苏科版七年级数学上册同步精讲精练2.4绝对值与相反数(九大题型)(原卷版+解析)

（苏科版）七年级上册数学《第2章有理数》2.4绝对值与相反数知识点一知识点一绝对值◆1、绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”.【注意】任何数都有绝对值，并且只有一个，数a的绝对值是数轴上表示它的点到原点的距离，因为距离不可能是负数，所以数a的绝对值|a|为非负数，即|a|≥0.◆2、绝对值的性质：（1）一个正数的绝对值是正数；一个负数的绝对值是正数；0的绝对值是0.（2）字母a表示一个有理数，则（3）在数轴上，表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值越小；离原点越远，这个数的绝对值越大.（4）互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数.（5）几个非负式的和为0，则这几个式子都为0.知识点二知识点二相反数◆1、相反数的定义：符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数.◆2、相反数的几何意义：（1）互为相反数的两个数分别位于原点的两侧(0除外)；（2）互为相反数的两个数到原点的距离相等；（3）一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示数﹣a和a，我们说这两点关于原点对称.◆3、相反数的性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个，正数的相反数是负数；0的相反数是0；负数的相反数是正数.◆4、求一个相反数的方法：求一个数的相反数，只需改变这个数的符号，即可得到这个数的相反数.求一个字母或一个式子相反数时，只需在这个字母或这个式子的前面加上“﹣”号.知识点三知识点三多重符号的化简◆1、多重符号化简的依据：相反数的定义是多重符号化简的依据．例如：﹣（﹣5）表示﹣5的相反数，所以﹣（﹣5）=5.◆2、多重符号的化简化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负.简称“奇负偶正”.知识点四知识点四有理数的大小比较◆1、数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.◆2、法则比较法：（1）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；（2）两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小．题型一相反数的定义题型一相反数的定义【例题1】（2023•凤城市模拟）﹣112A．﹣112 B．1.5 C．−23解题技巧提炼只有符号不同的两个数叫做互为相反数，一般地，a和-a互为相反数.【变式1-1】（2023•河北模拟）2023的相反数是（）A．2023 B．12023 C．﹣2023 D．−【变式1-2】下列说法正确的是（）A．带“+”的和带“﹣”的数互为相反数 B．和一个点距离相等的两个点表示的数一定互为相反数 C．数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数 D．一个数的前边添上“﹣”所得的数是这个数的相反数【变式1-3】（2023•中山市校级一模）下列各组数中的两个数，互为相反数的是（）A．3和13 B．3和﹣3 C．﹣3和13 【变式1-4】（2023•南关区校级模拟）下列各组数中互为相反数的是（）A．3和|﹣3| B．﹣|﹣3|和﹣（﹣3） C．﹣3和−13 【变式1-5】在数轴上分别用点A，B，C，D表示﹣4.5，3，﹣1.5，0各数，并用点E，F，G，H在数轴上表示它们的相反数．题型二利用相反数的概念求值题型二利用相反数的概念求值【例题2】（2023•隆昌市校级三模）如果数a与2互为相反数，那么a是（）A．2 B．0 C．﹣2 D．−解题技巧提炼求一个数的相反数，只需改变这个数的符号，即可得到这个数的相反数.【变式2-1】（2022•睢阳区二模）若m与−(−13)A．﹣3 B．−13 C．1【变式2-2】若a＝﹣a，则a＝．【变式2-3】（2022秋•裕华区校级月考）当﹣a＝﹣9时，﹣a的相反数是（）A．9 B．﹣9 C．±9 D．不能确定【变式2-4】已知a是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，b比最小的正整数大4，c是相反数等于它本身的数，则3a+2b+c的值是．【变式2-5】（2022秋•惠民县校级月考）已知+（−73）的相反数是x，﹣（+3）的相反数是y，z相反数是z，求x+y+题型三多重符号的化简题型三多重符号的化简【例题3】（2022秋•衡阳县期中）化简：﹣[+（﹣3）]＝．解题技巧提炼多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．【变式3-1】化简下列各数：﹣（+1）＝；﹣（﹣5）＝，﹣[+（﹣113）]＝【变式3-2】下列表示﹣5的“相反数”的是（）A．﹣（﹣5） B．﹣（+5） C．﹣[﹣（﹣5）] D．﹣[+（+5）]【变式3-3】（2022秋•城关区校级期中）化简−(−(−(−⋯(−1)⋯)))︸A．﹣1 B．1 C．±1 D．2022【变式3-4】化简下列各数：（1）﹣（−1（2）﹣（+3.5）；（3）+（﹣1）；（4）﹣[+（﹣7）]；（5）﹣[﹣（﹣9）]．【变式3-5】化简下列各数：①+（﹣3）；②﹣（+5）；③﹣（﹣3.4）；④﹣[+（﹣8）]；⑤﹣[﹣（﹣9）]．化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”号的个数有什么关系？题型四相反数与两点之间的距离的应用题型四相反数与两点之间的距离的应用【例题4】一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应点的距离是5个单位长度，那么这个数是（）A．5或﹣5 B．5或−52 C．52或−解题技巧提炼如果一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应点间的距离是a个单位长度,那么这两个点到原点的距离就等于a÷2，再根据点的位置确定对应的数.【变式4-1】（2022秋•荣昌区期末）如图，数轴上A，B两点表示的数是互为相反数，且点A与点B之间的距离为4个单位长度，则点A表示的数是．【变式4-2】（2022秋•乳山市期中）在单位长度为1的数轴上，点A，B表示的数互为相反数，点C在点A的左侧且到点A的距离为5个单位长度，那么点C所表示的数是（）A．7 B．3 C．﹣2 D．﹣3【变式4-3】如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为M，P，N，Q．若P到N的距离小于P到M的距离，且点M，N表示的有理数互为相反数，则图中的点表示正数的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式4-4】数轴上A点表示﹣3，B、C两点表示的数互为相反数，且点B到点A的距离是2，则点C表示的数应该是．【变式4-5】如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上．（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为；（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为；（3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置．题型五相反数与点的移动题型五相反数与点的移动【例题5】一个数在数轴上所对应的点向左移动4个单位长度后，得到它的相反数的对应点，则这个数是．解题技巧提炼互为相反数的两个数在数轴上的对应点应位于原点两侧，且到原点的距离相等。点在数轴上的移动要明确移动的方向和移动的距离.【变式5-1】一个数在数轴上所对应的点向左移动2020个单位长度后，得到它的相反数对应的点，则这个数是．【变式5-2】如图所示，把数轴上的点A先向左移动3个单位，再向右移动7个单位得到点B，若A与B表示的数互为相反数，则点A表示的数是（）A．0.5 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【变式5-3】已知A为数轴上的一点，将A先向右移动7个单位，再向左移动4个单位，得到点B，若A、B两点对应的数恰好互为相反数，求A点对应的数．【变式5-4】在数轴上，点A表示数8，点B，C表示互为相反数的两个数，且点C和点A之间的距离为3，求点B，C所表示的数．【变式5-5】有理数a，b在数轴上的位置如图所示．（1）在数轴上分别用A、B两点表示﹣a，﹣b．（2）若数b与﹣b表示的点相距20个单位长度，则b与﹣b表示的数分别是什么？（3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，则a与﹣a表示的数是多少？题型六求一个数的绝对值题型六求一个数的绝对值【例题6】（2023•宛城区校级四模）−7A．−72 B．72 C．−解题技巧提炼利用绝对值的性质求一个数的绝对值，一个正数的绝对值是正数；一个负数的绝对值是正数；0的绝对值是0.【变式6-1】（2023•沅江市校级模拟）﹣|﹣0.4|＝．【变式6-2】化简：|－eq\f(3,5)|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______．【变式6-3】（2023•肇东市校级二模）一个数的绝对值是5，这个数是（）A．5 B．﹣5 C．5和﹣5 D．0【变式6-4】（2023•道里区三模）﹣|﹣2023|的结果是（）A．2023 B．﹣2023 C．12023 D．【变式6-5】（2022秋•宁津县校级月考）写出下列各数的绝对值．（1）﹣1.5；（2）83；（3）﹣6；（4）−83【变式6-6】在数轴上，表示一个数的点A在原点的左边，且距离原点4个单位长度（1）这个数的绝对值是多少？（2）写出这个数的相反数；（3）求这个数对应的点与它的相反数对应点之间的距离．题型七比较有理数的大小题型七比较有理数的大小【例题7】（2023•朔州模拟）在−11A．−113 B．﹣5 C．0解题技巧提炼1、有理数的大小比较比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用有理数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．2、有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小．【变式7-1】（2023•姑苏区三模）在10，﹣3，0，﹣12这四个数中，绝对值最大的是（）A．10 B．﹣3 C．0 D．﹣12【变式7-2】（2022秋•临洮县期中）比较下面两个数的大小（用“＜”，“＞”，“＝”）（1）1﹣2；（2）−13﹣0.3；（3）|﹣3|【变式7-3】（2022秋•武汉期末）a，b是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示．把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列应是（用“＜”号连接）．【变式7-4】（2022秋•栖霞市期中）将下面直线补充成一条数轴，将﹣2.5，﹣|﹣1|，12【变式7-5】比较下列各组数的大小．（1）−38和（2）﹣3.14与−22（3）﹣|﹣1.2|与0；（4）﹣（﹣0.76）和|−5【变式7-6】（2022秋•宝应县期中）（1）在数轴上分别画出表示下列3个数的点：﹣（﹣1），﹣|+3.5|，+（﹣2）．（2）有理数x、y在数轴上对应点如图所示：①在数轴上表示﹣y、|x|；②试把x、y、﹣y、|x|这四个数从小到大用“＜”号连接．题型八绝对值的非负性题型八绝对值的非负性【例题8】（2022秋•利州区校级期末）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为．解题技巧提炼1、数a的绝对值|a|为非负数，即|a|≥0.2、几个非负式的和为0，则这几个式子都为0.【变式8-1】若|a﹣1|+|b﹣3|＝0，则b﹣a−1A．﹣412 B．﹣212 C．﹣112【变式8-2】（2022秋•朝阳区校级期中）若|a﹣1|+|b﹣3|＝0，则ab＝（）A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3【变式8-3】如果a是有理数，那么|a|+2020的最小值是．【变式8-4】（2022秋•花垣县月考）若有理数a，b满足|a﹣20|+|b+19|＝0，则|a|﹣|b|＝．【变式8-5】（2022秋•九龙坡区校级月考）已知|a−12|+|b+13|+|c+25|＝0，求a题型九利用绝对值解决实际问题题型九利用绝对值解决实际问题【例题9】有四包真空包装的火腿肠，每包以标准质量450g为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数．下面的数据是记录结果，其中与标准质量最接近的是（）A．+2 B．﹣3 C．+4 D．﹣1解题技巧提炼本题中用绝对值的大小表示产品直径与标准直径的接近程度，由绝对值的几何意义，可知一个数的绝对值越小，其在数轴上对应的点距离原点越近，在这个实际问题中，绝对值越小表示产品直径的尺寸与标准直径的尺寸偏差越小.【变式9-1】如图，检测排球的质量，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，下面已检测的四个排球中其中质量最接近标准的是（）A． B． C． D．【变式9-2】某钢铁厂承担了为奥运场馆生产某种钢材零件的任务．其中一个车间生产一批圆形机器零件，从中抽取6件进行验证，比规定直径长的毫米数记作正数，比规定直径短的毫米数记作负数，检查记录如下：123456+0.2﹣0.3﹣0.2+0.3+0.4﹣0.1指出第几个零件好些？怎样用学过的绝对值知识来说明什么样的零件好些？【变式9-3】检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表：篮球编号12345与标准质量的差/g+4+7﹣3﹣8+9（1）最接近标准质量的是几号篮球；（2）如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为a和b，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？【变式9-4】（2022秋•金东区校级月考）已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查结果如表：序号12345直径长度（mm）+0.04﹣0.150.2﹣0.05+0.25（1）指出哪件样品的大小最符合要求；（2）如果规定误差的绝对值在0.18mm之内是正品，误差的绝对值在0.18～0.22mm之间是次品，误差的绝对值超过0.22mm是废品，那么这五件样品分别属于哪类产品？【变式9-5】（2022秋•太康县期中）为体现社会对教师的尊重，教师节这天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣13，﹣17．（1）若出租车每行驶100千米耗油10升，这天上午汽车共耗油多少升？（2）如果每升汽油7元，则出租车司机今天上午的油费是多少元？

（苏科版）七年级上册数学《第2章有理数》2.4绝对值与相反数知识点一知识点一绝对值◆1、绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”.【注意】任何数都有绝对值，并且只有一个，数a的绝对值是数轴上表示它的点到原点的距离，因为距离不可能是负数，所以数a的绝对值|a|为非负数，即|a|≥0.◆2、绝对值的性质：（1）一个正数的绝对值是正数；一个负数的绝对值是正数；0的绝对值是0.（2）字母a表示一个有理数，则（3）在数轴上，表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值越小；离原点越远，这个数的绝对值越大.（4）互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数.（5）几个非负式的和为0，则这几个式子都为0.知识点二知识点二相反数◆1、相反数的定义：符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数.◆2、相反数的几何意义：（1）互为相反数的两个数分别位于原点的两侧(0除外)；（2）互为相反数的两个数到原点的距离相等；（3）一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示数﹣a和a，我们说这两点关于原点对称.◆3、相反数的性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个，正数的相反数是负数；0的相反数是0；负数的相反数是正数.◆4、求一个相反数的方法：求一个数的相反数，只需改变这个数的符号，即可得到这个数的相反数.求一个字母或一个式子相反数时，只需在这个字母或这个式子的前面加上“﹣”号.知识点三知识点三多重符号的化简◆1、多重符号化简的依据：相反数的定义是多重符号化简的依据．例如：﹣（﹣5）表示﹣5的相反数，所以﹣（﹣5）=5.◆2、多重符号的化简化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负.简称“奇负偶正”.知识点四知识点四有理数的大小比较◆1、数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.◆2、法则比较法：（1）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；（2）两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小．题型一相反数的定义题型一相反数的定义【例题1】（2023•凤城市模拟）﹣112A．﹣112 B．1.5 C．−23【分析】根据相反数的定义即可得出答案．【解答】解：﹣112的相反数是11故选：B．【点评】本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．解题技巧提炼只有符号不同的两个数叫做互为相反数，一般地，a和-a互为相反数.【变式1-1】（2023•河北模拟）2023的相反数是（）A．2023 B．12023 C．﹣2023 D．−【分析】利用相反数的定义判断．【解答】解：2023的相反数是﹣2023．故选：C．【点评】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．【变式1-2】下列说法正确的是（）A．带“+”的和带“﹣”的数互为相反数 B．和一个点距离相等的两个点表示的数一定互为相反数 C．数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数 D．一个数的前边添上“﹣”所得的数是这个数的相反数【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．由概念进行判断即可．【解答】解：只有符号不同的两个数不是相反数，比如+2和﹣5，故A不符合题意；和一个点距离相等的两个点表示的数不一定互为相反数，比如2和3的距离与4和3的距离相等，但是2和4不是相反数，故B不符合题意；数轴上原点两旁的两个点表示的数不一定互为相反数，比如﹣1和4，故C不符合题意；一个数的前边添上“﹣”所得的数是这个数的相反数，这是相反数的定义，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，相反数的定义是解题的关键．【变式1-3】（2023•中山市校级一模）下列各组数中的两个数，互为相反数的是（）A．3和13 B．3和﹣3 C．﹣3和13 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【解答】解：A、3和13，互为倒数，故AB、3和﹣3，是互为相反数，故B正确；C、﹣3和13，绝对值不同，故CD、﹣3和−13，绝对值不同，不是相反数，故故选：B．【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．【变式1-4】（2023•南关区校级模拟）下列各组数中互为相反数的是（）A．3和|﹣3| B．﹣|﹣3|和﹣（﹣3） C．﹣3和−13 【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：A选项，|﹣3|＝3，3＝|﹣3|，所以3和|﹣3|不互为相反数，不符合题意；B选项，﹣|﹣3|＝﹣3，﹣（﹣3）＝3，﹣|﹣3|和﹣（﹣3）互为相反数，符合题意；C选项|﹣3|＝3，|−13|=13，3D选项|﹣3|＝3，|13|=13，3≠故选：B．【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．【变式1-5】在数轴上分别用点A，B，C，D表示﹣4.5，3，﹣1.5，0各数，并用点E，F，G，H在数轴上表示它们的相反数．【分析】先根据相反数的定义得到﹣4.5，3，﹣1.5，0各数的相反数，然后利用数轴表示各数．【解答】解：﹣4.5，3，﹣1.5，0的相反数分别为4.5，﹣3，1.5，0，用数轴表示为．【点评】本题考查了相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．也考查了数轴．题型二利用相反数的概念求值题型二利用相反数的概念求值【例题2】（2023•隆昌市校级三模）如果数a与2互为相反数，那么a是（）A．2 B．0 C．﹣2 D．−【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．【解答】解：a与2互为相反数，那么a是﹣2，故选：C．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．解题技巧提炼求一个数的相反数，只需改变这个数的符号，即可得到这个数的相反数.【变式2-1】（2022•睢阳区二模）若m与−(−13)A．﹣3 B．−13 C．1【分析】先求出﹣（−1【解答】解：﹣（−13）∵m与−(−1∴m=−1故选：B．【点评】本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．【变式2-2】若a＝﹣a，则a＝．【分析】相反数等于本身的数只有0，依此即可求解．【解答】解：∵a＝﹣a，∴a＝0．故答案为：0．【点评】考查了相反数等于本身的数的了解．【变式2-3】（2022秋•裕华区校级月考）当﹣a＝﹣9时，﹣a的相反数是（）A．9 B．﹣9 C．±9 D．不能确定【分析】根据相反数的定义解答即可．【解答】解：当﹣a＝﹣9时，﹣9的相反数是9．﹣a的相反数是9．故选：A．【点评】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键．相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．【变式2-4】已知a是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，b比最小的正整数大4，c是相反数等于它本身的数，则3a+2b+c的值是．【分析】根据正整数、相反数的概念求出a，b，c的值，代入3a+2b+c即可得到结果．【解答】解：因为a是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，所以a＝5；因为最小的正整数是1，且b比最小的正整数大4，所以b＝5；因为相反数等于它本身的数是0，所以c＝0，所以3a+2b+c＝3×5+2×5+0＝25．故答案为：25．【点评】本题考查了相反数的定义，熟记相反数的概念是解题的关键．【变式2-5】（2022秋•惠民县校级月考）已知+（−73）的相反数是x，﹣（+3）的相反数是y，z相反数是z，求x+y+【分析】根据相反数的概念求出x，y，z的值，代入x+y+z即可得到结果．【解答】解：∵+（−73）的相反数是x，﹣（+3）的相反数是y，z相反数是∴x=73，y＝3，∴x+y+z=73+∴x+y+z的相反数是−16【点评】本题考查了相反数的定义，熟记相反数的概念是解题的关键．题型三多重符号的化简题型三多重符号的化简【例题3】（2022秋•衡阳县期中）化简：﹣[+（﹣3）]＝．【分析】依据相反数的定义化简括号即可．【解答】解：﹣[+（﹣3）]＝﹣（﹣3）＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．解题技巧提炼多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．【变式3-1】化简下列各数：﹣（+1）＝；﹣（﹣5）＝，﹣[+（﹣113）]＝【分析】分别根据相反数的定义进行化简即可．【解答】解：﹣（+1）＝﹣1；﹣（﹣5）＝5；﹣[+（﹣113）]＝﹣（﹣113）＝1故答案为：﹣1，5，113【点评】本题考查了利用相反数的定义化简，是基础题，熟记概念是解题的关键．有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．【变式3-2】下列表示﹣5的“相反数”的是（）A．﹣（﹣5） B．﹣（+5） C．﹣[﹣（﹣5）] D．﹣[+（+5）]【分析】利用有理数的符号化简，相反数的定义判断即可．【解答】解：A、﹣（﹣5）＝5，是﹣5的相反数，所以此选项正确；B、﹣（+5）＝﹣5，不是﹣5的相反数，所以此选项错误；C、﹣[﹣（﹣5）]＝﹣5，不是﹣5的相反数，所以此选项错误；D、﹣[+（+5）]＝﹣5，不是﹣5的相反数，所以此选项错误故选：A．【点评】此题考查了有理数的符号化简，相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．【变式3-3】（2022秋•城关区校级期中）化简−(−(−(−⋯(−1)⋯)))︸A．﹣1 B．1 C．±1 D．2022【分析】根据相反数的定义进行化简即可．【解答】解：原式＝1，∴其相反数为﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了相反数，正确用式子表示出：“一个数的相反数”是解题的关键．【变式3-4】化简下列各数：（1）﹣（−1（2）﹣（+3.5）；（3）+（﹣1）；（4）﹣[+（﹣7）]；（5）﹣[﹣（﹣9）]．【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．【解答】解：（1）﹣（−12）（2）﹣（+3.5）＝﹣3.5；（3）+（﹣1）＝﹣1；（4）﹣[+（﹣7）]＝7；（5）﹣[﹣（﹣9）]＝﹣9．【点评】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键．【变式3-5】化简下列各数：①+（﹣3）；②﹣（+5）；③﹣（﹣3.4）；④﹣[+（﹣8）]；⑤﹣[﹣（﹣9）]．化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”号的个数有什么关系？【分析】根据已知数据结合去括号法则化简各数，进而得出结果的符号与原式中的“﹣”号的个数关系．【解答】解：①+（﹣3）＝﹣3；②﹣（+5）＝﹣5；③﹣（﹣3.4）＝3.4；④﹣[+（﹣8）]＝8；⑤﹣[﹣（﹣9）]＝﹣9．最后结果的符号与“﹣”的个数有着密切联系，当“﹣”的个数是奇数，最后结果为负数，当“﹣”的个数是偶数，最后结果为正数．【点评】此题主要考查了相反数的定义，正确发现数字变化规律是解题关键．题型四相反数与两点之间的距离的应用题型四相反数与两点之间的距离的应用【例题4】一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应点的距离是5个单位长度，那么这个数是（）A．5或﹣5 B．5或−52 C．52或−【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【解答】解：设这个数为a，则|a﹣（﹣a）|＝5，解得a＝±52故选：C．【点评】本题考查了相反数，只有符号不同的两个数互为相反数．解题技巧提炼如果一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应点间的距离是a个单位长度,那么这两个点到原点的距离就等于a÷2，再根据点的位置确定对应的数.【变式4-1】（2022秋•荣昌区期末）如图，数轴上A，B两点表示的数是互为相反数，且点A与点B之间的距离为4个单位长度，则点A表示的数是．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：4÷2＝2，则这两个数是+2和﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了相反数的定义，数轴的知识，熟记互为相反数的两个数的绝对值相等是解题的关键．【变式4-2】（2022秋•乳山市期中）在单位长度为1的数轴上，点A，B表示的数互为相反数，点C在点A的左侧且到点A的距离为5个单位长度，那么点C所表示的数是（）A．7 B．3 C．﹣2 D．﹣3【分析】由数轴的概念即可求解．【解答】解：∵A，B表示的数互为相反数，点A，B的距离是4个单位长度，且点A，B到原点的距离相等，∴点A，B分别表示的数是2，﹣2，∵点C在点A的左侧且到点A的距离为5个单位长度，∴点C所表示的数是﹣3，故选：D．【点评】本题考查数轴的概念，关键是由题意找到数轴原点的位置．【变式4-3】如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为M，P，N，Q．若P到N的距离小于P到M的距离，且点M，N表示的有理数互为相反数，则图中的点表示正数的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据互为相反数的两数距原点的距离相等，先在数轴上确定原点，再判断正数的个数．【解答】解：由M、N互为相反数，可确定原点O的位置如图所示．由数轴知，图中表示正数的点有3个，是P，N，Q．故选：D．【点评】本题考查了相反数的几何意义和正数的定义．根据相反数的几何意义确定原点的位置是解决本题的关键．【变式4-4】数轴上A点表示﹣3，B、C两点表示的数互为相反数，且点B到点A的距离是2，则点C表示的数应该是．【分析】根据相反数的定义和到点A的距离是2的点的概念，求得点B表示的数为﹣1或﹣5，则点C表示的数应该是1或5．【解答】解：∵点B到点A的距离是2，∴点B表示的数为﹣1或﹣5，∵B、C两点表示的数互为相反数，∴点C表示的数应该是1或5．故答案为1或5．【点评】本题考查了数轴的有关概念以及相反数的定义．【变式4-5】如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上．（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为；（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为；（3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置．【分析】（1）（2）根据相反数的定义可求原点；（3）根据相反数的定义可求原点，再在数轴上表示出原点O的位置即可．【解答】解：（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为B；（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为C；（3）如图所示：故答案为：B；C．【点评】此题主要考查了相反数与数轴之间的对应关系，有一定的综合性，要求学生首先正确理解题意，才能利用数形结合的思想解题．题型五相反数与点的移动题型五相反数与点的移动【例题5】一个数在数轴上所对应的点向左移动4个单位长度后，得到它的相反数的对应点，则这个数是．【分析】数轴上的数向左移动4个单位长度，要在原数上减去4；再利用互为相反数的两个数的和是0列式，即可求解．【解答】解：设这个数是a，根据题意可得：a﹣4+a＝0，解得a＝2．故本题答案是2．【点评】考查知识点：数轴上点的特点；相反数的概念和性质．解题关键：正确认识数轴上数向左移动是减小；熟记相反数性质．解题技巧提炼互为相反数的两个数在数轴上的对应点应位于原点两侧，且到原点的距离相等。点在数轴上的移动要明确移动的方向和移动的距离.【变式5-1】一个数在数轴上所对应的点向左移动2020个单位长度后，得到它的相反数对应的点，则这个数是．【分析】由题意得移动前后两个点到原点的距离相等，都为1010，且移动前的点在原点右侧，故这个数是1010．【解答】解：根据题意可得，移动前后两个点到原点的距离相等，都为1010，且移动前的点在原点右侧，故这个数是1010．故答案为：1010．【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解相反数的意义和表示数的方法是正确解答的前提．【变式5-2】如图所示，把数轴上的点A先向左移动3个单位，再向右移动7个单位得到点B，若A与B表示的数互为相反数，则点A表示的数是（）A．0.5 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【分析】设A表示的数是a，根据题意得出方程a﹣3+7＝﹣a，求出即可．【解答】解：设A表示的数是a，则根据题意得：a﹣3+7＝﹣a，a＝﹣2，即A点对应的数是﹣2．故选：C．【点评】本题考查了相反数的应用，注意：a的相反数是﹣a．【变式5-3】已知A为数轴上的一点，将A先向右移动7个单位，再向左移动4个单位，得到点B，若A、B两点对应的数恰好互为相反数，求A点对应的数．【分析】设A表示的数是a，根据题意得出方程a+7﹣4＝﹣a，求出即可．【解答】解：设A表示的数是a，则根据题意得：a+7﹣4＝﹣a，a＝﹣1.5，即a点对应的数是﹣1.5．【点评】本题考查了相反数的应用，注意：a的相反数是﹣a．【变式5-4】在数轴上，点A表示数8，点B，C表示互为相反数的两个数，且点C和点A之间的距离为3，求点B，C所表示的数．【分析】根据题意可以得到点C表示的数，由点B，C表示互为相反数的两个数，可以得到点B表示的数，本题得以解决．【解答】解：∵点A表示数8，点C和点A之间的距离为3，∴点C表示的数是8﹣3＝5或8+3＝11，∵点B，C表示互为相反数的两个数，∴点B表示的数是﹣5或﹣11，由上可得，点B，C所表示的数是﹣5和5或﹣11和11．【点评】本题考查相反数、数轴，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【变式5-5】有理数a，b在数轴上的位置如图所示．（1）在数轴上分别用A、B两点表示﹣a，﹣b．（2）若数b与﹣b表示的点相距20个单位长度，则b与﹣b表示的数分别是什么？（3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，则a与﹣a表示的数是多少？【分析】（1）根据互为相反数的点到原点的距离相等在数轴上表示出﹣a，﹣b；（2）先得到b表示的点到原点的距离为10，然后根据数轴表示数的方法得到b与﹣b表示的数；（3）先得到﹣b表示的点到原点的距离为10，再利用数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，则a表示的点到原点的距离为5，然后根据数轴表示数的方法得到a与﹣a表示的数．【解答】解：（1）如图：（2）数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的点到原点的距离为20÷2＝10，所以b表示的数是﹣10，﹣b表示的数是10；（3）因为﹣b表示的点到原点的距离为10，而数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，所以a表示的点到原点的距离为10﹣5＝5，所以a表示的数是5，﹣a表示的数是﹣5．【点评】本题考查了数轴，相反数，两点间的距离的应用，关键是能根据题意列出算式和方程．题型六求一个数的绝对值题型六求一个数的绝对值【例题6】（2023•宛城区校级四模）−7A．−72 B．72 C．−【分析】本题依据有理数绝对值的计算即可得到答案．【解答】解：负数的绝对值等于这个数的相反数，−72绝对值等于故选：B．【点评】本题主要考查了绝对值的性质．解题技巧提炼利用绝对值的性质求一个数的绝对值，一个正数的绝对值是正数；一个负数的绝对值是正数；0的绝对值是0.【变式6-1】（2023•沅江市校级模拟）﹣|﹣0.4|＝．【分析】根据绝对值的意义解答即可．【解答】解：﹣|﹣0.4|＝﹣0.4，故答案为：﹣0.4．【点评】本题考查了绝对值的意义，属于基础知识，比较简单．【变式6-2】化简：|－eq\f(3,5)|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______．【分析】根据绝对值的意义解答即可.【解答】解：|－eq\f(3,5)|＝eq\f(3,5)；－|－1.5|＝－1.5；|－(－2)|＝|2|＝2.【点评】根据绝对值的意义解答．即若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝－a.【变式6-3】（2023•肇东市校级二模）一个数的绝对值是5，这个数是（）A．5 B．﹣5 C．5和﹣5 D．0【分析】根据绝对值的意义求解即可．【解答】解：因为一个数的绝对值是5，所以这个数是5和﹣5，故选：C．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，熟知：一个正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，一个负数的绝对值等于它的相反数．【变式6-4】（2023•道里区三模）﹣|﹣2023|的结果是（）A．2023 B．﹣2023 C．12023 D．【分析】一个数在数轴上对应的点到原点的距离即为这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，据此即可求得答案．【解答】解：﹣|﹣2023|＝﹣2023，故选：B．【点评】本题考查绝对值的定义及性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．【变式6-5】（2022秋•宁津县校级月考）写出下列各数的绝对值．（1）﹣1.5；（2）83；（3）﹣6；（4）−83【分析】根据绝对值的定义逐个进行计算即可．【解答】解：（1）|﹣1.5|＝1.5；（2）|83|=（3）|﹣6|＝6；（4）|−83|（5）|3|＝3．【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．【变式6-6】在数轴上，表示一个数的点A在原点的左边，且距离原点4个单位长度（1）这个数的绝对值是多少？（2）写出这个数的相反数；（3）求这个数对应的点与它的相反数对应点之间的距离．【分析】（1）根据绝对值的定义进行解答即可；（2）表示其相反数的点应该在原点的右边，且距离原点4个单位长度，据此即可得解；（3）根据数轴上的点的特点进行解得即可．【解答】解：（1）∵点A距离原点4个单位长度，∴这个数的绝对值是4；（2）表示其相反数的点应该在原点的右边，且距离原点4个单位长度，∴其相反数是4；（3）∵表示一个数的点A在原点的左边，且距离原点4个单位长度，表示其相反数的点应该在原点的右边，且距离原点4个单位长度，∴这个数对应的点与它的相反数对应点之间的距离为8个单位长度．【点评】本题主要考查了数轴的特点，每一个有理数在数轴上都有一个点与之对应，一般选取向右为正方向，表示互为相反数的两个点分别在原点的两侧，并关于原点对称，还考查了绝对值的定义，注意总结．题型七比较有理数的大小题型七比较有理数的大小【例题7】（2023•朔州模拟）在−11A．−113 B．﹣5 C．0【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：∵﹣5＜−11∴在−11故选：B．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．解题技巧提炼1、有理数的大小比较比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用有理数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．2、有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小．【变式7-1】（2023•姑苏区三模）在10，﹣3，0，﹣12这四个数中，绝对值最大的是（）A．10 B．﹣3 C．0 D．﹣12【分析】根据绝对值的定义求出每个数的绝对值，再比较大小即可．【解答】解：∵|10|＝10，|﹣3|＝3，|0|＝0，|﹣12|＝12，∴0＜3＜10＜12，∴绝对值最大的数是﹣12．故选：D．【点评】本题考查了绝对值以及有理数大小比较，解决本题的关键是明确绝对值的定义．【变式7-2】（2022秋•临洮县期中）比较下面两个数的大小（用“＜”，“＞”，“＝”）（1）1﹣2；（2）−13﹣0.3；（3）|﹣3|【分析】本题对有理数进行比较，看清题意，一一进行比较即可．【解答】解：（1）1为正数，﹣2为负数，故1＞﹣2．（2）可将两数进行分母有理化，−13=−1030（3）|﹣3|＝3，﹣（﹣3）＝3，则|﹣3|＝﹣（﹣3）．【点评】本题考查有理数的大小比较，对分式可将其化为分母相同的形式，然后进行比较即可．【变式7-3】（2022秋•武汉期末）a，b是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示．把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列应是（用“＜”号连接）．【分析】观察数轴得：b＜0＜a，且|b|＜|a|，即可求解．【解答】解：观察数轴得：b＜0＜a，且|b|＜|a|，∴﹣a＜b＜﹣b＜a．故答案为：﹣a＜b＜﹣b＜a．【点评】本题主要考查了数轴，有理数的大小比较，根据数轴得到b＜0＜a，且|b|＜|a|是解题的关键．【变式7-4】（2022秋•栖霞市期中）将下面直线补充成一条数轴，将﹣2.5，﹣|﹣1|，12【分析】先根据绝对值和相反数进行计算，再在数轴表示各个数，最后比较大小即可．【解答】解：﹣|﹣1|＝﹣1，﹣（﹣3）＝3，在数轴上表示为：，﹣2.5＜﹣|﹣1|＜1【点评】本题考查了绝对值，相反数，数轴和有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．【变式7-5】比较下列各组数的大小．（1）−38和（2）﹣3.14与−22（3）﹣|﹣1.2|与0；（4）﹣（﹣0.76）和|−5【分析】（1）两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小；（2）两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小；（3）根据绝对值性质化简，再根据负数小于0判断即可；（4）根据相反数的定义以及绝对值的性质化简后，再比较大小即可．【解答】解：（1）∵|−38|=38，|−2∴−3（2）∵|﹣3.14|＝3.14，|−227|=22∴﹣3.14＞−22（3）﹣|﹣1.2|＝﹣1.2，0，∴﹣|﹣1.2|＜0；（4）﹣（﹣0.76）＝0.76，|−5∴﹣（﹣0.76）＞|−5【点评】此题主要考查了有理数大小比较，解答此题的关键是要明确：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小．【变式7-6】（2022秋•宝应县期中）（1）在数轴上分别画出表示下列3个数的点：﹣（﹣1），﹣|+3.5|，+（﹣2）．（2）有理数x、y在数轴上对应点如图所示：①在数轴上表示﹣y、|x|；②试把x、y、﹣y、|x|这四个数从小到大用“＜”号连接．【分析】（1）首先化简各个数，然后在数轴数表示即可；（2）①根据相反数、绝对值的意义，在数轴上表示﹣y，|x|即可；②根据数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数即可解决问题．【解答】解：（1）﹣（﹣1）＝1，﹣|+3.5|＝﹣3.5，+（﹣2）＝﹣2．如图所示：（2）①如图所示：②根据数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数可得：﹣y＜x＜|x|＜y；【点评】本题考查了有理数的大小比较，学会利用数轴比较有理数的大小是解题的关键．题型八绝对值的非负性题型八绝对值的非负性【例题8】（2022秋•利州区校级期末）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为．【分析】根据绝对值的非负性解决此题．【解答】解：由题意得：|a﹣1|+|b﹣2|＝0．∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0，∴a﹣1＝0，b﹣2＝0．∴a＝1，b＝2．∴a+b＝1+2＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键．解题技巧提炼1、数a的绝对值|a|为非负数，即|a|≥0.2、几个非负式的和为0，则这几个式子都为0.【变式8-1】若|a﹣1|+|b﹣3|＝0，则b﹣a−1A．﹣412 B．﹣212 C．﹣112【分析】利用非负数的性质得出a，b的值，代入计算即可得到答案．【解答】解：根据题意，得a﹣1＝0，b﹣3＝0，解得：a＝1，b＝3，∴b﹣a−12=3﹣1−∴b﹣a−12的值是1故选：D．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确把握相关定义是解题的关键．【变式8-2】（2022秋•朝阳区校级期中）若|a﹣1|+|b﹣3|＝0，则ab＝（）A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3【分析】先根据绝对值的非负数的性质求出a、b的值，进而可得出结论．【解答】解：∵|a﹣1|≥0，|b﹣3|≥0，|a﹣1|+|b﹣3|＝0，∴a﹣1＝0，b﹣3＝0，∴a＝1，b＝3，∴ab＝1×3＝3，故选：D．【点评】本题考查了绝对值及代数式求值，记住“几个非负数（或式）的和为0，则每一个加数都为0”是解决问题的关键．【变式8-3】如果a是有理数，那么|a|+2020的最小值是．【分析】根据绝对值具有非负性的性质可得|a|≥0，进而可得答案．【解答】解：∵|a|≥0，∴|a|+2020≥2020，∴|a|+2020的最小值是2020．故答案为：2020．【点评】本题考查了非负数的性质，以及不等式的应用，掌握偶次方具有非负性是关键．【变式8-4】（2022秋•花垣县月考）若有理数a，b满足|a﹣20|+|b+19|＝0，则|a|﹣|b|＝．【分析】由绝对值的非负性，求出a＝20，b＝﹣19，然后代入计算，即可得到答案．【解答】解：∵|a﹣20|+|b+19|＝0，∴a﹣20＝0，b+19＝0，∴a＝20，b＝﹣19，∴|a|﹣|b|＝|20|﹣|﹣19|＝20﹣19＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了绝对值的非负性，掌握绝对值的非负性是关键．【变式8-5】（2022秋•九龙坡区校级月考）已知|a−12|+|b+13|+|c+25|＝0，求a【分析】根据绝对值的非负性可求出a，b，c的值，再将a，b，c的值代入a﹣|b|+（﹣c）中即可求解．【解答】解：∵|a−12|+|b+13|+||a−12|≥0，|b+13∴a−12=0，b+1∴a=12，b=−13∴a﹣|b|+（﹣c）=12−|−=1=17【点评】本题主要考查绝对值，掌握绝对值的非负性是解题的关键．题型九利用绝对值解决实际问题题型九利用绝对值解决实际问题【例题9】有四包真空包装的火腿肠，每包以标准质量450g为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数．下面的数据是记录结果，其中与标准质量最接近的是（）A．+2 B．﹣3 C．+4 D．﹣1【分析】根据正负数的意义，绝对值最小的即为最接近标准的．【解答】解：|2|＝2，|﹣3|＝3，|+4|＝4，|﹣1|＝1，∵1＜2＜3＜4，∴从轻重的角度来看，最接近标准的是记录为﹣1．故选：D．【点评】