新高考数学专题复习专题50圆锥曲线(多选题部分)专题练习(学生版+解析)VIP

专题50圆锥曲线（多选题部分）一、题型选讲题型一、圆锥曲线定义与性质的考查例1、（202年山东卷）已知曲线（）A．若，，则是两条直线B．若，则是圆，其半径为C．若，则是椭圆，其焦点在轴上D．若，则是双曲线，其渐近线方程为例2、已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（）A．的方程为 B．的离心率为C．曲线经过的一个焦点 D．直线与有两个公共点例3、（2020·山东济南外国语学校高三月考）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中的有关结论正确的是（）A． B． C． D．例4、已知双曲线，若的离心率最小，则此时（）A． B．双曲线的渐近线方程为C．双曲线的一个焦点坐标为 D．双曲线的焦点到渐近线的距离为题型二圆锥曲线的综合性问题例5、我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆：，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（）A． B．C．轴，且 D．四边形的内切圆过焦点，例6、已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．的最小值为B．椭圆的短轴长可能为2C．椭圆的离心率的取值范围为D．若，则椭圆的长轴长为例7、（2020·山东高三开学考试）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点、，则（）A．若、同在双曲线的右支，则的斜率大于B．若在双曲线的右支，则最短长度为C．的最短长度为D．满足的直线有4条（公众号：高中数学最新试题）例8、（2020·江苏扬州中学高二月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．的最小值为B．椭圆的短轴长可能为2C．椭圆的离心率的取值范围为D．若，则椭圆的长轴长为例9、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，的外角平分线交x轴于点Q，过Q作交的延长线于，作交线段于点，则（）A． B． C． D．二、达标训练1、（2020·山东高三其他模拟）关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（）.A．它们有相同的渐近线 B．它们有相同的顶点C．它们的离心率不相等 D．它们的焦距相等2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C的方程为的是()A．离心率为 B．双曲线过点C．渐近线方程为 D．实轴长为43、（2020届山东省德州市高三上期末）已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点、两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（）A． B． C． D．4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（）A．以线段为直径的圆与直线相离 B．以线段为直径的圆与轴相切C．当时， D．的最小值为45、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则（）A．C的焦距为B．C的离心率为C．圆D在C的内部D．的最小值为（公众号：高中数学最新试题）6、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知抛物线的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则（）A．若，则B．以为直径的圆与准线相切C．设，则D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条7、（2020·福清西山学校高二期中）在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（）A．的方程为 B．的离心率为C．的渐近线与圆相切 D．满足的直线仅有1条专题50圆锥曲线（多选题部分）一、题型选讲题型一、圆锥曲线定义与性质的考查例1、（202年山东卷）已知曲线（）A．若，，则是两条直线B．若，则是圆，其半径为C．若，则是椭圆，其焦点在轴上D．若，则是双曲线，其渐近线方程为【答案】AD【详解】对于A，若，，则即，为两条直线，故A正确；对于B，若，则，所以是圆，半径为，故B错误；对于C，若，则，所以即为椭圆，且焦点在轴上，故C错误；对于D，若，则为双曲线，且其渐近线为，故D正确.例2、已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（）A．的方程为 B．的离心率为C．曲线经过的一个焦点 D．直线与有两个公共点【答案】AC【详解】对于A：由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，把点代入，得，即．双曲线的方程为，故正确；对于B：由，，得，双曲线的离心率为，故错误；对于C：取，得，，曲线过定点，故正确；对于D：双曲线的渐近线，直线与双曲线的渐近线平行，直线与有1个公共点，故不正确．故选：．例3、（2020·山东济南外国语学校高三月考）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中的有关结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】ABCD【解析】由双曲线的定义知：，由可得，在中，由余弦定理可得：，解得或，或，或，又，可得或故选：ABCD例4、已知双曲线，若的离心率最小，则此时（）A． B．双曲线的渐近线方程为C．双曲线的一个焦点坐标为 D．双曲线的焦点到渐近线的距离为【答案】AB【解析】因为，所以双曲线的焦点在轴上，所以，，所以．又双曲线的离心率，则．因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，则双曲线的离心率最小时，，，，则双曲线的渐近线方程为，故A，B正确；双曲线的焦点坐标为（，0），故C错误；焦点到渐近线的距离为，故D错误.故选：AB．题型二圆锥曲线的综合性问题例5、我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆：，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（）A． B．C．轴，且 D．四边形的内切圆过焦点，【答案】BD【详解】∵椭圆∴对于A，若，则，∴，∴，不满足条件，故A不符合条件；对于B，，∴∴，∴∴，解得或（舍去），故B符合条件；对于C，轴，且，∴∵∴，解得∵，∴∴，不满足题意，故C不符合条件；对于D，四边形的内切圆过焦点即四边形的内切圆的半径为c，∴∴，∴，解得（舍去）或，∴，故D符合条件．例6、已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．的最小值为B．椭圆的短轴长可能为2C．椭圆的离心率的取值范围为D．若，则椭圆的长轴长为【答案】ACD【详解】A.因为，所以，所以，当，三点共线时，取等号，故正确；B．若椭圆的短轴长为2，则，所以椭圆方程为，，则点在椭圆外，故错误；C．因为点在椭圆内部，所以，又，所以，所以，即，解得，所以，所以，所以椭圆的离心率的取值范围为，故正确；D．若，则为线段的中点，所以，所以，又，即，解得，所以，所以椭圆的长轴长为，故正确．例7、（2020·山东高三开学考试）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点、，则（）A．若、同在双曲线的右支，则的斜率大于B．若在双曲线的右支，则最短长度为C．的最短长度为D．满足的直线有4条【答案】BD【解析】易知双曲线的右焦点为，设点、，设直线的方程为，当时，直线的斜率为，联立，消去并整理得.则，解得.对于A选项，当时，直线轴，则、两点都在双曲线的右支上，此时直线的斜率不存在，A选项错误；对于B选项，，B选项正确；对于C选项，当直线与轴重合时，，C选项错误；对于D选项，当直线与轴重合时，；当直线与轴不重合时，由韦达定理得，，由弦长公式可得，解得或.故满足的直线有条，D选项正确.故选：BD.例8、（2020·江苏扬州中学高二月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．的最小值为B．椭圆的短轴长可能为2C．椭圆的离心率的取值范围为D．若，则椭圆的长轴长为【答案】ACD【解析】A.因为，所以，所以，当，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆的短轴长为2，则，所以椭圆方程为，，则点在椭圆外，故错误；C.因为点在椭圆内部，所以，又，所以，所以，即，解得，所以，所以，所以椭圆的离心率的取值范围为，故正确；D.若，则为线段的中点，所以，所以，又，即，解得，所以，所以椭圆的长轴长为，故正确.故选：ACD例9、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，的外角平分线交x轴于点Q，过Q作交的延长线于，作交线段于点，则（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由抛物线的定义，，A正确；∵，是的平分线，∴，∴，B正确；若，由是外角平分线，，得，从而有，于是有，这样就有，为等边三角形，，也即有，这只是在特殊位置才有可能，因此C错误；连接，由A、B知，又，是平行四边形，∴，显然，∴，D正确．二、达标训练1、（2020·山东高三其他模拟）关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（）.A．它们有相同的渐近线 B．它们有相同的顶点C．它们的离心率不相等 D．它们的焦距相等【答案】CD【解析】双曲线的顶点坐标，渐近线方程：，离心率为：，焦距为10．双曲线，即：，它的顶点坐标，渐近线方程：，离心率为：，焦距为10．所以它们的离心率不相等，它们的焦距相等．故选：．2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C的方程为的是()A．离心率为 B．双曲线过点C．渐近线方程为 D．实轴长为4【答案】ABC【解析】由题意，可得：焦点在轴上，且；A选项，若离心率为，则，所以，此时双曲线的方程为：，故A正确；B选项，若双曲线过点，则，解得：；此时双曲线的方程为：，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为：，所以，解得：，所以此时双曲线的方程为：，故C正确；D选项，若实轴长为4，则，所以，此时双曲线的方程为：，故D错误；故选：ABC.（公众号：高中数学最新试题）3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点、两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】如下图所示：分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形，，则，，得，A选项正确；，又，为的中点，则，B选项正确；，，（抛物线定义），C选项正确；，，D选项错误.故选：ABC.4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（）A．以线段为直径的圆与直线相离 B．以线段为直径的圆与轴相切C．当时， D．的最小值为4【答案】ACD【解析】对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：对于选项B，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.对于选项C，D，设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得，，，若设，则，于是，最小值为4；当可得，，所，.故选:ACD.5、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则（）A．C的焦距为B．C的离心率为C．圆D在C的内部D．的最小值为【答案】BC【解析】，，则C的焦距为，.设（），则，所以圆D在C的内部，且的最小值为.故选：BC.6、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知抛物线的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则（）A．若，则B．以为直径的圆与准线相切C．设，则D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条【答案】ABC【解析】对于选项A,因为,所以,则,故A正确；对于选项B,设为中点,设点在上的射影为,点在上的射影为,则由梯形性质可得,故B正确；对于选项C,因为,所以,故C正确；对于选项D,显然直线,与抛物线只有一个公共点,设过的直线为,联立,可得,令,则,所以直线与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D错误