高考真题与模拟训练专题练习专题06三角函数(原卷版+解析)

专题6三角函数第一部分近3年高考真题一、选择题1．（2021·北京高考真题）函数，试判断函数的奇偶性及最大值（）A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为2．（2021·全国高考真题）若，则（）A． B． C． D．3．（2021·全国高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（）A．和 B．和2 C．和 D．和24．（2021·全国高考真题（文））若，则（）A． B． C． D．5．（2021·全国高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（）A． B．C． D．6．（2021·全国高考真题（文））（）A． B． C． D．7．（2021·全国高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（）A． B． C． D．8．（2020·天津高考真题）已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是（）A．① B．①③ C．②③ D．①②③9．（2020·北京高考真题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（）．A． B．C． D．10．（2020·全国高考真题（理））设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）A． B．C． D．11．如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ12.设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：①在（）有且仅有3个极大值点②在（）有且仅有2个极小值点③在（）单调递增④的取值范围是[)其中所有正确结论的编号是（）A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④13.已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（）A． B． C． D．14.函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为（）A． B．C． D．15．（2020·海南高考真题）下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（）A． B． C． D．二、填空题16．（2021·北京高考真题）若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的___．17．（2021·全国高考真题（文））已知函数的部分图像如图所示，则_______________.18．（2021·全国高考真题（理））已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．19．（2020·浙江高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：）为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是_______．20．（2020·海南高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．21．（2020·全国高考真题（理））关于函数f（x）=有如下四个命题：①f（x）的图象关于y轴对称．②f（x）的图象关于原点对称．③f（x）的图象关于直线x=对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．三、解答题22．（2021·浙江高考真题）设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.23．（2020·浙江高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．24．（2020·全国高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，证明：△ABC是直角三角形．第二部分模拟训练1．古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示.若实数满足，则（）A． B． C． D．2．已知函数，的部分图象如图所示，的图象过，两点，将的图象向左平移个单位得到的图象，则函数在上的最小值为（）A． B． C． D．3．如图所示，扇形的半径为，圆心角为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形，则的最大值是（）A． B． C． D．4．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.图中的为矩形，弧为一段圆弧，其尺寸如图所示，则截面（图中阴影部分）的面积为（）A． B．C． D．5．定义在上的函数满足：，函数，若，则______．6．已知函数，.下列有关的说法中，正确的是______(填写你认为正确的序号).①不等式的解集为或；②在区间上有四个零点；③的图象关于直线对称；④的最大值为；⑤的最小值为；7．已知函数.（1）求函数在区间上的值域；（2）若方程在区间上至少有两个不同的解，求的取值范围.专题6三角函数第一部分近3年高考真题一、选择题1．（2021·北京高考真题）函数，试判断函数的奇偶性及最大值（）A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为【答案】D【解析】由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选：D.2．（2021·全国高考真题）若，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．3．（2021·全国高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（）A．和 B．和2 C．和 D．和2【答案】C【解析】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.故选：C．4．（2021·全国高考真题（文））若，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，解得，，.故选：A.5．（2021·全国高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，根据已知得到了函数的图象，所以，令,则,所以,所以；解法二：由已知的函数逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，即为的图象，所以.故选：B.6．（2021·全国高考真题（文））（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，.故选：D.7．（2021·全国高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数的单调递增区间为，对于函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，，A选项满足条件，B不满足条件；取，可得函数的一个单调递增区间为，且，，CD选项均不满足条件.故选：A.8．（2020·天津高考真题）已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是（）A．① B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【解析】因为，所以周期，故①正确；，故②不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故③正确.故选：B.9．（2020·北京高考真题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（）．A． B．C． D．【答案】A【解析】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆周角为，每条边长为，所以，单位圆的内接正边形的周长为，单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，，则.故选：A.10．（2020·全国高考真题（理））设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得：所以函数的最小正周期为故选：C11．如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ【答案】B【解析】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π-β,面积S的最大值为+S△POB+S△POA=4β+.故选B.12.设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：①在（）有且仅有3个极大值点②在（）有且仅有2个极小值点③在（）单调递增④的取值范围是[)其中所有正确结论的编号是（）A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④【答案】D【解析】当时，，∵f（x）在有且仅有5个零点，∴，∴，故④正确，由，知时，令时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当时，，若f（x）在单调递增，则，即，∵，故③正确．故选D．13.已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为为奇函数，∴；又，，又∴，故选C．14.函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．15．（2020·海南高考真题）下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,当时，，解得：，即函数的解析式为：.而故选：BC.二、填空题16．（2021·北京高考真题）若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的___．【答案】（满足即可）【解析】与关于轴对称，即关于轴对称，，则，当时，可取的一个值为.故答案为：（满足即可）.17．（2021·全国高考真题（文））已知函数的部分图像如图所示，则_______________.【答案】【解析】由题意可得：，当时，，令可得：，据此有：.故答案为：.18．（2021·全国高考真题（理））已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．【答案】2【解析】由图可知，即，所以；由五点法可得，即；所以.因为，；所以由可得或；因为，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，可得的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.故答案为：2.19．（2020·浙江高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：）为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是_______．【答案】【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，则，解得.故答案为：20．（2020·海南高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．【答案】【解析】设，由题意，，所以，因为,所以，因为，所以，因为与圆弧相切于点，所以，即为等腰直角三角形；在直角中，，，因为，所以，解得；等腰直角的面积为；扇形的面积，所以阴影部分的面积为.故答案为：.21．（2020·全国高考真题（理））关于函数f（x）=有如下四个命题：①f（x）的图象关于y轴对称．②f（x）的图象关于原点对称．③f（x）的图象关于直线x=对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，，，则，所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，，，则，所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；对于命题④，当时，，则，命题④错误.故答案为：②③.三、解答题22．（2021·浙江高考真题）设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由辅助角公式得，则，所以该函数的最小正周期;（2）由题意，，由可得，所以当即时，函数取最大值.23．（2020·浙江高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．【答案】（I）；（II）【解析】（I）由结合正弦定理可得：△ABC为锐角三角形，故.（II）结合(1)的结论有：.由可得：，，则，.即的取值范围是.24．（2020·全国高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，证明：△ABC是直角三角形．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）因为，所以，即，解得，又，所以；（2）因为，所以，即①，又②，将②代入①得，，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形．第二部分模拟训练1．古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示.若实数满足，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题中的条件可得.故选：A．2．已知函数，的部分图象如图所示，的图象过，两点，将的图象向左平移个单位得到的图象，则函数在上的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由图象知，，∴，则，∴，将点的坐标代入得，，即，又，∴，则，将的图象向左平移个单位得到函数，∴在上的最小值为，故选：A3．如图所示，扇形的半径为，圆心角为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的