专题20导数之洛必达法则(原卷版+解析)

专题20导数之洛必达法则试题1：已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.(1)求实数的值；(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.试题2：已知函数.（1）若在时有极值，求函数的解析式；（2）当时，，求的取值范围.试题3：已知函数，曲线在点处的切线方程为。（1）求、的值；（2）如果当，且时，，求的取值范围。试题4：已知函数，当时，若，都有恒成立，求的取值范围.试题5：若不等式对于恒成立，求的取值范围.试题6：设函数.设当时，，求的取值范围.试题7：设函数，若当时，求的取值范围.试题8：已知函数，．（1）若函数是上的单调递增函数，求实数的最小值；（2）若，且对任意，都有不等式成立，求实数的取值范围．试题9：设函数．如果对任何，都有，求的取值范围专题20导数之洛必达法则试题1：已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.(1)求实数的值；(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1),；函数在处取得极值，；又曲线在点处的切线与直线垂直，；解得：；（2）不等式恒成立可化为，即；当时，恒成立；当时，恒成立，令，则；令，则；令，则；得在是减函数，故，进而（或，，得在是减函数，进而）．可得：，故，所以在是减函数，而要大于等于在上的最大值，但当时，没有意义，变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，，故答案为．试题2：已知函数.（1）若在时有极值，求函数的解析式；（2）当时，，求的取值范围.【解析】（1）因为，所以由在处取极值，得，求得，所以.（2）当时，，即.①当时，；②当时，等价于，也即.记，，则.记，，则，因此在上单调递增，且，所以；从而在上单调递增，所以.由洛必达法则有：，即当时，，所以，即有.综上所述，当，时，成立.试题3：已知函数，曲线在点处的切线方程为。（1）求、的值；（2）如果当，且时，，求的取值范围。【解析】（1）略（2）由题设可得，当时，k<恒成立。令g(x)=(),则，再令()，则，，易知在上为增函数，且；故当时，，当x（1，+）时，；在上为减函数，在上为增函数；故>=0，在上为增函数，=0，当时，，当x（1，+）时，，当时，，当x（1，+）时，，在上为减函数，在上为增函数，由洛必达法则知，，即k的取值范围为（-，0]试题4：已知函数，当时，若，都有恒成立，求的取值范围.【解析】当时，恒成立，等价于恒成立令则，再令，由得，当时，<0,在单调递减，，即，在单调递增，，即，，，在单调递增，由洛必达法则可得==1，，1，要使恒成立，只需，的取值范围是试题5：若不等式对于恒成立，求的取值范围.【解析】当时，原不等式等价于.记，则.记，则.因为，，所以在上单调递减，且，所以在上单调递减，且.因此在上单调递减，且，故，因此在上单调递减.由洛必达法则有，即当时，，即有.故时，不等式对于恒成立.试题6：设函数.设当时，，求的取值范围.【解析】由题设，此时.①当时，若，则，不成立；②当时，当时，，即；若，则；若，则等价于，即.记，则.记，则，.因此，在上单调递增，且，所以，即在上单调递增，且，所以.因此，所以在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，，即有，所以.综上所述，的取值范围是.试题7：设函数，若当时，求的取值范围.【解析】当时，，对任意实数a,均在；当时，等价于令,则，令，则，，知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。由洛必达法则知，，故综上，知a的取值范围为。试题8：已知函数，．（1）若函数是上的单调递增函数，求实数的最小值；（2）若，且对任意，都有不等式成立，求实数的取值范围．【解析】(1)∵函数在R上单调递增，∴恒成立，∴，即，∴.(2)∵，∴函数，由对任意都成立，得恒成立.即恒成立.①当，恒成立；②当，恒成立；=3\*GB3③当时，即：恒成立；令，则，∴在上单调递增；∴（行不通，洛必达法则），所以