2025届高考数学二轮考前复习第一篇解透必考小题稳拿分必须突破的17个热点专题专题6不等式学案文含解析

PAGE专题6不等式1.基本不等式解题的两个留意点(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0;(2)等号成立的条件:当且仅当a=b.2.求目标函数最值的一般步骤①画域依据线性约束条件,画出可行域②转化将目标函数进行转化,确定z的几何意义③平移画出目标函数等于0时的直线l,平行移动直线l,使平移后的直线与可行域有公共点④求值求出最优解得坐标,代入目标函数,即可求出最值.1.推断不等式是否成立的方法(1)利用不等式的性质:依据不等式的性质推理论证;(2)特别值验证法:对于有肯定限制条件的选择题,用特别值验证更简洁.2.正确选用方法求最值(1)已知关于变量的等式,求解相关代数式的最值问题,采纳拼凑法.(2)已知两变量之间的和或积为常数时,求解有关代数式的最值问题,采纳常数代换法.3.确定二元一次不等式表示的平面区域的方法(1)直线定界:即若不等式不含等号,则应把直线画成虚线;若不等式含有等号,则把直线画成实线.(2)特别点定域:当C≠0时,常把原点作为测试点;当C=0时,常选取QUOTE,QUOTE作为测试点.1.分式不等式转化为一元二次不等式时简洁忽视分母不为零的限制【案例】T7不等式QUOTE<0等价于QUOTE2.简洁忽视基本不等式“一正二定三相等”的限制【案例】T3已知x>1,故将4x+1+QUOTE转换成4QUOTE+QUOTE+5后,可以用基本不等式求最小值,假如题目已知换成x<1,此时就要提取负号,然后用基本不等式.3.利用不等式性质比较大小时,简洁忽视0【案例】T5选项A:a>b⇒am2>bm2,当m2=0时,不成立,故A错误.考向一线性规划【典例】(2024·全国Ⅲ卷)若x,y满意约束条件QUOTE则z=3x+2y的最大值为______.

考向二用基本不等式求最值【典例】(2024·天津高考)已知a>0,b>0,且ab=1,则QUOTE+QUOTE+QUOTE的最小值为________.

1.已知0<x<1,则QUOTE+QUOTE的最小值为()A.9 B.QUOTE C.5 D.QUOTE2.已知a>0,b>0,若不等式QUOTE-QUOTE-QUOTE≤0恒成立,则m的最大值为()A.4 B.16 C.9 D.33.若x>1,则4x+1+QUOTE的最小值等于()A.6 B.9 C.4 D.14.已知x>0,y>0,且x+2y=1,若QUOTE+QUOTE>2m恒成立,则实数m的取值范围是()A.m≤8 B.m<8C.m≤4 D.m<45.已知a,b,c∈R,则下列推理中正确的是 ()A.a>b⇒am2>bm2B.QUOTE>QUOTE⇒a>bC.a3>b3,ab>0⇒QUOTE<QUOTED.a2>b2,ab>0⇒QUOTE<QUOTE6.不等式:①x2+2>3x;②a2+b2≥2QUOTE;③QUOTE+QUOTE≥2;④x2+QUOTE≥3QUOTE,其中恒成立的是()A.①③ B.②④C.①④ D.②③7.已知不等式QUOTE<0的解为-1<x<1,则a的值为 ()A.1 B.-1C.±1 D.以上均不对8.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是()A.(-∞,-4] B.(-∞,-5)C.(-∞,-5] D.(-5,-4)9.若实数x,y满意约束条件QUOTE,则z=2x+3y的最大值是()A.15 B.1C.-1 D.1610.已知关于x的方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,则实数a的取值范围是()A.(4,+∞) B.(-∞,4)C.(-∞,2) D.(2,+∞)11.已知点M的坐标(x,y)满意不等式组QUOTEN为直线y=-2x+2上任一点,则QUOTE的最小值是________.

12.若二次函数f(x)=ax2-x+b(a≠0)的最小值为0,则a+4b的取值范围是________.

13.关于x的不等式x2-ax+a+3≥0在区间[-2,0]上恒成立,则实数a的取值范围是________.

14.设等差数列{an}的公差是d,其前n项和是Sn,若a1=d=1,则QUOTE的最小值是________.

15.设a>1,则关于x的不等式(1-a)(x-a)x-QUOTE<0的解集是________.

16.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________m2.

专题6不等式///真题再研析·提升审题力///考向一【解析】不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(含边界),因为z=3x+2y,所以y=-QUOTE+QUOTE,易知截距QUOTE越大,则z越大,平移直线y=-QUOTE+QUOTE,当y=-QUOTE+QUOTE经过A点时截距最大,此时z最大,由QUOTE,得QUOTE,A(1,2),所以zmax=3×1+2×2=7.答案:7考向二【解析】因为a>0,b>0,所以a+b>0,又ab=1,所以QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=4,当且仅当a+b=4时取等号,结合ab=1,解得a=2-QUOTE,b=2+QUOTE,或a=2+QUOTE,b=2-QUOTE时,等号成立.答案:4///高考演兵场·检验考试力///1.BQUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE.因为0<x<1,所以x>0且1-x>0,QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=2,当且仅当QUOTE=QUOTE,即x=QUOTE时,QUOTE+QUOTE取得最小值2,所以QUOTE+QUOTE的最小值为QUOTE+2=QUOTE.2.B因为a>0,b>0,所以由QUOTE-QUOTE-QUOTE≤0恒成立得m≤QUOTE(3a+b)=10+QUOTE+QUOTE恒成立.因为QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=6,当且仅当a=b时等号成立,所以10+QUOTE+QUOTE≥16,所以m≤16,即m的最大值为16.3.B因为x>1,所以x-1>0,所以4x+1+QUOTE=4QUOTE+QUOTE+5≥2QUOTE+5=9,当且仅当4QUOTE=1,即x=QUOTE时取等号.4.D因为x>0,y>0,x+2y=1,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE=4+QUOTE+QUOTE≥4+2QUOTE=8.当且仅当x=2y=QUOTE时取等号.若QUOTE+QUOTE>2m恒成立,所以2m<8,解得m<4.5.C对于A,当m=0时不成立;对于B,当c<0时不成立;对于D,当a,b均为负值时,不成立,对于C,因为y=x3在R上单调递增,由a3>b3⇔a>b,又因为ab>0,所以QUOTE>QUOTE即QUOTE<QUOTE,正确.6.B①因为x2+2-3x=QUOTE-QUOTE,所以x2+2>3x不能恒成立;②因为a2+b2-2(a-b-1)=a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0,所以a2+b2≥2(a-b-1)恒成立;③当ab>0时,QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=2,当ab<0时,QUOTE+QUOTE≥2不成立;④x>0时,x2+QUOTE=x2+QUOTE+QUOTE≥3×QUOTE=3,当且仅当x2=QUOTE,即x=1时,等号成立,故④恒成立.7.C当a=0时,QUOTE=-1对x∈R恒成立,不满意题意,则a≠0,不等式QUOTE<0等价于QUOTE即QUOTE即a2x2-1<0,解得-QUOTE<x<QUOTE,因为该不等式的解为-1<x<1,所以QUOTE=1,解得a=±1.8.C因为x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,所以QUOTE,解得m≤-5.9.A作出约束条件QUOTE对应的平面区域如图.由z=2x+3y得y=-QUOTEx+QUOTE,由图象可知当直线y=-QUOTEx+QUOTE,经过点D时,直线y=-QUOTEx+QUOTE的截距最大,此时z最大,由QUOTE,解得QUOTE即DQUOTE,此时z=2×3+3×3=15.10.A设f(x)=x2-ax+3,若方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,则f(1)<0,即f(1)=1-a+3<0,得a>4,即实数a的取值范围是(4,+∞).11.【解析】由约束条件QUOTE作出可行域如图:由图可知,可行域内的动点到直线y=-2x+2的最短距离等于A(2,0)到直线2x+y-2=0的距离,等于QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE12.【解析】依题意,知a>0,且Δ=1-4ab=0,所以4ab=1,则b>0.故a+4b≥2QUOTE=2,当且仅当a=4b,即a=1,b=QUOTE时等号成立.所以a+4b的取值范围是[2,+∞).答案:[2,+∞)13.【解析】由题得a≥QUOTE=(x-1)+QUOTE+2,因为-2≤x≤0,所以-3≤x-1≤-1,所以(x-1)+QUOTE+2=-QUOTE+2≤2-2QUOTE=-2,当且仅当x=-1时等号成立.所以a≥-2.答案:a≥-214.【解析】由题意得an=a1+(n-1)d=n,Sn=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE≥QUOTE=QUOTE,当且仅当n=4时取等号.所以QUOTE的最小值是QUOTE.答案:QUOTE15.【解析】因为a>