《排列数》同步学案(教师版)

高中数学精编资源2/2《排列数》同步学案情境导入某公司现准备针对某区域市场开发一款手机软件,而软件的运行需要有相应的手机系统,目前主要的手机系统有6种,在该区域使用的主要有3种.如果公司要选2种系统依次进行研发,那么合适的研发方案种数有多少？自主学习自学导引1.排列数的概念从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有______叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号______表示.2.全排列的概念把个不同的元素_____取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列.3.阶乘的概念正整数1到的_____,叫做的阶乘,用!表示.于是,个元素的全排列数公式可以写成______.规定0!______.4.排列数公式(1)_____,其中,且.(2)______,其中,且.答案:1.不同排列的个数2.全部3.连乘积4.(1)(2)预习测评可以表示为()A.B.C.D.2.下列各式中与排列数相等的是()A.B.C.D._____,______.4.计算:_______.5.6个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种答案:1.解析:由排列数公式得原式可表示为.2.解析:因为,且,所以3.126解析:.4.解析:.5.解析:最左端排甲,排法种数为;最左端排乙,最右端不能排甲,排法种数为.故排法种数为.新知探究探究点1排列数的概念及排列数公式知识详解1.排列数的概念从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示.2.排列与排列数的区别排列是指“从个不同的元素中任取个元素,按照一定的顺序排成的一列”,不是数;排列数是指“从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数”,是一个数.所以符号只表示排列数,而不表示具体的排列.3.排列数公式(1),且.(2),且.4.全排列、阶乘的概念(1)全排列:个不同的元素全部取出的一个排列.(2)的阶乘:正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用表示.规定,.典例探究例(1)计算:;(2)求证:.解析:(1)合理选用排列数的两个公式进行展开并计算.(2)提取公因式后合并化简.答案:(1).(2)因为所以原式成立.方法归纳:1.排列数的计算主要是利用排列数公式进行,应用时注意:连续正整数的积可以写成某个排列数,其中最大的正整数是排列元素的总个数,而正整数的个数是选取元素的个数,这是排列数公式的逆用.2.应用排列数公式的阶乘形式时,一般写出有关的式子后,可提取公因式,然后计算,这样往往会减少运算量.变式训练1求中的值.答案:原方程可化为,即,化简,得,解得.由题意知,解得,所以原方程的解为.探究点2利用排列数解决计数问题知识详解1.利用排列与排列数解决应用题的基本思路.2.通过审题,找出问题中的元素是什么,是否与顺序有关,有无限制条件(关注特殊位置或特殊元素).3.相邻元素“捆绑法”.如果所给问题中要求某个元素必须相邻,可将这个元素先排好,然后将其整体看作一个元素参与排列.典例探究例2要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少种不同的排法?解析:不相邻问题一般用“插空法”求解,先将其他元素排好,然后将不相邻的元素插空.答案:先将6个歌唱节目排好,其不同的排法为种,在这6个歌唱节目的空隙及两端共七个位置中再排4个舞蹈节目,有种排法.由分步乘法计数原理可知,任何两个舞蹈节目不得相邻的排法种数为604800.方法归纳:不相邻问题是指要求某些元素不能相邻,由其他元素将它们隔开.此类问题可以先将其他元素排好,再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置,故称“插空法”.变式训练2已知4名男生和4名女生站成一排,则:(1)男生不相邻的站法有____种;(2)女生不相邻的站法有_____种;(3)男生、女生相间的站法有_____种.答案:(1)2880(2)2880(3)1152解析:(1)4名女生排好有种排法,男生插入女生形成的5个空位中,有种排法.所以男生不相邻的站法种数为.(2)同(1)可得站法种数为.(3)如图,男生排好后,形成5个空位,要使男女相间排列,女生应排在1至4号位或2至5号位,所以排法种数为易错易混解读例5本不同的书全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为()A.480B.240C.120D.96错解:先从5本书中取4本分给4个人,有种方法,剩下的1本可能给任意一个人,有4种分法,不同的分法种数为.错因分析:设5本书分别为,四个人分别为甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下表1和表2所示.表1是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得,最后一本书给甲的情况;表2是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得,最后一本书给甲的情况。这两种情况是完全相同的,而在错解中计算成了不同的情况.正解:首先把5本书转化成4本书,然后分给4个人.第1步,从5本书中任意取出2本捆绑成一本书,有10种方法;第2步,再把4本书分给4个学生,有种方法.由分步乘法计数原理,得不同方法种数为.纠错心得:在分析解决这类排列问题时,要避免重复计数.课堂检测1.从这4个数中任选两个分别相除,则得到的结果有()A.6个B.10个C.12个D.16个2.某段铁路所有车站共发行132种普通车票,那么这段铁路共有的车站个数是()A.8B.12C.16D.243.若,则的值为()A.5B.3C.6D.74.某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了_____条毕业留言.5.一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目,按照以下要求排出节目单.(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾,有种_____排法；(2)前四个节目要有舞蹈节目,有_____种排法.答案:1.解析:符合题意的商的个数为.解析:设车站个数为,则,则132,且,所以.3.解析:根据题意,若,则有,即,解得或.又且,所以.4.1560解析:同学两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列,所以全班共写了毕业留言的条数为.5.1440037440解析:(1)先从5个演唱节目中选两个排在首、尾两个位置,有种排法,再将剩余的3个演唱