第10讲图形性质问题(原卷版+解析)

第10讲图形性质问题考情分析图形之性质问题解题策略：（1）“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素某性质图形存在，用向量或平面几何知识，转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式，利用设而不求思想，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则某性质图形存在存在；否则，元素某性质图形存在不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.二、经验分享1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析三、题型分析（一）面积条件的转化例1.已知、是双曲线：（，）的两个顶点，点是双曲线上异于、的一点，为坐标原点，射线交椭圆：于点，设直线、、、的斜率分别为、、、.（1）若双曲线的渐近线方程是，且过点，求的方程；（2）在（1）的条件下，如果，求△的面积；（3）试问：是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.【变式训练1】．直线经过，椭圆上两个不同的点A,B关于直线对称.当面积取得最大值（为坐标原点）则直线的方程为_______.【变式训练2】．【2018天津文19】椭圆的右顶点为，上顶点为。已知椭圆的离心率为，（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点，且点均在第四象限，若的面积是面积的2倍，求的值。

（二）角平分线的转化例2.已知是椭圆的左、右焦点，点，则∠的角平分线的斜率为()A. B. C. D.【变式训练1】．、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为（）A.1 B.2 C.3 D.4【变式训练2】．设是双曲线的左右焦点，点是右支上异于顶点的任意一点，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，则的长为（）A.定值 B.定值C.定值 D.不确定，随点位置变化而变化（三）与弦长有关问题的转化例3.【2018全国1文15】直线与圆交于两点，则=___________【变式训练1】．【2018全国3理16】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则=________.【变式训练2】．【2018浙江21】如图，已知点P是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点满足的中点均在上。（1）设中点为，证明：垂直于轴；（2）若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围。四、迁移应用1.已知点是椭圆上的动点，为椭圆的两个焦点，是原点，若是的角平分线上一点，且,则的取值范围是（）A．[0,3]B．C．D．[0,4]2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点且直线与轴垂直，若的角平分线恰好过点，则的面积为（）A．12 B．24C．36 D．483.设分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上的点，射线是的角平分线，过原点作的平行线交于点，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C.3 D.4．已知动点到点的距离为，动点到直线的距离为，且.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线交曲线于两点，求的面积.5．已知、是双曲线的两个顶点，点是双曲线上异于、的一点，为坐标原点，射线交椭圆于点，设直线、、、的斜率分别为、、、.（1）若双曲线的渐近线方程是，且过点，求的方程；（2）在（1）的条件下，如果，求的面积；（3）试问：是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.6.【2018全国2理19文20】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，（1）求的方程；（2）求过点且与的准线相切的圆的方程。7.【2018北京理19】已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于.（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，，求证：为定值。第10讲图形性质问题考情分析图形之性质问题解题策略：（1）“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素某性质图形存在，用向量或平面几何知识，转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式，利用设而不求思想，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则某性质图形存在存在；否则，元素某性质图形存在不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.二、经验分享1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析三、题型分析（一）面积条件的转化例1.已知、是双曲线：（，）的两个顶点，点是双曲线上异于、的一点，为坐标原点，射线交椭圆：于点，设直线、、、的斜率分别为、、、.（1）若双曲线的渐近线方程是，且过点，求的方程；（2）在（1）的条件下，如果，求△的面积；（3）试问：是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）定值为0.【解析】（1）双曲线的渐近线方程是设双曲线方程为，将点代入方程，解得的方程为.（2）设化简得到：根据对称性不妨设在第一象限，在上，则代入方程得到（3）设，三点共线【变式训练1】．直线经过，椭圆上两个不同的点A,B关于直线对称.当面积取得最大值（为坐标原点）则直线的方程为_______.【答案】【解析】由题意，设直线的方程为，，，又A,B关于直线对称，可设直线的方程可设为，由，整理得：，则有，，即；所以，记A,B中点为P，则，因为点A,B关于直线对称，所以在直线上，所以，因此，代入整理得：，解得，所以或，又，当且仅当，即，（又，解得，）即时，面积取得最大值，此时直线的方程为：.故答案为：【变式训练2】．【2018天津文19】椭圆的右顶点为，上顶点为。已知椭圆的离心率为，（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点，且点均在第四象限，若的面积是面积的2倍，求的值。【解析】：（1）（2）设【需要的等量关系】，接下来用表示出即可，所以，解得或当时，不符合题意，当时，符合题意，所以（二）角平分线的转化例2.已知是椭圆的左、右焦点，点，则∠的角平分线的斜率为()A. B. C. D.【答案】C【解析】由椭圆，则F1（﹣2，0），F2（2，0），则直线AF1的方程为y=（x+2），即3x﹣4y+6=0，直线AF2的方程为x=2，由点A在椭圆C上的位置得直线l的斜率为正数，设P（x，y）为直线l上一点，则|x﹣2|，解得2x﹣y﹣1=0或x+2y﹣8=0（斜率为负，舍），∴直线l的方程为2x﹣y﹣1=0，直线的斜率为：2.故答案为：C【变式训练1】．、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】延长交延长线于N,则选A【变式训练2】．设是双曲线的左右焦点，点是右支上异于顶点的任意一点，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，则的长为（）A.定值 B.定值C.定值 D.不确定，随点位置变化而变化【答案】A【解析】依题意如图，延长F1Q，交PF2于点T，∵是∠F1PF2的角分线．TF1是的垂线，∴是TF1的中垂线，∴|PF1|＝|PT|，∵P为双曲线1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|TF2|＝2a，在三角形F1F2T中，QO是中位线，∴|OQ|＝a．故选：A．（三）与弦长有关问题的转化例3.【2018全国1文15】直线与圆交于两点，则=___________【解析】：，圆心坐标为，半径圆心到直线的距离，由勾股定理得【变式训练1】．【2018全国3理16】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则=________.【解析】：用到结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切所以，设，根据焦点弦斜率公式可得【变式训练2】．【2018浙江21】如图，已知点P是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点满足的中点均在上。设中点为，证明：垂直于轴；若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围。【解析】：（1）设中点满足：中点满足：所以是方程即的两个根，所以，故垂直于轴。（2）由（1）可知所以,因此，因为，所以因此，面积的取值范围是四、迁移应用1.已知点是椭圆上的动点，为椭圆的两个焦点，是原点，若是的角平分线上一点，且,则的取值范围是（）A．[0,3]B．C．D．[0,4]【答案】B【解析】采用特殊点法，当点在椭圆短轴端点时，垂足与原点重合，此时最小为0，当点在椭圆长轴端点时，垂足与原点重合，此时最大为，但此时，所以选择2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点且直线与轴垂直，若的角平分线恰好过点，则的面积为（）A．12 B．24C．36 D．48【答案】B【解析】记，则，由题意可知，为双曲线通径长的一半，即由双曲线定义可知：由角平分线性质定理可得：本题正确选项：3.设分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上的点，射线是的角平分线，过原点作的平行线交于点，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】由题意可得：，则①由角平分线的性质可得：，结合，故：②由①可得：，由②可得：，据此有：，整理可得：，据此得：.本题选择D选项.4．已知动点到点的距离为，动点到直线的距离为，且.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线交曲线于两点，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，，因为，所以，化简可得：，所以轨迹的方程即为：；（2）记到的距离为，所以；设，联立可得：，所以，所以，所以.5．已知、是双曲线的两个顶点，点是双曲线上异于、的一点，为坐标原点，射线交椭圆于点，设直线、、、的斜率分别为、、、.（1）若双曲线的渐近线方程是，且过点，求的方程；（2）在（1）的条件下，如果，求的面积；（3）试问：是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）的面积为；（3）定值为.【解析】（1）由于双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程得，因此，双曲线的方程为；（2）设射线所在直线的方程为，设点，则，因为点在双曲线上，所以，可得.，.所以，射线所在直线的方程为.联立直线的方程与椭圆的方程，解得，所以，点的纵坐标为，因此，的面积为；（3）设点、，由于点在双曲线上，则，得，，，，同理可得，因此，.6.【2018全国2理19文20】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，（1）求的方程；（2）求过点且与的准线相切的圆的方程。【解析】：（1）直线过焦点，因此属于焦点弦长问题，可以利用焦点弦长公式来求根据焦点弦长公式可知，则，，则的直线方程为（2）由（1）知的中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，即设所求圆的圆心坐标为，则解得因此所求圆的方程为通过这个题目注意一个在抛物线中不常用的结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切，证明过程如下：在上图中过焦点的直线与抛物线交于两点，取的中点，三点分别向准线作垂线，垂足分别为，因为，，所以，所以为直径的圆与准线相切。7.【2018北京理19】已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于.（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，