第10讲空间向量(原卷版+解析)

第10讲空间向量高考预测一：线线角、线面角、二面角、距离问题1．如图，在三棱锥中，底面，，为的中点，为中点，，．（1）求证：平面；（2）求与平面成角的正弦值；（3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由．2．如图，在三棱柱中，，，，为的中点，且．（1）求证：平面；（2）求多面体的体积；（3）求二面角的平面角的余弦值．3．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围．4．如图，在几何体中，底面是平行四边形，，，，，，平面，与交于点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若平面与平面所成的锐二面角余弦值为，求线段的长度．5．在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，为的中点，平面平面．求与成角的余弦值（1）求平面与平面所成的锐二面角的大小；（Ⅲ）在棱上是否存在点使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由6．如图，三棱柱中，侧面为的菱形，．（1）证明：平面平面．（2）若，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．7．如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面，四边形为平行四边形，，．（Ⅰ）若，求证：平面；（Ⅱ）若，，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．8．如图，在三棱锥中，平面，，，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）求点到平面的距离．9．如图，在直三棱柱中，．（1）若，求证：平面；（2）若，是棱上的一动点．试确定点的位置，使点到平面的距离等于．10．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，．（1）证明：；（2）当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时二面角的大小．第10讲空间向量高考预测一：线线角、线面角、二面角、距离问题1．如图，在三棱锥中，底面，，为的中点，为中点，，．（1）求证：平面；（2）求与平面成角的正弦值；（3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由．【解析】（1）证明：底面，，又，，平面，平面，．为的中点，，．．平面；（2）由题意建立如图所示的空间直角坐标系．，0，，，2，，，2，，，0，，，1，，．，1，，，2，，．设平面的法向量为，，，则，取，，．设与平面成角为，则．（3）假设在线段上存在点，使得平面．设，，2，，．，平面，平面的法向量为，0，，，解得．点是靠近点的四等分点．2．如图，在三棱柱中，，，，为的中点，且．（1）求证：平面；（2）求多面体的体积；（3）求二面角的平面角的余弦值．【解析】解：（1）证明：，为的中点．又，平面又，面．（2）棱锥（3）以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．则，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，0，设是面的一个法向量，则由得可取，1，同理设是面的一个法向量，且，，，0，则由得取二面角为锐二面角，所以其平面角的余弦值为．3．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围．【解析】解：证明：在梯形中，，，，平面平面，平面平面，平面平面由可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示空间直角坐标系，令，则，，1，，，0，设为平面的一个法向量，由得取，则，是平面的一个法向量当时，有最小值，当时，有最大值．．4．如图，在几何体中，底面是平行四边形，，，，，，平面，与交于点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若平面与平面所成的锐二面角余弦值为，求线段的长度．【解析】（Ⅰ）证明：取的中点，连接，．又点为的中点，，又，，．．四边形为平行四边形，．又平面，平面，平面；（Ⅱ）解：，，，．，．又平面，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．可得：，0，，，，，，0，，，0，，，，，，，，，0，，，1，，，，．设平面的法向量为，，，则，可得：，取，，．设平面的法向量为，，，则，可得：，取，，．平面与平面所成的锐二面角余弦值为，，解得或．由平面与平面所成二面角为锐二面角，因此取．5．在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，为的中点，平面平面．求与成角的余弦值（1）求平面与平面所成的锐二面角的大小；（Ⅲ）在棱上是否存在点使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由【解析】解：取的中点，连接，，，平面平面，平面平面，平面，平面；如图所示，以为原点，所在的直线为轴，在平面内过垂直于的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系；由直角梯形中，，可得，0，，，1，，，2，，，0，，，0，，，2，，，0，；，，与成角的余弦值为；（Ⅱ）由，，，，1，，设平面的法向量为，，，，即，令，得，，；取平面的一个法向量，1，；，，平面与平面所成的锐二面角为；（Ⅲ）设，则，0，，，0，，若平面，则，解得，即时，满足平面．6．如图，三棱柱中，侧面为的菱形，．（1）证明：平面平面．（2）若，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．【解析】证明：（1）连接交于，连接，侧面为菱形，，，为的中点，又，平面平面平面平面．（2）由，，，平面，平面，从而，，，两两互相垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，直线与平面所成的角为，，设，则，又，是边长为2的等边三角形，0，，，0，，，1，，，，，，，，设是平面的法向量，则，令，设直线与平面所成的角为．则．直线与平面所成角的正弦值为．7．如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面，四边形为平行四边形，，．（Ⅰ）若，求证：平面；（Ⅱ）若，，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．【解析】证明：（Ⅰ）若，则四边形为正方形，则，，，为直角三角形，则，平面，平面，则，，平面；（Ⅱ）若，，，则，建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图：则，0，，，0，，，，，，0，，，，，则，，，，0，，，，，设面的一个法向量为，0，．则，，则，，令，则，则，，设面的一个法向量为，，，，则，，令，则，则，0，，二面角的余弦值为，，，即，得，即，则三棱锥的体积．8．如图，在三棱锥中，平面，，，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）求点到平面的距离．【解析】解：如图示：，以为原点建立空间直角坐标系，由题意得：，0，，，0，，，1，，，2，，，0，，（Ⅰ）证明：，1，，，1，，，0，，，，即，，，平面；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，1，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，，，而，1，，，0，，则，即，不妨设，可得，1，，易知二面角为锐角，因此有，，即二面角的余弦值是；（Ⅲ）解：，0，，，1，，，0，，作平面，垂足为，设，，，且，由，，得：，解得，，，，，即点到平面的距离是．9．如图，在直三棱柱中，．（1）若，求证：平面；（2）若，是棱上的一动点．试确定点的位置，使点到平面的距离等于．【解析】（1）证明：当时，．又，，且，平面．而平面，．由，得到平面．（2）解：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为，0，、，2，、，2，，设，0，．设平面的法向量为，则，．，2，，，且，，，取，得平面的一个法向量为，且，又，于是点到平面的距离，或（舍所以，当点为棱的中点时，点到平面的距离等于．10．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，．（1）证明：；（2）当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时二面角的大小．【解析】（1）证明：分别取，的中点，，连接，，，因为，所以，又因为，所以，又因为，，所以平面，因为平面，所以，在中，因为垂直平分，所以，又因为，，所以，从而可得；（2）解：由（1）