数学教案：函数的应用（Ⅱ）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精示范教案eq\o（\s\up7（）,\s\do5(整体设计)）教学分析教材利用3个实例介绍了指数函数、对数函数和幂函数在社会学、经济学和核物理学等领域中的广泛应用．由于本节与社会生活经验有联系,建议学生课前了解相关生活的知识．三维目标掌握指数函数、对数函数和幂函数在实际中的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，树立应用的意识．重点难点教学重点：建立函数模型．教学难点：建立函数模型．课时安排1课时eq\o（\s\up7(）,\s\do5（教学过程））导入新课思路1.(事例导入）一张纸的厚度大约为0.01cm,一块砖的厚度大约为10cm,请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度,列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗?解:纸对折n次的厚度:f(n)＝0.01·2n(cm)，n块砖的厚度:g(n)＝10n（cm），f(20）≈105m,g(20)＝2m.也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解．思路2.（直接导入）请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象性质，本节我们通过实例比较它们的应用．推进新课eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（新知探究）)eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出问题）)①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数。②正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数。③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力,湿地每年以5%的增长率增长,经过x年后湿地的面积为y,把y表示为x的函数。④分别用表格、图象表示上述函数.⑤指出它们属于哪种函数模型。⑥讨论它们的单调性。⑦继续扩大x的取值范围，比较它们的增长差异。⑧另外还有哪种函数模型.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．①总价等于单价与数量的积．②面积等于边长的平方．③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、…。④列表画出函数图象．⑤引导学生回忆学过的函数模型．⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性．⑦让学生自己比较并体会．⑧另外还有与对数函数有关的函数模型．讨论结果：①y＝x。②y＝x2。③y＝（1＋5%）x，④如下表:x123456y＝x123456y＝x2149162536y＝(1＋5%)x1.051.101.161。221.281。34它们的图象分别为下图甲、乙、丙．甲乙丙⑤它们分别属于：y＝kx＋b（直线型），y＝ax2＋bx＋c(a≠0，抛物线型)，y＝kax＋b(指数型）．⑥从表格和图象得出它们都为增函数．⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y＝(1＋5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数．⑧另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y＝logax＋b，我们把它叫做对数型函数．函数模型是应用最广泛的数学模型之一．许多实际问题一旦认定是函数关系．就可以通过研究函数的性质把握问题，使问题得到解决．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（应用示例))例11995年我国人口总数是12亿．如果人口的自然年增长率控制在1.25％，问哪一年我国人口总数将超过14亿?解：设x年后人口总数为14亿．依题意,得12·(1＋0.0125）x＝14，即(1＋0。0125)x＝eq\f（14，12).两边取对数，得xlg1.0125＝lg14－lg12，所以x＝eq\f（lg14－lg12,lg1.0125）≈12.4.所以13年后，即2008年我国人口总数将超过14亿．点评：增长率问题通常与指数函数有关.变式训练光线通过一块玻璃，其强度要损失10％，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为k，通过x块玻璃以后强度为y.(1)写出y关于x的函数关系式;（2)通过多少块玻璃以后,光线强度减弱到原来的eq\f(1,3)以下．（lg3≈0.4771)解:（1）光线经过1块玻璃后强度为（1－10％)k＝0。9k；光线经过2块玻璃后强度为（1－10%）·0。9k＝0。92k；光线经过3块玻璃后强度为（1－10％)·0.92k＝0.93k；光线经过x块玻璃后强度为0.9xk.∴y＝0。9xk（x∈N＋）．（2)由题意，知0。9xk＜eq\f（k，3)，∴0.9x＜eq\f(1，3)。两边取对数，xlg0.9＜lgeq\f(1,3).∵lg0。9＜0，∴x＞eq\f(lg\f(1，3)，lg0.9)。∵eq\f(lg\f(1,3）,lg0.9)＝eq\f(lg3，1－2lg3)≈10。4，∴xmin＝11。∴通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来的eq\f(1,3)以下.例2有一种储蓄按复利计算利息，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式．如果存入本金1000元，每期利率2。25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到0。01元）？解:已知本金为a元：1期后的本利和为y1＝a＋a×r＝a(1＋r）；2期后的本利和为y2＝a(1＋r)＋a(1＋r）r＝a（1＋r）2;3期后的本利和为y3＝a(1＋r)3；……x期后的本利和为y＝a（1＋r)x。将a＝1000(元），r＝2。25％,x＝5代入上式得y＝1000×(1＋2。25%)5＝1000×1。02255。由计算器算得y＝1117。68（元）．所以复利函数式为y＝a(1＋r)x，5期后的本利和为1117。68元.变式训练某地现有森林面积为1000hm2，每年增长5％，经过x（x∈N＋）年,森林面积为yhm2，写出x、y间的函数关系式，并求出经过5年，森林的面积．解：y与x之间的函数关系式为y＝1000(1＋5%)x（x∈N＋），经过5年，森林的面积为1000(1＋5％）5＝1276.28（hm2)。例3一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减:（1）求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式；（2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期．（精确到0.1）．解:（1)最初的质量为500g，经过1年，ω＝500（1－10%)＝500×0.91，经过2年，ω＝500×0。92，…由此推知,t年后,ω＝500×0。9t。(2）解方程500×0。9t＝250。0．9t＝0。5,lg0。9t＝lg0.5，tlg0.9＝lg0.5，t＝eq\f(lg0。5,lg0。9）≈6.6。所以这种放射性元素的半衰期约为6。6年.变式训练抽气机每次抽出容器内空气的60％，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽（)A．6次B．7次C．8次D．9次解析:设至少要抽x次,则(1－60％)x＜eq\f（0。1,100).解得x＞7，即最少要抽8次．答案：Ceq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(知能训练））1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表:身高∕cm60708090100110120130140150160170体重∕kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226。8631.1138。8547.2555.05（1)根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．(2）若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于0。8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm,体重为78kg的在校男生的体重是否正常？活动:学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：根据表中的数据画出散点图．观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线．根据这些点的分布情况，可以考虑用y＝a·bx这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系．解:（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图（下图甲）．根据点的分布特征，可以考虑用y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm关系的函数模型．如果取其中的两组数据（70,7.90)，(160,47.25)，代入y＝a·bx，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（7。9＝a·b70，,47。25＝a·b160.）)用计算器算得a≈2,b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型:y＝2×1。02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象(下图乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．（2)将x＝175代入y＝2×1。02x，得y＝2×1。02175，由计算器算得y≈63.98。由于78÷63.98≈1。22＞1。2,所以这个男生偏胖．甲乙2．在自然界中，有些种群的世代是隔离，即每一代的生活周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡,第二年种子萌发产生下一代．假设一个理想种群，其每个个体产生2个后代，又假定种群开始时有10个个体，到第二代时，种群个体将上升为20个,以后每代增加1倍，依次为40,80，160,…，试写出计算过程，归纳种群增长模型，说明何种情况种群上升，种群稳定，种群灭亡．活动：学生仔细审题,理解题目的含义，教师指导，注意归纳总结．解：设Nt表示t世代种群的大小,Nt＋1表示t＋1世代种群的大小，则N0＝10;N1＝10×2＝20；N2＝20×2＝40；N3＝40×2＝80；N4＝80×2＝160；…。由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示：Nt＋1＝R0·Nt，其中R0为世代净繁殖率．如果种群的R0速率年复一年地增长，则N1＝R0N0,N2＝R0N1＝R02N0，N3＝R0N2＝Req\o\al（3，0)N0，…Nt＝Req\o\al(t,0)N0。R0是种群离散增长模型的重要参数，如果R0＞1，种群上升;R0＝1，种群稳定；0＜R0＜1,种群下降；R0＝0，雌体没有繁殖，种群在一代中死亡．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（拓展提升)）某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象（如下图所示)．假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时,野生水葫芦的面积就会超过30m2；③野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1。5个月；④设野生水葫芦蔓延到2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3,则有t1＋t2＝t3；⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．哪些说法是正确的？解：①说法正确．∵关系为指数函数，∴可设y＝ax（a＞0且a≠1）．∴由图知2＝a1.∴a＝2，即底数为2。②∵25＝32＞30，∴说法正确．③∵指数函数增加速度越来越快,∴说法不正确．④t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴说法正确．⑤∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（课堂小结)）活动：学生先思考或讨论,再回答．教师提示、点拨，及时评价．引导方法:从基本知识和基本技能两方面来总结．小结：（1)建立函数模型；(2）利用函数图象性质分析问题、解决问题．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作业)）课本习题3-4A2、3、4。eq\o(\s\up7（）,\s\do5(设计感想））本节设计由学生熟悉的素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣．课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉,是课本的补充和提高,其难度适中是各地高考模拟经常选用的素材．其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点，是一个不可多得的素材．eq\o(\s\up7（)，\s\do5(备课资料))［备选例题］例1某公司一年需要一种计算机元件8000个，每天需同样多的元件用于组装整机．该元件每年分n次进货，每次购买元件的数量均为x,购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费,可以认为平均库存量为eq\f(1,2)x件，每个元件的库存费是一年2元．请核算一下，每年进货几次花费最小？解：无论分几次进货,公司进货的总数是8000个元件，元件费用是固定不变的，影响总费用变化的量只是库存费和购货手续费,若想减少库存费，就要增加进货次数，而进货次数的增加又使手续费的总量增加了，这就需要将二者对总费用的影响用数学关系表示清楚,进而求最小的花费．设购进8000个元件的总费用为F，一年总库存费为E，手续费为H，其他费用为C（C为常数)，则E＝2×eq\f（1,2）x,H＝500×eq\f(8000，x)，x＝eq\f(8000,n)（n≥1，n∈Z），所以F＝E＋H＋C＝2×eq\f(1，2）x＋500×eq\f（8000,x）＋C＝eq\f（8000，n）＋500n＋C＝500（eq\f(16，n）＋n)＋C＝500（eq\f（4，\r(n）)－eq\r（n））2＋4000＋C≥4000＋C,当且仅当eq\f(4，\r（n）)＝eq\r(n），即n＝4时，总费用最少,故以每年进货4次为宜．例2电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB胶粘合扬声器中的磁钢与夹板．长期以来，由于对AB胶的用量没有一个确定的标准,经常出现用胶过多，胶水外溢;或用胶过少，产生脱胶，影响了产品质量．经过实验,已有一些恰当用胶量的具体数据（见下表)．序号12345678910磁钢面积/cm211。019.426.246。656.667。2125。2189。0247.1443。4用胶量/g0。1640。3960。4040.6640。8120。9721。6882.864。0767。332现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系．解：我们取磁钢面积x为横坐标、用胶量y为纵坐标，建立直角坐标系．根据上表数据在直角坐标系中描点，得出下图．从图中我们清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近．画出这条直线，使图上的点比较均匀地分布在直线两侧．用函数y＝ax＋b表示用胶量与磁钢面积的关系．取点（56.6,0。812），（189.0,2。86），将它们的坐标代入y＝ax＋b，得方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（0.812＝56。6a＋b，，2.86＝189.0a＋b。))解得a＝0。01547，b＝－0。06350.这条直线是y＝0.01547x－0。06350。点评：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后,将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律．这种方法称为数据拟合．在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验,得到数据，再通过数据拟合得到的．例3某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励,且奖金y（单位:万元）随着利润x(单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25％.现有三个奖励模型：y＝0。25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导:某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润．于是只需在区间[10，1000]上,检验三个模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计