考查的是由实际问题抽象出分式方程．解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．7．（2023春·江苏南京·八年级校考阶段练习）代数式，，，中，属于分式的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据分式的定义进行判断即可．【详解】解：，，，中，属于分式的有，，共2个，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的定义，一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母．8．（2022春·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）下列分式中属于最简分式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根据最简分式的定义分别判断即可．【详解】解：A、，不是最简分式，故此选项不符合题意；B、，不是最简分式，故此选项不符合题意；C、=，不是最简分式，故此选项不符合题意；D、是最简分式，故此选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了最简分式的识别，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．9．（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的方程是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】把原方程按按照所给条件换元，整理即可．【详解】解：设，可化为，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查换元法解方程，解题的关键是熟练掌握换元法．10．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期末）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（

）A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．缩小6倍 D．不变【答案】D【分析】按照题意将原式中的字母都扩大3倍，再化简，即可得出结论．【详解】解：扩大3倍后，原式变为，∵，∴分式的值不变，故选：D．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题关键是掌握将分式的分子与分母同时乘以或除以同一个整式（除数或除式不为0），分式的值不变．二、填空题11．（2023春·江苏·八年级专题练习）化简：__．【答案】【分析】分子分母同时除以，化简即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查分式的性质，正确理解题意是解题的关键．12．（2023秋·江苏南通·八年级如皋市实验初中校考期末）如果分式有意义，那么x的取值范围是______．【答案】【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，列不等式求解即可．【详解】∵分式有意义，∴，解得．故答案为：．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．13．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为__________．【答案】【分析】先表示乙每小时采样（x10）人，进而得出甲采样160人和乙采样140人所用的时间，再根据时间相等列出方程即可．【详解】根据题意可知乙每小时采样（x10）人，根据题意，得．故答案为：．【点睛】本题主要考查了列分式方程，确定等量关系是列方程的关键．14．（2023秋·江苏盐城·八年级校考期末）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是_____．【答案】1【分析】根据程序分析即可求解．【详解】解：∵输出y的值是2，∴上一步计算为或解得（经检验，是原方程的解），或当符合程序判断条件，不符合程序判断条件故答案为：1【点睛】本题考查了解分式方程，理解题意是解题的关键．15．（2022春·江苏镇江·八年级统考期末）是分式方程的根，则______．【答案】【分析】把代入分式方程得到关于的一元一次方程，然后再解方程即可．【详解】解：把代入分式方程得：，整理得：系数化为1得：．故答案为：．【点睛】本题考查了分式方程的解和解一元一次方程．理解分式方程解的意义和熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．16．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）计算：=______．【答案】【分析】根据分式的加法法则计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了分式的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．17．（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）计算：____．【答案】【分析】先计算括号内的分式化简，然后再计算除法即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】题目主要考查分式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．18．（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如果，则的值为____．【答案】【分析】把分式得分子、分母，同时除以，再把代入计算即可．【详解】解：分式的分子、分母同时除以得，∵∴故答案为：．【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确运用分式的运算法则与运算率进行分式的化简求值是解题的关键．19．（2023·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）三个分式：，，的最简公分母是_____________．【答案】【分析】按照求最简公分母的方法求解即可．【详解】解：∵、、的最小公倍数为，的最高次幂为，的最高次幂为，的最高次幂为，∴最简公分母为．故答案为：．【点睛】本题考查最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里；②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．理解和掌握求最简公分母的方法是解题的关键．三、解答题20．（2022春·江苏·八年级专题练习）化简下列分式：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据分式的约分的方法可以化简本题；（2）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题；（3）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题．【详解】解：（1）；（2）；（3）．【点睛】本题考查了约分，解题的关键是明确分式约分的方法．21．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算：【答案】．【分析】根据分式的除法法则即可得．【详解】解：．【点睛】本题考查了分式的除法，熟练掌握运算法则是解题关键．22．（2023春·江苏·八年级专题练习）解方程：．【答案】【分析】把分式方程化成整式方程，解整式方程即可，注意检验．【详解】解：去分母得：，解得：，检验：把代入得：，∴分式方程的解为．【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意解分式方程要检验．23．（2023秋·江苏南通·八年级如皋市实验初中校考期末）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某工厂为了满足市场需求，提高生产效率，在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有A，B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运750kg所用时间与B型机器人搬运500kg所用时间相等，求两种机器人每小时分别搬运多少原料？【答案】A种机器人每小时搬运90kg原料，B种机器人每小时搬运60kg原料【分析】设B种机器人每小时搬运xkg原料，则A种机器人每小时搬运（x+30）kg原料，由题意：A型机器人搬运750kg所用时间与B型机器人搬运500kg所用时间相等，列出分式方程，解方程即可．【详解】解：设B种机器人每小时搬运xkg原料，A种机器人每小时搬运（x＋30）kg原料．根据题意，得﹒解这个方程，得x＝60．经检验，x＝60是方程的解，且符合题意．x＋30＝90．答：A种机器人每小时搬运90kg原料，B种机器人每小时搬运60kg原料．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．24．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）先化简，再求值：，请在范围内选择一个你喜欢的整数代入求值．【答案】，时，原式【分析】先计算括号内的加法，再进行除法运算即可，再选取合适的整数代入求值即可．【详解】解：∵，且，且x为整数，∴，原式【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．25．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算：．【答案】【分析】根据异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再利用同分母分式的加减法则计算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查分式的减法运算，熟练掌握运算法则正确计算是解题的关键．26．（2023春·江苏·八年级专题练习）根据分式的基本性质填空：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）分子乘以可得．（2）先用完全平方公式将分子变形为，将分母变形为，由此可得答案．（3）将分母提取公因式得，由此可知答案．【详解】（1）分子乘以可得：，故答案为：．（2）将分子分母进行因式分解得：，故答案为：．（3）将分母提取公因式得，∴故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，正确运用完全平方公式和平方差公式是解题关键．【常考】一．选择题（共11小题）1．（2022秋•荔湾区期末）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A． B． C． D．【分析】利用分式性质依次判断．【解答】解：当a＝3，b＝4时，＝，＝，∴A不成立＝，∴B不成立．＝．∴D不成立．故选：C．【点评】本题考查分式性质，掌握分式性质，正确对分式进行化简是求解本题的关键．2．（2022春•宜兴市校级期中）下列式子中：，x2+5x，x，，，其中分式的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据分式的定义即可得出答案．【解答】解：分式有，，共2个，故选：B．【点评】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式是解题的关键．3．（2022春•宜兴市校级期中）下列分式中，属于最简分式的是（）A． B． C． D．【分析】一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．【解答】解：A、该分式的分子、分母中含有公因式x，不是最简分式，故不符合题意．B、该分式的分子、分母中含有公因式（x﹣y），不是最简分式，故不符合题意．C、该分式的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故符合题意．D、该分式的分子、分母中含有公因式（x+3y），不是最简分式，故不符合题意．故选：C．【点评】本题考查最简分式，解题的关键是正确理解最简分式的定义，本题属于基础题型．4．（2022春•兴化市期末）把分式中的x和y都扩大3倍，则分式的值（）A．不变 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：＝＝，∴把分式中的x和y都扩大3倍，则分式的值扩大为原来的3倍，故选：B．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．5．（2021春•姜堰区期中）若分式的值为零，则x的值等于（）A．﹣1 B．0 C．2 D．1【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案．【解答】解：∵x﹣1＝0，2x+2≠0，∴x＝1．故选：D．【点评】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．6．（2022春•张家港市期中）要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠4 B．x＞4 C．x＜4 D．x＝4【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．【解答】解：根据题意得：x﹣4≠0，∴x≠4．故选：A．【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．7．（2022春•江都区期中）如果分式中，x，y的值都变为原来的2倍，则分式的值（）A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大2倍 D．不能确定【分析】由题意可知x，y的值都变为原来的2倍后分别为2x，2y，然后再代入进行计算即可．【解答】解：由题意可得：x，y的值都变为原来的2倍后分别为2x，2y，∴＝＝，所以：如果分式中，x，y的值都变为原来的2倍，则分式的值扩大2倍，故选：C．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．8．（2022春•惠山区校级期末）某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前10天完成任务，设原计划每天植树x万棵，则列方程为（）A．﹣＝10 B．﹣＝10 C．﹣＝10 D．﹣＝10【分析】根据“提前10天完成任务”即可列出方程．【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，∴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要天完成，∵提前10天完成任务，∴﹣＝10，故选：D．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是利用题目中的等量关系，本题属于基础题型．9．（2022春•兴化市期中）关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（）A．m＞2且m≠3 B．m＞2 C．m≥2且m≠3 D．m≥2【分析】先去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程得到x＝m﹣2，再利用解为正数且x﹣1≠0得到m﹣2＞0且m﹣2≠1，然后解不等式确定m的范围．【解答】解：去分母得m﹣3＝x﹣1，解得x＝m﹣2，∵x＞0且x≠1，即m﹣2＞0且m﹣2≠1，∴m＞2且m≠3．故选：A．【点评】本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．也考查了解一元一次不等式．10．（2022春•江阴市期中）若关于x的分式方程＝2的解为非负数，则m的取值范围是（）A．m＞﹣3 B．m≥﹣3 C．m＞﹣3且m≠﹣1 D．m≥﹣3且m≠﹣1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出m的范围即可．【解答】解：去分母得：m+1＝2x﹣2，解得：x＝，由题意得：≥0且≠1，解得：m≥﹣3且m≠﹣1，故选：D．【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．11．（2020春•江阴市校级期中）已知关于x的方程＝3的解是负数，那么m的取值范围是（）A．m＞﹣6且m≠﹣2 B．m＜﹣6 C．m＞﹣6且m≠﹣4 D．m＜﹣6且m≠﹣2【分析】解分式方程，用含m的代数式表示出方程的解，根据方程的解是负数，确定m的取值范围．【解答】解：去分母，得2x﹣m＝3x+6，∴x＝﹣m﹣6．由于方程的解为负数，∴﹣m﹣6＜0且﹣m﹣6≠﹣2，解得m＞﹣6且m≠﹣4．故选：C．【点评】本题考查了分式方程的解法、一元一次不等式的解法等知识点，掌握分式方程、一元一次不等式的解法是解决本题的关键．二．填空题（共4小题）12．（2019春•滨湖区期末）若分式值为0，则x的值为﹣1．【分析】直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案．【解答】解：若分式值为0，则x+1＝0且x≠0，解得：x＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的值为零则分子为零是解题关键．13．（2022秋•射阳县校级期末）已知关于x的方程＝1的解是正数，那么m的取值范围为m＜﹣1且m≠﹣2．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．【解答】解：去分母得：2x+m＝x﹣1，解得：x＝﹣m﹣1，由分式方程的解为正数，得到﹣m﹣1＞0，且﹣m﹣1≠1，解得：m＜﹣1且m≠﹣2，故答案为：m＜﹣1且m≠﹣2【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（2019春•高邮市期中）当x＝﹣1时，分式的值为零．【分析】根据分式的分子为0，分母不为0，可得分式的值为零．【解答】解：由分式的值为零的条件得|x|﹣1＝0，x﹣1≠0．解得x＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，要求掌握．分式值为0的条件：在分母不等于0的前提下，分子等于0，则分数值为0．15．（2020春•南京期末）要使分式有意义，则x的取值范围是x≠1．【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1，故答案为：x≠1．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．三．解答题（共7小题）16．（2022春•广陵区期末）解方程．（1）＝．（2）+2＝．【分析】（1）根据解分式方程的过程即可求解；（2）根据解分式方程的过程即可求解．【解答】解：（1）去分母，得5（2x+1）＝x﹣1，去括号，得10x+5＝x﹣1，移项，合并同类项，得9x＝﹣6，系数化为1，得x＝﹣，检验：把x＝﹣代入（x﹣1）（2x+1）≠0，所以x＝﹣是原方程的解；（2）去分母，得1+2（x﹣2）＝x﹣1，去括号，得1+2x﹣4＝x﹣1，移项，合并同类项，得x＝2，检验：把x＝2代入x﹣2＝0，所以此方程无解．【点评】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是解分式方程时要验根．17．（2021春•秦淮区期末）先化简（﹣a+1）÷，然后从﹣2≤a≤2的范围内选择一个合适的整数作为a的值代入求值．【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝[﹣]•＝•＝＝＝，由分式有意义的条件可知：a≠﹣1，a≠2，∴故a可取，a＝0，∴原式＝＝1．【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．18．（2022春•张家港市期中）已知关于x的分式方程．（1）若分式方程有增根，求m的值；（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，（1）由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，代入整式方程计算即可求出m的值；（2）表示出分式方程的解，由分式方程的解是正数，求出m的范围即可．【解答】解：去分母得：2﹣x﹣m＝2x﹣4，（1）由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程得：m＝0；（2）解得：x＝，根据分式方程的解为正数，得到＞0，且≠2，解得：m＜6且m≠0．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．19．（2021春•沛县月考）阅读理解材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先计算分子中有几个分母求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数，例如：＝1+＝1．类似的，我们可以将下列的分式写成一个整数与一个新分式的和．例如：＝1+．＝＝1+．材料2：为了研究字母x和分式值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234……﹣0.25﹣0.﹣0.5﹣1无意义10.50.0.25…请根据上述材料完成下列问题：（1）把下面的分式写成一个整数与一个新分式的和的形式：＝1+；＝1+；（2）当x＞0时，随着x的增大，分式的值减小（增大或减小）；（3）当x＞﹣1时，随着x的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由．【分析】（1）先变形得出＝+，＝再求出答案即可；（2）分别求出x＝2，x＝3，x＝4时，的值，再比较大小即可；（3）得出原式＝2+，再求出答案即可．【解答】解：（1）＝1+，＝＝1+，故答案为：1+，1+；（2）当x＝2时，＝＝2，当x＝3时，＝＝，当x＝4时，＝，…，∵2＞＞，∴当x增大时，的值越来越小，故答案为：减小；（3）2，理由如下：∵，随着x的值的增大，的值逐渐减小，∴随着x的值的增大，的值无限趋近于2．【点评】本题考查了分式的加减，能灵活运用分式的加减法则进行计算是解此题的关键．20．（2022•宿城区校级模拟）“冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某文旅店订购“冰墩墩”花费6000元，订购“雪容融”花费3200元，其中“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多20元，并且订购“冰墩墩”的数量是“雪容融”的1.25倍．（1）求文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”的数量分别是多少个；（请列分式方程作答）（2）该文旅店以100元和80元的单价销售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出，“雪容融”售出后，文旅店为了尽快回笼资金，决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，很快全部售完，若要保证文旅店总利润不低于6060元，求a的最小值．【分析】（1）文旅店订购“雪容融”的数量为x个，则订购“冰墩墩”的数量为1.25x个，由题意：某文旅店订购“冰墩墩”花费6000元，订购“雪容融”花费3200元，其中“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多20元，列出分式方程，解方程即可；（2）由题意：要保证文旅店总利润不低于6060元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）文旅店订购“雪容融”的数量为x个，则订购“冰墩墩”的数量为1.25x个，由题意得：﹣＝20，解得：x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，则1.25x＝100，答：文旅店订购“冰墩墩”的数量是100个，订购“雪容融”的数量是80个；（2）由题意得：100××100+100××100×0.1a+80××80+80××（80﹣2a）﹣6000﹣3200≥6060，解得：a≥8，答：a的最小值为8．【点评】此题考查分式方程的应用与一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．21．（2022春•梁溪区校级期末）为响应垃圾分类的要求，营造干净整洁的学习生活环境，创建和谐文明的校园环境．工大附中准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用18000元购买A种垃圾桶的组数量是用13500元购买B种垃圾桶的组数量的2倍．（1）求A、B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元；（2）该学校计划用不超过8000元的资金购买A、B两种垃圾桶共20组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？【分析】（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元，利用数量＝总价÷单价，结合用18000元购买A种垃圾桶的组数量是用135000元购买B种垃圾桶的组数量的2倍，列出分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（20﹣y）组，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过8000元，列出一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，再取其中的最大整数值即可．【解答】解：（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元，依题意得：＝2×，解得：x＝300，经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意，∴x+150＝300+150＝450．答：A种垃圾桶每组的单价为300元，B种垃圾桶每组的单价为450元．（2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（20﹣y）组，依题意得：300（20﹣y）+450y≤8000，解得：y≤，又∵y为正整数，∴y的最大值为13．答：最多可以购买B种垃圾桶13组．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．22．（2021春•姜堰区期中）在近期“抗疫”期间，某学校购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1元，且用7500元购买A型口罩的数量与用4500元购买B型口罩的数量相同．（1）求A、B两种型号口罩的单价各是多少元？（2）根据疫情发展情况，学校还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过6600元，求增加购买A型口罩的数量最多是多少个？【分析】（1）设B型口罩的单价是x元，则A型口罩的单价是（x+1）元，根据数量＝总价÷单价，结合“用7500元购买A型口罩的数量与用4500元购买B型口罩的数量相同”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设增加购买A型口罩的数量是y个，则增加购买B型口罩数量是2y个，根据总价＝单价×数量，结合总价不超过6600元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设B型口罩的单价是x元，则A型口罩的单价是（x+1.5）元，依题意得：＝，解得：x＝1.5，经检验，x＝1.5是原方程的解，且符合题意，∴x+1.5＝2.5．答：A型口罩的单价是2.5元，B型口罩的单价是1.5元．（2）设增加购买A型口罩的数量是y个，则增加购买B型口罩数量是2y个，依题意得：2.5y+1.5×2y≤6600，解得：y≤1200．答：增加购买A型口罩的数量最多是1200个．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．【易错】一．选择题（共9小题）1．（2022春•广陵区期末）下列分式从左到右变形错误的是（）A． B． C． D．【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．【解答】解：A、＝，故A不符合题意；B、≠，故B符合题意；C、＝﹣，故C不符合题意；D、＝＝，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．2．（2022春•润州区校级期末）若a≠b，则下列分式变形正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．【解答】解：A、≠，故A不符合题意；B、≠，故B不符合题意；C、≠，故C不符合题意；D、＝，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．3．（2022春•淮阴区期末）关于x的分式方程﹣＝3有增根，则m的值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】根据题意可得x＝1，然后代入整式方程中进行计算，即可解答．【解答】解：﹣＝3，m﹣2＝3（x﹣1），解得：x＝，∵分式方程有增根，∴x＝1，把x＝1代入x＝中，1＝，解得：m＝2，故选：B．【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．4．（2022春•沭阳县期末）把分式中的x、y缩小为原来的，那么分式的值（）A．缩小2倍 B．扩大2倍 C．改变为原来的 D．不改变【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：＝，∴把分式中的x、y缩小为原来的，那么分式的值不改变，故选：D．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．5．（2022春•南京期末）若关于x的方程﹣＝0的解是x＝6，则关于y的方程﹣＝0的解是（）A．y1＝4，y2＝﹣4 B．y1＝2，y2＝﹣2 C．y1＝，y2＝﹣ D．y1＝．y2＝﹣【分析】设y2+2＝a，则关于y的方程可化为﹣＝0，从而可得a＝6，然后解方程y2+2＝6，进行计算即可解答．【解答】解：设y2+2＝a，则方程﹣＝0可化为：﹣＝0，∵方程﹣＝0的解是x＝6，∴a＝6，检验：当a＝6时，a（a﹣2）≠0，∴a＝6是原方程的根，∴y2+2＝6，∴y1＝2，y2＝﹣2，故选：B．【点评】本题考查了解分式方程，分式方程的解，熟练掌握换元法解分式方程是解题的关键．6．（2022春•宿迁期末）把分式中的x，y同时扩大到原来的2倍，则分式的值（）A．扩大到原来的2倍 B．扩大到原来的4倍 C．缩小到原来的 D．不改变【分析】将原式中的x，y分别用2x，2y代换进行计算化简可得此题结果．【解答】解：将原式中的x，y分别用2x，2y代换进行计算得，＝＝＝，故选：D．【点评】此题考查了分数基本性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．7．（2022春•常州期末）下列计算中，一定正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．【解答】解：A、分子乘以b，分母乘以a，不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意；B、分子和分母约分后，符合分式的基本性质，原变形正确，故此选项符合题意；C、分子和分母不能分解因式，原变形错误，故此选项不符合题意；D、a÷b•＝a••＝，原变形错误，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．8．（2022春•宿城区期末）关于x的方程＝1的解为正数，则a的取值范围是（）A．a＞﹣2 B．a＞2 C．a＞2且a≠3 D．a＞﹣2且a≠﹣1【分析】原分式方程可化为：a+1＝x﹣1，求出解，再根据解为正数，x≠1，列不等式，求出公共的解集．【解答】解：原分式方程可化为：a+1＝x﹣1，解得x＝a+2，∵解为正数，x≠1，∴a+2＞0，a+2≠1，∴a＞﹣2且a≠﹣1，故选：D．【点评】本题考查了分式方程解、解一元一次不等式，掌握解分式方程的步骤及最简公分母不为0，列出不等式是解题关键．9．（2022春•宜兴市校级月考）若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程有解，则满足条件的所有整数m的积为（）A．15 B．﹣48 C．﹣60 D．120【分析】先求解不等式组，根据不等式组有且仅有3个整数解，得出m的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有解，得到m≠﹣2且m≠﹣4，进而得到满足条件的整数m的值之积．【解答】解：解不等式组：，得＜x＜3，∵不等式组有且仅有3个整数解，∴﹣1≤＜0，∴﹣5≤m＜﹣1，又∵分式方程有解，y＝﹣且y≠3，解得m≠﹣2且m≠﹣4，∴满足条件的所有整数m的值为﹣5，﹣3，∴满足条件的所有整数m的积是15．故选：A．【点评】本题主要考查了分式方程的解和解一元一次不等式组，根据题目的条件确定常数的取值范围是解决本题的关键．二．填空题（共4小题）10．（2022春•铜山区期末）若m+n＝3mn，且m≠0，则的值为3．【分析】利用异分母分式的加法法则，进行计算即可解答．【解答】解：∵m+n＝3mn，∴＝＝＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．11．（2022春•惠山区期末）若关于x的分式方程有增根，则实数m的值是3．【分析】根据题意可得x＝1，然后把x的值代入整式方程中进行计算即可解答．【解答】解：，去分母得：x+2＝m，∵分式方程有增根，∴x＝1，把x＝1代入整式方程得：1+2＝m，解得：m＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．12．（2022春•灌云县期末）若关于x的分式方程＝3的解是非负数，则m的取值范围是m≤6且m≠4．【分析】求得分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可求解．【解答】解：关于x的分式方程＝3的解为：x＝6﹣m，∵分式方程有可能产生增根2，∴6﹣m≠2，∴m≠4，∵关于x的分式方程＝3的解是非负数，∴6﹣m≥0，解得：m≤6，综上，m的取值范围是：m≤6且m≠4．故答案为：m≤6且m≠4．【点评】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要注意有可能产生增根的情况，这是解题的关键．13．（2022春•宜兴市校级月考）当x≠1时，分式有意义；如果分式的值为0，那么x的值是1．【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0；分式值为0，即分子为0，分母不为0，进行计算即可解答．【解答】解：当x﹣1≠0时，即当x≠1时，分式有意义，∵分式的值为0，∴x2﹣1＝0且x+1≠0，∴x＝±1且x≠﹣1，∴x＝1，故答案为：≠1，1．【点评】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为0的条件，熟练掌握分式有意义的条件，分式的值为0的条件是解题的关键．三．解答题（共7小题）14．（2022春•吴中区校级月考）先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中a＝﹣．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：÷（a+2﹣）＝÷＝•＝﹣＝﹣，当a＝﹣时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．15．（2022春•淮安区期末）解分式方程：（1）；（2）．【分析】（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：（1），x+3＝2x，解得：x＝3，检验：当x＝3时，x（x+3）≠0，∴分式方程的解为x＝3；（2），3x＝6﹣（x﹣2），解得：x＝2，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，∴x＝2是原方程的增根，∴原方程无解．【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程，必须要检验．16．（2022春•泰州期末）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x2＝2x+2代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：＝•＝•＝，∵x2﹣2x﹣2＝0，∴x2＝2x+2，∴当x2＝2x+2时，原式＝＝＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．17．（2022春•新吴区期末）先化简，再选一个你喜欢的数代入求值：（﹣）÷．【分析】先算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：（﹣）÷＝[﹣]•＝（﹣）•＝•＝a+3，∵a﹣2≠0，a2﹣9≠0，∴a≠2，a≠±3，∴当a＝1时，原式＝1+3＝4．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．18．（2021秋•海门市期末）定义：若两个分式的差的绝对值为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．（1）下列3组分式：①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有②③（只填序号）；（2）若正实数a，b互为倒数，求证，分式与属于“友好分式组”；（3）若a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值．【分析】（1）根据给出的“友好分