2023-2024学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）第三章 因式分解（压轴题专练）（原卷版）

第三章因式分解（压轴题专练）一、选择题1．（2022·江苏·七年级假期作业）在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知＝9x2+mx，则m的值是（）A．45 B．63 C．54 D．不确定2．（2019下·浙江绍兴·七年级统考期末）已知，，，则代数式的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（2018上·山东·八年级校考期末）已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于(

)A．0 B．1 C．2 D．34．（2021下·湖南株洲·七年级统考期中）已知满足，则的值为（

）A．1 B．－5 C．－6 D．－75．（2021上·重庆万州·八年级统考期末）已知满足，，则的值为（

）A．4 B．1 C．0 D．-8二、填空题6．（2024上·四川内江·八年级校考期中）设为正整数，且，则等于．7．（2023上·重庆·九年级重庆南开中学校考期中）如果一个各数位上的数字均不为0的四位自然数，满足，则称这个四位数为“倍差等和数”．例如：四位数，，，是“倍差等和数”；又如：四位数，，不是“倍差等和数”．最大的“倍差等和数”为，将“倍差等和数”的个位数字去掉后得到一个三位数，该三位数和的个位数字之差能整除，令，若为整数，则满足条件的数的最小值为．8．（2021·浙江·九年级自主招生）已知，则．9．（2019下·河北唐山·七年级统考期末）计算：.10．（2023下·浙江宁波·七年级宁波市海曙外国语学校校考期中）已知，为自然数，且，若，则，．11．（2023下·浙江宁波·七年级校考期末）已知，且互不相等，则．12．（2014·七年级课时练习）如果为完全平方数，则正整数n为．13．（2018上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）已知，则．14．（2018上·上海杨浦·七年级校考期末）若a,b,c满足，则15．（2015·福建泉州·统考一模）已知：，且则．三、解答题16．（2024上·广东汕头·八年级统考期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式；解法二：原式．【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解；（3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值．17．（2020上·福建泉州·八年级统考期中）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：(1)分解因式：___________；(2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值；(3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．18．（2018上·湖南长沙·七年级统考阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果：例：分解因式：解：如图1，其中，，而所以而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式例：分解因式解：如图3，其中，，而，，所以请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①．②．（2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．19．（2019下·浙江宁波·七年级统考期中）【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式进行因式分解呢？我们已经知道，a1xc1a2xc2a1a2x2a1c2xa2c1xc1c2a1ax2a1c2a2c1xc1c2．反过来，就得到：．我们发现，二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把a1，a2，c1，c2如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么就可以分解为a1xc1a2xc2，其中a1，c1位于图的上一行，a2，c2位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2=－1，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为(x2)(x3)．请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：=．【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：（1）=；（2）=．【探究与拓展】对于形如的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mqnpb，pkqje，mknjd，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=mxpyjnxqyk，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：（1）分解因式=；（2）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求m的值；（3）已知x，y为整数，且满足，请写出一组符合题意的x，y的值．20．（2022下·浙江杭州·七年级校考期中）配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等，请用配方法解决以下问题．(1)试说明：、取任何实数时，多项式的值总为正数；(2)分解因式：；(3)已知实数，满足，求的最小值．21．（2022下·山东济南·八年级统考期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例1用配方法因式分解：a2＋6a＋8．原式＝a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，∴当a＝b＝1时，M有最小值1．请根据上述自主学习材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋10a＋________；(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．(3)若M＝a2－3a+1，则M的最小值为________；(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为________；22．（2022上·湖南长沙·八年级统考期末）方法探究：已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．问题解决：(1)对于二次多项式，我们把x＝代入该式，会发现成立；(2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值；(3)对于多项式，用“试根法”分解因式．23．（2023下·浙江·七年级专题练习）材料一：一个正整数x能写成（a，b均为正整数，且），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时．例如：，24为“雪松数”，7和5为24的一个平方差分解，，，因为，所以9和7为32的最佳平方差分解，；材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．根据材料回答：(1)请直接写出两个“雪松数”，并分别写出它们的一对平方差分解；(2)试证明10不是：“雪松数”；(3)若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中的最大值．24．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．[解决问题](1)已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______；(2)若可配方成（m、n为常数），则______；[探究问题](3)已知，则______；(4)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．[拓展结论](5)已知实数x、y满足，求的最值．25．（2019上·河南南阳·八年级统考期中）（1）填空：____________；（2）阅读，并解决问题：分解因式解：设，则原式这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式，换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决.请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解：①②26．（2019上·山东威海·八年级统考期中）【阅读材料】因式分解：．解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，原式．上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.【问题解决】（1）因式分解：；（2）因式分解：；（3）证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．27．（2019下·江苏苏州·七年级校联考期中）你会对多项式(x2+5x+2)(x2+5x+3)﹣12分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，能使复杂的问题简单化、明朗化．从换元的个数看，有一元代换、二元代换等．对于(x2+5x+2)(x2+5x+3)﹣12．解法一：设x2+5x＝y，则原式＝(y+2)(y+3)﹣12＝y2+5y﹣6＝(y+6)(y﹣1)＝(x2+5x+6)(x2+5x﹣1)＝(x+2)(x+3)(x2+5x﹣1)．解法二：设x2+5x+2＝y，则原式＝y(y+1)﹣12＝y2+y