2022年初升高暑期数学讲义04 不等式重难点突破【含答案】

专题04不等式

初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法.高中阶段将进一步学习一元二次不

等式和分式不等式等知识.本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识.

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

考点一一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

判别式/二--4%/>02)=0d<0

二次函数y=ax+bx4£必

+c（a>0）的图象

一元二次方程有两相等实数根加二

有两相异实数根M,

+bx+c-0b没有实数根

<垃）&=~2a

俗>0）的根

一元二次不等式

+bx+c>0或*>M}R

缶>0）的解集

一元二次不等式

a"+bx+c<0{MM<x<龙}00

缶>0）的解集

考点二恒成立问题

由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法

1.一元二次不等式aV+"+。>0对任意实数x恒成立°：八

[d-4<?c<0.

,(a<0,

2一元二次不等式去+hx+c<0对任意实数x恒成立，八

Iif-4ac<0.

三、重难点题型突破

重难点题型突破1、含有字母系数的一元一次不等式

一元一次不等式最终可以化为cix>b(a^O)的形式.

b

(1)当。>0时，不等式的解为：工>一

〃

8

(2)当。<0时，不等式的解为：x<4一

(3)当。=0时，不等式化为：0-x>力；

①若人>0,则不等式的解是全体实数；②若〃40,则不等式无解.

例1.(1)、(2022•海南省直辖县级单位•二模)不等式3x+5>8的解集在数轴上表示正确的是()

A.—।1B.11(।1

-1012-1012

D.

2

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可.

【详解】

解不等式3x+5>8,得41.

・•・不等式的解集在数轴上表示为：

-1----------1------------------L

-1012

故选：C.

【点睛】

此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是胡木题的关键

x-3<2x

（）、（•山东滨州•中考真题）把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出

22022x+-->---

I3-2

【答案】C

【解析】

【分析】

先解不等式组求出解集，再在数轴上表示出来即可.

【详解】

x-3<2XD

32

解①得x>-3,

解②得

，不等式组的解集为-3vxW5,在数轴上表示为：

—614»，

-305

故选：c.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示解集，熟练掌握知识点是解题的关键.

2-x>l

（3）.关于1的一元一次不等式组1冗+5中两个不等式的解集在同一数轴上的表示如图所示，则该

---<m

2

不等式组的解集是加的值为.

因此，根据题目条件，h的取值应该满足：392>92,解这个不等式，得3>2,

对照一次函数的一般形式尸Ax+女0）,在直线片T+b中，A=-l<0,h>2>0可知，

直线产-x+h应该经过第一、二、四象限.即不经过第三象限.故答案为三.

【点睛】

本小题主要考查一元一次不等式组有解的知识，考查一次函数经过的象限问题，属于基础题.

【变式训练1-2】、（2022•江苏南京・二模）不等式2（x-1）+1<3的解集是.

【答案】x<2

【解析】

【分析】

去括号、移项、合并同类项、系数化为1,即可.

【详解】

2（x-l）+l<3

去括号，得：2x-2+l<3,

移项，得：2x<3+2-l.

合并同类项，得：2x<4,

系数〃为1,得x<2,

故答案为：x<2.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的解法.

【变式训练1-3】・（2022•安徽芜湖模拟预测）不等式2%-4>-6的解集为____.

【答案】x>-l##-l<x

【解析】

【分析】

移项、合并、系数化为L即可求解.

【详解】

解：移项得：2r>-6+4,

合并得：法>・2,

系数化为1,得：x>-l.

故答案为：x>-l.

【点睛】

此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解木题的关键.

重难点题型突破2、一元二次不等式及其解法

例2⑴、不等式9『+6.1+1辽0的解集是()

111

A.XW----B.----<x<-

333

1

C.。D.x=——

3

【答案】D

1

【解析】[(3x+l)2C0,.*.3x4-1=0,/.x=­3]

【变式训练2・1】•求下列不等式的解集.

⑴3X2+5X-2<0；

Q1

⑵-4X2+18X——>0;

4

(3)-2X2+3X-2<0；

(4)—x24-3x—5>0.

2

【解析】(1)因为3d+5x-2=(x+2乂3工一1),所以原不等式等价于(x+2)(3x—l)K0,

解传-—,所以原不等式的解集为〈x-2WxW1>.

33

(2)原不等式可化为4*218xi7工0,配方得<0,

4I2)

9c9c99

又(2A-1)2N0,所以(2x—1)2=0,解得％=q,所以原不等式的解集为Jxx=W»•

(3、7

(3)原不等式可化为2/一31+2>0,因为2/—3X+2=2X--+」>0恒成立，

I4j8

所以原不等式的解集为R.

(4)原不等式可化为丁一61+10<0，因为/一6工+10=(%-3『+1>0恒成立，

所以原不等式无解，即原不等式的解集为0.

【变式训练2-2】•(2022•全国•九年级专题练习)如图，抛物线产0+c与直线产的+〃交于4(-1,

p),B(3,q)两点，则不等式“+m+c<〃的解集是()

A.-l<x<3或x>3C.-3<JI<1D.x<-3或x>l

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意易得抛物线yud+c与直线y=・，nx+〃交于(1.p).(-3,q)两点,观察图象,从而可得不等

式加+c，<•蛆+〃的解集为最后可求得结果.

【详解】

:抛物线)二以2+c与直线y=〃Lt+〃交于A(-1,p),B⑶q)两点，

」•抛物线产加+。与直线>=-〃吠+〃交7(1.p),(-3,q)两点，

观察函数图象可知：当-3<x<l时，直线y=-〃在抛物线产底+(?的上方，

・.•不等式"2+。<-/wx+〃的解集为-3<K<1,

即不等式o^+zzir+c<n的解集是-3<x<1.

故选：C.

【点睛】

本题考查二次函数与不等式的关系，数形结合是本题的关键，直线y=〃a+〃与直线)，=-"LV+〃关于)，轴对

称，从而不等式的解集转化为抛物线与直线,y=-〃吠+〃的关系是本题的难点.

【变式训练2-3】•(2022•山东•济宁市兖州区教学研究室二模)如图，抛物线y=of+c•与直线)，=皿十〃

交于4(Tp)，8(2,q)两点，则不等式办2-^fnx+on的解集是

【解析】

【分析】

作直线产加r+〃关于y轴的对称直线CO：y=-〃a+〃，点C、。是两个函数图象的交点，根据点的的对称

性，点。(1.p),D(-2,q),观察图象即可求解.

【详解】

解：作直线广皿+〃关于y轴的对称直线CO：y=-nix+n,

点C、。是两个函数图象的交点，根据点的的对称性，点C(1,p),D(-2,q),

由图象可以看出，曲凹^:^^内的解集即不等式公^+“比+^”的解集为：-2<x<l,

故答案为：-2<x<l.

【点睛】

本题考查了二次函数与不等式，要非常螂函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐

标特征等.作直线4B关于)，轴的对称直线C。是问题的关键与难点，注意数形结合.

重难点题型突破3、简单分式不等式的解法

例3、不等式=<0的解是________.

x-2

【答案】2<x<3

x—3…X—3>0X—3<0

【解析】不等式一^<0等价于｛。八或｛。八解得2cx<3

x-2x-2<0x-2>0

【变式训练3・1】、不等式二20的解是________.

x-1

【答案】l<x<5

—x+5x—5

【解析】原不等式化为一->o,--<0,解得1VXW5

x-1X-1

重难点题型突破4、简单分式不等式的解法

例4、(2022•浙江杭州九年级期末)设二次函数)，=加+法-3(4方是常数，。工0),部分对应值如下

表：

X