数学-湖北华中师范大学一附中2024高二上数学周测和解析（11月2）

试卷第1页，共15页一、单选题1．已知平面α的法向量=(2a,3,-2)，平面β的法向52故a+2b=2-3=-1.故选：A.2．设直线l的方程为xcosθ+y-3=0(θ∈R则直线l的倾斜角α的取值范围是() A．32B．42-1【详解】设【详解】设P(x,y)，222+(y-1)2+(x-1)2+(y+1)2+(x-3)2+(y-3)2=3(x2+y2-2x-2y)+22=70，整理可PA2+PB2+PC则得得(x-1)2+(y-1)2=18，故点故点P的轨迹是以M(1,1)为圆心，半径r=32的圆，.-2-22-2，故选：故选：C.4．平面内，动点P的坐标(x,y)满足方程22x-x-322试卷第2页，共15页故根据椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在故根据椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且a=，c=，故故b2=a2-c2=3，故椭圆的标准方程为=1.故选：B5．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D的棱长为2，M、N分别为线段AA1、BC的中点，若点P为正方体表面上一动点，且满足NP丄平面MDC，则点P的轨迹长度为() 【详解】以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，所以NC1丄DC,NC1丄DM，又CD∩DM=D，CD,DM平面MDC，所以NC1⊥平面MDC，故当点P在线段NC1上时，满足NP丄平面MDC，+22故选：B6．过点P(-1,-2)的直线l可表示为m(x+1)+n(y+2)=0，若直线l与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直要使l与两坐标轴能围成三角形，则mn≠0且m+2n≠0，由①令x=0得y=-；令y=0得x=-，解得t解得t=或t=，7．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0)，B(4,0).点P满足=，设点P所构成的曲线为C，下列结论不正确的是()B．在C上存在点D，使得D到点(1,1)的距离为3C．在C上存在点M，使得|MO|=2|MA|D．C上的点到直线3x-4y-13=0的最小距离为1【详解】对【详解】对A：设点px,y， +y2 22 22·i26-4,v26+4)，故在C上存在点D，使得D到点(1,1)的距离为9，故B正确；试卷第3页，共15页试卷第4页，共15页对对C：设点MX,y，2y222y2-r2，则两圆内含，没有公共点，∴在∴在C上不存在点M，使得MO=2MA，C不正确；∴C上的点到直线3x-4y-13=0的最小距离为d2-r1=1，故D正确；故选：C.8．已知Q是椭圆M:+=1(0<b<3)上的动点，若动点Q到定点P(2,0)的距离PQ的最小值为1，则椭圆M的离心率的取值范围是()「2)「2)【详解】由题意可设：Q(3cosθ,bsinθ)，2=(32=(3cosθ-2)2+b2sin2θ=(3cosθ-2)2+b2(1-cos2θ)则=(9-b2)cos2θ-12cosθ+4+b2，9-b2)t2-12t+4+b2，可知f(t)=(9-b2)t2-12t+4+b2的图象开口向上，对称轴为t=>0，2<3时，可知f(t)在[-1,1]内的最小值为f(|(),，整理得b4-6b2+9=0，解得b2=3，不合题意；<9时，可知f(t)在[-1,1]内的最小值为f(1)=1，符合题意；a2a2可得椭圆M的离心率e==99-b29所以椭圆M的离心率的取值范围是|0,故选：D.二、多选题9．下列说法正确的是()),}下的坐标为|(-2对于B：由于点G为OABC的底面VABC的重心，设点D为BC的中点，故设点D为BC的中点，故，故B正确；故A,B,C,G四点共面，故C正确；试卷第5页，共15页}下的坐标为，故D正确；故选：BCD.共同构成，点P(x,y)为曲线E上一点，则下列结论正确的是()A．该曲线的图象关于y=x对称B．曲线E围成的图形面积大于7D．若E与直线y=x+m有4个公共点，则m的取值范围是→2同理E的其他部分，分别为圆心为(-1,0)半径为1的半圆，圆心为0,1半径为1的半圆，圆心为(0,-1)半径为1的半圆；作曲线E的图象如下图，图中虚线部分ABCD是边长为2的正方形，图象关于y=x对称，故A正确；对于C，的最大值为点px,y)与点(3,2)连线斜率的最大值，设直线为y=k(x-3)+2，如图，由图知当直线与圆心为1,0，半径为1的半圆相切时，k最大，所以=1，解得k=7，故C错误；有2个公共点；试卷第6页，共15页试卷第7页，共15页当直线当直线y=x+m过点C(1,-1)时，m=-2，此时直线y=x-2与曲线有3个公共点，选：选：ABD2211．已知点P是左、右焦点为F1，F2的椭圆上的动点，则()PF2的面积为4·B．使△F1PF2为直角三角形的点P有6个 C．PF1-2PF2的最大值为6-2·2D．若M则iPF1i+iPMi的最大、最小值分别为4i2+和4·i2-222【详解】A选项：由椭圆方程=1，所以a2=8，b2=4，所以c2=a2-b2=4，BB选项：当PF1丄F1F2或PF2丄F1F2时△F1PF2为直角三角形，这样的点P有4个，设椭圆的上下顶点分别为设椭圆的上下顶点分别为S，T，则=2,:,同理=90O，所以当P位于椭圆的上、下顶点时△F1PF2也为直角三角形，其他位置不满足，满足条件的点其他位置不满足，满足条件的点P有6个，故B正确；CC选项：由于PF1-2PF2=2a-PF2-2PF2=4·-3PF2，所以当所以当PF2最小即PF2=a-c=2·-2时，PF1-2PF2取得最大值6-2·,故C正确；DD选项：因为PF1+PM=2a-PF2+PM=4·+PM-PF2，当点当点P位于直线MF2与椭圆的交点时取等号，故D正确.故选：故选：BCD三、填空题.---–n\=2，解得x\与A，B不重合则2PA+PB的最大值为.xx(a+1)y+2a4=0可以转化为(2y)a+xy4=0，故直线过定点B(6,2)，所以两条直线互相垂直，可得所以两条直线互相垂直，可得PA丄PB，PAPB2=AB所以222PAPB2=AB所以设设上PAB=θ为锐角，则PA=5·cosθ,PB=5·sinθ,14．已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与C在第一、第三象限分别交于点A，B，若AF1≤4BF1，则C的离心率的最大值是. 【答案】因为点A在第一象限，所以n>m，试卷第因为AF1BF由圆的性质得由圆的性质得AF2⊥AF1，由勾股定理得m2+n2=4c2，22+2mn=4a2，即mn=2a22c2，由对勾函数性质，由对勾函数性质，y=x+单调递增，422a22c2425(5」综上e∈|,|，所以C的离心率的最大值为.(25」5故答案为：故答案为：四、解答题15．如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PDC丄平面ABCD,AD丄DC,AB∥DC，AB=CD=AD=1,M为棱PC的中点. (1)证明：BM//平面PAD；(2)若PC=5,PD=1，（ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由.【详解】（【详解】（1）取PD的中点N，连接AN,MN，如图所示：:M为棱PC的中点，试卷第9页，共15页:MN∥CD,MN=:AB∥CD,AB=CD,:AB∥MN,AB=MN，∴四边形ABMN是平行四边形，:BMⅡAN，又BM/平面PAD,AN平面PAD,:BM//平面PAD．……..3分 ∵平面PDC丄平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC,PD平面PDC，:PD丄平面ABCD，又AD,CD平面ABCD,:PD丄AD，而PD丄CD,AD丄DC，∴以点D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，:M为棱PC的中点，,设平面BDM的一个法向量为=(x,y,z)，:=(1,平面PDM的一个法向量为，:cos （ii）假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是，λ1+1+2(1λ)=2λ,试卷第10页，共15页试卷第11页，共15页∴点Q到平面BDM的距离是||=6=9，:λ=3,:PQ=3．…..13分(1)求直线恒过的定点P的坐标；(2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围；(3)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，VAOB的面积为6，求直线的方程.)43,2,，当m)43,2,，当m=1，直线斜率不存在时，(4此时直线是x=，显然满足题意；3当m≠1时，由直线不经过第二象限，直线与y轴有交点时，m1 10分1313xy（3）设直线方程为xy（3）设直线方程为)4243)4243(xy+43m1m1m1m1 (1)求椭圆C的标准方程；(2)过定点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点，已知点N(|(4,),，设直线AN、BN的斜率分别为k1、k2，求证：k12试卷第12页，共15页3【详解】（1）因为椭圆离心率为，且过点P(0,1)，23(3)(3)（2）证明：若AB的斜率不存在，则A|(1,2,，B|(1,—2,，若AB的斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，24k242由韦达定理得4k242由韦达定理得x1+x21x2218．已知圆O:x2+y2=16，点A(6,0)，点B为圆O上的动点，线段AB的中点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设点T(2,0)，过点T作与x轴不重合的直线l交曲线C于E，F两点.(ⅰ)若直线l的斜率为1，且过点T作与直线l垂直的直线l1交曲线C于G，H两点，求四边形EGFH的面积；(ⅱ)设曲线C与x轴交于P，Q两点，直线PE与直线QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由.【详解】（1）设MX,y，B(x0,y0)，因为点B在圆O上，所以x+y=16①,0y0ly0试卷第13页，共15页代入