第07讲abc和二次函数图像的九种考法（原卷版）

第07讲a，b，c和二次函数图像的九种考法（原卷）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若考法解决方法本题结果①a,b,ca:二次函数图像开口向上时，a＞0；开口向下，则a＜0；b：和a共同决定了函数对称轴的位置，“左同右异”，当对称轴在y轴左侧时，a，b同号，当对称轴在y轴右侧时，a，b异号。c：a＞0b＜0c＜0②当图像和x轴有两个交点时，b2-4ac＞当图像和x轴有一个交点时，b2-4ac当图像和x轴没有交点时，b2-4ac＜b2-4ac③a+b+cab+c4a+2b+c4a2b+c9a+3b+c9a3b+c用特殊值进行判断：a+b+c即为当x=1时的函数值；4a2b+c即为当x=2时的函数值。a+b+c＜0ab+c＜0④3a+2b只有a，b时，用对称轴代换，消去一个未知数进行判断∵-b2a=1，∴b=2а，∴3a＋2b=3a4a=a，∵a＞0，⑤c+a只有a，c或只有b，c时，先用对称轴代换，消去一个未知数，然后利用④中的结果判断结果∵a－b＋c<0，∴a＋c<b，∵a＞0，∴b=2a<0，∴a＋c<0，⑥b+2c若c的系数不是1，可以先化成1再进行上述计算,或这把③中的某个式子中的c的系数变成题里的形式。∵-b2a=1,∴2a=-b,∴2a+2b＋2c<0，b+2b＋2c<0，b＋2c<0⑦am2+bm和a+b的小小关系同时加上c，am2+bm+c，a+b+c第一个式子是当x=m时的函数值，第二个式子是当x=1时的函数值；由图可知，x=1时函数取最小值。am2+bm≥a+b⑧（a＋c）2－b2（a＋c）2－b2＝（a＋b＋c）（a＋c－b）（a＋c）2－b2＝（a＋b＋c）（a＋c－b）＞0⑨b2可以把式子变成顶点的纵坐标公式顶点坐标（-b假如定点纵坐标小于1，则4ac-b24a＜-1，4ac-b2＜1．（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线（）的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为），下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2022·湖北荆门·统考中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若＞﹣4，则＞c．其中正确结论的个数为()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，抛物线的对称轴是，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2022·四川广安·统考中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②2c﹣3b<0；③5a+b+2c=0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1<y2<y3．其中正确结论的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点，下列说法：①；②；③与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为；⑤当时，函数有最大值，其中正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．59．（2022·四川达州·统考中考真题）二次函数的部分图象如图所示，与y轴交于，对称轴为直线．以下结论：①；②；③对于任意实数m，都有成立；④若，，在该函数图象上，则；⑤方程（，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（）A．2 B．3 C．4 D．510．（2022·贵州毕节·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．（2022·广西梧州·统考中考真题）如图，已知抛物线的对称轴是，直线轴，且交抛物线于点，下列结论错误的是（）A． B．若实数，则C． D．当时，12．（2022·湖北随州·统考中考真题）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方数无实数根，则．正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．（2022·四川广元·统考中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个14．（2022·湖南株洲·统考中考真题）已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（）A． B．C． D．15．（2022·四川巴中·统考中考真题）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）①；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④16．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（）A．abc＞0 B．3a+c＞0C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣17．（2022·四川资阳·中考真题）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是()A．4个 B．3个 C．2个 D．1个18．（2022·山东日照·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点（1，0）．下列结论：①3a+b=0；②若点，（3，y2）是抛物线上的两点，则y1<y2；③10b3c=0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个19．（2022·山东烟台·统考中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）A．①③ B．②④ C．③④ D．②③20．（2022·湖北恩施·统考中考真题）已知抛物线，当时，；当时，．下列判断：①；②若，则；③已知点，在抛物线上，当时，；④若方程的两实数根为，，则．其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．421．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，二次函数的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①；②；③；④若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m>4；⑤当x<0时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个22．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图像顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个23．（2018·贵州安顺·中考真题）已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个24．（2022·山东枣庄·统考中考真题）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图像上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有_____．（填序号，多选、少选、错选都不得分）