数学教案：空间中的垂直关系直线与平面垂直

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精示范教案eq\o（\s\up7(），\s\do5(整体设计))教学分析本节教材给出了两直线垂直和直线与平面垂直的定义，并讨论了判定定理和性质．在教学过程中，要注意调动学生的学习积极性,留出足够思考时间，培养学生的思维能力．值得注意的是尽量使用信息技术，以便突破难点．对于判定定理的证明不作要求，仅供学习有余力的同学参考．三维目标1．掌握两直线垂直和直线与平面垂直的定义，培养学生的空间想象能力．2．掌握直线与平面垂直的判定定理及其推论，提高学生的应用能力．重点难点教学重点:直线与平面垂直的判定定理及其推论．教学难点：归纳判定定理,证明推论2。课时安排1课时eq\o（\s\up7(）,\s\do5(教学过程）)导入新课设计1.(情境导入)日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识,比如,旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象．在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子．随着时间的变化，尽管影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直．也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的．设计2。（实例导入）如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直?举例说明．如下图，直线AC1与直线BD、EF、GH等无数条直线垂直，但直线AC1与平面ABCD不垂直．推进新课eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出问题））(1）阅读教材，说说空间中两直线垂直的定义．（2)想想看，如果A,B是空间中的两点，那么在空间中线段AB的垂直平分线有多少条？AB的这些垂直平分线构成的集合是怎样的图形（如下图)?固定线段AB，让l保持与AB垂直并绕直线AB在空间旋转，l的轨迹是怎样的图形?（3)归纳空间直线与平面垂直的定义．（4）直线l⊥平面α,直线mα，则l与m垂直吗?讨论结果：（1）如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点,并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．（2)容易发现，空间中线段AB的所有垂直平分线构成的集合是一个平面．(3）如果一条直线(AB）和一个平面(α）相交于点O，并且和这个平面内过交点（O）的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．(4)如下图，如果l⊥a,垂足为O，直线m是平面α内不过点O的任意一条直线，那么在α内过点O，可引直线m∥a,根据空间直线与平面垂直的定义，由l⊥a可得l⊥m.这就是说：如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直线垂直．画直线和平面垂直时,通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如上下图所示．直线l和平面α互相垂直,记作l⊥α。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出问题）)1用直线与平面垂直的定义，直接检验直线是否与平面垂直是困难的。想想看,判定直线与平面垂直是否有容易操作又比较简单的方法？2直线l∥直线m,l⊥平面α,则m与α垂直吗？3直线l⊥平面α，直线m⊥α,则l与m有何位置关系？讨论结果：（1)我们已经知道，一个平面被它所含的两条相交直线完全确定．实际上只要检验这条直线与平面内的两条相交直线是否垂直就可以了,如果都垂直,则这条直线就与平面垂直．当这两条相交直线不都经过这条直线与平面的交点时,可以把它们平行移动到交点处后进行研究．由以上分析，我们归纳出直线与平面垂直的判定定理:定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．(2)如下图，如果直线l平行于直线m,且直线l垂直于平面α,则直线l垂直于平面α内任意两条相交直线，如a，b.根据空间两条直线垂直的定义，易知，m与直线a和b也垂直，所以m与平面α垂直．推论1如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．（3)推论2如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．已知：直线l⊥平面α,直线m⊥平面α,垂足分别为A，B(如下图)求证：l∥m.证明：假设直线m不与直线l平行．过直线m与平面α的交点B，作直线m′∥l，由直线与平面垂直的判定定理的推论可知m′⊥α.设m和m′确定的平面为β，α与β的交线为a.因为直线m和m′都垂直于平面α，所以直线m和m′都垂直于交线a.因为在同一平面内，通过直线上一点并与已知直线垂直的直线不可能有两条，所以直线m和m′必重合,即有l∥m.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（应用示例)）思路1例1过一点和已知平面垂直的直线只有一条．已知：平面α和一点P（如下图）．甲乙求证：过点P与α垂直的直线只有一条．证明:不论点P在α外或内，设PA⊥α，垂足为A(或P）．如果过点P,除直线PA⊥α外，还有一条直线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β，且α∩β＝a，于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于交线a，这是不可能的．所以过点P与α垂直的直线只有一条．变式训练如下图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC.问：四面体PABC中有几个直角三角形?解：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB,PA⊥AC，PA⊥BC.所以△PAB，△PAC为直角三角形．又PA⊥BC，AB⊥BC,且PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB。又PB平面PAB，于是BC⊥PB，所以△PBC也为直角三角形．所以四面体PABC中的四个面都是直角三角形．例2有一根旗杆AB高8m(如下图)，它的顶端A挂着两条长10m的绳子，拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的两点C，D（和旗杆脚不在同一条直线上)．如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m,那么旗杆就和地面垂直，为什么？解：在△ABC和△ABD中，因为AB＝8m，BC＝BD＝6m,AC＝AD＝10m,所以AB2＋BC2＝82＋62＝102＝AC2,AB2＋BD2＝62＋82＝102＝AD2。所以∠ABC＝∠ABD＝90°，即AB⊥BC,AB⊥BD。又知B，C，D三点不共线，因此AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直．变式训练如下图所示，Rt△ABC所在平面外一点S,且SA＝SB＝SC。(1）求证：点S与斜边AC中点D的连线SD⊥面ABC；(2）若直角边BA＝BC,求证：BD⊥面ASC.证明:（1）在等腰三角形SAC中,D为AC的中点，∴SD⊥AC,取AB的中点E，连DE、SE。∵ED∥BC，AB⊥BC，∴DE⊥AB。又SE⊥AB,∴AB⊥面SED,∴AB⊥SD，又AB∩AC＝A，∴SD⊥面ABC.(2)∵BA＝BC，∴BD⊥AC，又SD⊥面ABC，∴SD⊥BD,∵SD∩AC＝D，∴BD⊥面ASC.例3已知：直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l。求证：AP在α内．证明：设AP与l确定的平面为β。假设AP不在α内，则设α与β相交于直线AM(如下图)．因为l⊥α，AMα,所以l⊥AM.又已知AP⊥l，于是在平面β内，过点A有两条直线垂直于l.这是不可能的，所以AP一定在α内．变式训练如下图，已知直线a⊥b，b⊥α，aα。求证：a∥α.证明：在直线a上取一点A，过A作b′∥b,则b′必与α相交，设交点为B，过相交直线a、b′作平面β,设α∩β＝a′，∵b′∥b，a⊥b,∴a⊥b′。∵b⊥α,b′∥b，∴b′⊥α。又∵a′α,∴b′⊥a′。由a，b′,a′都在平面β内，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′。∴a∥α。点评：反复使用线面垂直的性质定理和判定定理，是解决立体几何垂直问题的常用策略。2。2008安徽,理4已知m，n是两条不同直线，α，β,γ是三个不同平面．下列命题中正确的是(）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α,n⊥α,则m∥n解析：垂直于同一个平面的两条不同的直线平行．答案:D思路2例4如下图,在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心．求证：A1O⊥平面GBD。证明：∵eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(A1A⊥BD，AC⊥BD)）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（，,,\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1(BD⊥平面A1AO,A1O面A1AO）)BD⊥A1O。))又∵A1O2＝A1A2＋AO2＝a2＋（eq\f(\r(2),2)a)2＝eq\f（3，2)a2,OG2＝OC2＋CG2＝（eq\f（\r(2），2)a)2＋(eq\f(a,2)）2＝eq\f(3，4）a2，A1G2＝A1Ceq\o\al（2，1)＋C1G2＝（eq\r(2)a）2＋（eq\f（a，2)）2＝eq\f(9,4）a2，∴A1O2＋OG2＝A1G2.∴A1O⊥OG。又BD∩OG＝O，∴A1O⊥平面GBD.点评：判断线面垂直往往转化为线线垂直,勾股定理也是证明线线垂直的重要方法．变式训练如下图，已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC。证明:过P作PO⊥平面ABC于O，连结OA、OB、OC。∵PO⊥平面ABC，BC平面ABC,∴PO⊥BC。又∵PA⊥BC,∴BC⊥平面PAO。又∵OA平面PAO，∴BC⊥OA。同理，可证AB⊥OC.∴O是△ABC的垂心．∴OB⊥AC.可证PO⊥AC.∴AC⊥平面PBO。又PB平面PBO，∴PB⊥AC.点评：欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直,欲证线线垂直往往转化为线面垂直．用符号语言证明问题显得清晰、简洁．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（知能训练))如下图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a。(1）求证：BD1⊥平面B1AC；(2）求B到平面B1AC的距离．(1)证明：∵AB⊥B1C，BC1⊥B1C，∴B1C⊥面ABC1D1。又BD1面ABC1D1，∴B1C⊥BD1。∵B1B⊥AC，BD⊥AC，∴AC⊥面BB1D1D。又BD1面BB1D1D，∴AC⊥BD1。又B1C∩AC＝C,∴BD1⊥平面B1AC。（2）解：∵O∈BD，∴连结OB1交BD1于E.又O∈AC，∴OB1面B1AC。∴BE⊥OE，且BE即为所求距离．∵eq\f（BE，OB）＝eq\f（BD，BD1)，∴BE＝eq\f(BD,BD1）·OB＝eq\f(\r(2)a，\r（3）a）·eq\f(\r（2）,2）a＝eq\f(\r（3),3）a.2．已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线，而直线l和平面α相交,并且和a、b、c三条直线成等角．求证:l⊥α.证明：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO＝BO＝CO.设l经过O，在l上取一点P，在△POA、△POB、△POC中，∵PO＝PO＝PO，AO＝BO＝CO，∠POA＝∠POB＝∠POC,∴△POA≌△POB≌△POC.∴PA＝PB＝PC。取AB的中点D,连接OD、PD，则OD⊥AB，PD⊥AB.∵PD∩OD＝D,∴AB⊥平面POD。∵PO平面POD，∴PO⊥AB.同理,可证PO⊥BC.∵ABα，BCα，AB∩BC＝B，∴PO⊥α,即l⊥α。若l不经过点O时,可经过点O作l′∥l.用上述方法证明l′⊥α，∴l⊥α.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（拓展提升))如下图，在三棱锥S—ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC中点．证明SO⊥平面ABC。证明:如下图，由题设，知AB＝AC＝SB＝SC＝SA.连结OA,△ABC为等腰直角三角形,所以OA＝OB＝OC＝eq\f(\r(2），2)SA，且AO⊥BC。又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC,且SO＝eq\f(\r（2),2）SA。从而OA2＋SO2＝SA2.所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO。又AO∩BC＝O,所以SO⊥平面ABC.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（课堂小结））本节学习了：1．两直线垂直、直线与平面垂直的有关概念；2．判定直线与平面垂直和直线与直线垂直;3．转化的数学思想方法应用．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作业））本节练习A5题;练习B4，5题．eq\o(\s\up7（）,\s\do5（设计感想））本节教学设计容量较大，拓展内容较多，建议课前要求学生预习，在教学中使用信息技术，减少板书内容，把教学时间应用到判定定理的应用上．eq\o(\s\up7()，\s\do5(备课资料)）镜面对称如下图