第16讲含参单调性讨论、极值和最值(原卷版+解析)

第16讲含参单调性讨论、极值和最值高考预测一：含参单调性讨论1．设函数，其中，求的单调区间．2．已知函数，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若在处的切线斜率为1．①设（其中为正常数），求函数的最小值；②若，，证明：．3．设函数，曲线在点，（2）处的切线方程为，（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求的单调区间．4．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若对于任意的，，都有成立，求正整数的最大值．5．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．6．已知函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的，都有，求的取值范围．高考预测二：含参极值问题7．已知函数．（1）若，求函数的极值；（2）当时，判断函数在区间，上零点的个数．8．已知函数的导函数的两个零点为和0．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若的极小值为，求的极大值．高考预测三：含参最值问题9．已知函数的定义域为（1）求函数的单调区间；（2）求函数在，上的最小值．10．已知函数（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若函数在区间，上的最大值为28，求的取值范围．11．已知函数．（Ⅰ）若，求证：在上是增函数；（Ⅱ）求在，上的最小值．12．已知函数，．（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值；（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间，上的最大值．13．设函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数在，上的最大值．14．设函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当，时，求用表示函数在的最小值．高考预测四：已知最值求参15．已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）记．当时，函数与轴有两个不同的交点，求的取值范围；（3）若函数在区间，上的最小值为，求的值．16．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）是否存在，，使得在区间，的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，说明理由．17．已知函数，，．（1）讨论的单调性；（2）是否存在，，使得函数在区间，的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由．参考数据：．高考预测五：用函数在区间上的最值点若不是区间端点就是极值点解题18．已知函数，其中．（1）若，求的值；（2）讨论函数的零点个数．19．已知函数．（1）若，求的值；（2）已知某班共有人，记这人生日至少有两人相同的概率为，，将一年看作365天．求的表达式；估计的近似值（精确到．参考数值：，，．20．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，求的值．21．已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对任意的，恒成立，求的值．第16讲含参单调性讨论、极值和最值高考预测一：含参单调性讨论1．设函数，其中，求的单调区间．【解析】解：由已知得函数的定义域为，且，（1）当时，，函数在上单调递减，（2）当时，由，解得．、随的变化情况如下表0极小值从上表可知当时，，函数在上单调递减．当时，，函数在上单调递增．综上所述：当时，函数在上单调递减．当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增．2．已知函数，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若在处的切线斜率为1．①设（其中为正常数），求函数的最小值；②若，，证明：．【解析】解：（Ⅰ）：，，，当时，恒成立，故在上单调递增，当时，令，解得或，当时，令，即时，函数单调递增，令，即时，函数单调递减，当时，令，即时，函数单调递增，令，即时，函数单调递减，综上所述：当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递增，在，上单调递减，（Ⅱ）在处的切线斜率为1，（1），解得，，①，，，令，解得，当，即，函数单调递增，当，即，函数单调递减，②不妨设，令，，，，令，解得，当，即，函数单调递增，当，即，函数单调递减，，．3．设函数，曲线在点，（2）处的切线方程为，（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求的单调区间．【解析】解：（Ⅰ）在点，（2）处的切线方程为，当时，，即（2），同时（2），，，则，即，；（Ⅱ），；，，，与同号，令，则，由，得，此时为减函数，由，得，此时为增函数，则当时，取得极小值也是最小值（1），则（1），故，即的单调区间是，无递减区间．4．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若对于任意的，，都有成立，求正整数的最大值．【解析】解：（1），①时，恒成立，在上单调递增，②当时，，令，解得，当时，，函数在，上单调递增，当时，，函数在，上单调递减，③当时，，令，解得，当，函数上单调递增，当，函数上单调递减，（2）对任意的，，成立，即成立，即恒成立，△，即，令，令，在上单调递增，又，，在上有唯一零点，且，当时，，为减函数，当，时，，为增函数，，，，恒成立，，且是正整数，或，的最大值为2．5．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【解析】解：（1）由，求导，当时，，当，单调递减，当时，，令，解得：，当，解得：，当，解得：，时，单调递减，，单调递增；当时，，恒成立，当，单调递减，综上可知：当时，在单调减函数，当时，在是减函数，在，是增函数；（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，当时，，当时，，，当时，，当，，且远远大于和，当，，函数有两个零点，的最小值小于0即可，由在是减函数，在，是增函数，，，即，设，则，，求导，由（1），，解得：，的取值范围．方法二：（1）由，求导，当时，，当，单调递减，当时，，令，解得：，当，解得：，当，解得：，时，单调递减，单调递增；当时，，恒成立，当，单调递减，综上可知：当时，在单调减函数，当时，在是减函数，在是增函数；（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，②当时，由（1）可知：当时，取得最小值，，当，时，，故只有一个零点，当时，由，即，故没有零点，当时，，，由，故在有一个零点，假设存在正整数，满足，则，由，因此在有一个零点．的取值范围．6．已知函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的，都有，求的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）．令，得，当时，随的变化情况如下：00递增递减0递增所以，的单调递增区间是，和，单调递减区间是；当时，随的变化情况如下：00递减0递增递减所以，的单调递减区间是，和，单调递增区间是；（Ⅱ）当时，有，不合题意，当时，由知在上的最大值是，任意的，，，解得，故对于任意的，都有，的取值范围是，高考预测二：含参极值问题7．已知函数．（1）若，求函数的极值；（2）当时，判断函数在区间，上零点的个数．【解析】解：（1），，100递减极小值递增极大值递减所以的极小值为，极大值为．（2）由（1）得，①当时，在，上单调递增，在，上递减．又因为，，，所以在，上有两个零点；②当时，，在，上有两个零点；③当时，，在，上单调递增，在，上递减，又因为，，，所以在，上有两个零点；④当时，，所以在上单调递增，在上递减，在上递增．又因为，，，所以在，上有且仅有一个零点，在，上没有零点，所以在，上有且仅有一个零点；⑤当时，恒成立，在，单调递增，，（2），所以在，上有且仅有一个零点，综上可知，当时，在，上有且仅有一个零点；当时，在，上有两个零点．8．已知函数的导函数的两个零点为和0．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若的极小值为，求的极大值．【解析】解：（Ⅰ）．令，，的零点就是的零点，且与符号相同．又，当，或时，，即，当时，，即，的单调增区间是，，单调减区间是．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，是的极小值点，所以有解得，，．所以函数的解析式为．又由（Ⅰ）知，的单调增区间是，，单调减区间是．所以，函数的极大值为．高考预测三：含参最值问题9．已知函数的定义域为（1）求函数的单调区间；（2）求函数在，上的最小值．【解析】解：（1）函数，令，所以函数在区间上单调递减；令，所以函数在区间上单调递增．（2）①当时，由于，故，故，函数在区间上单调递减函数在区间上单调递增函数的最小值为（2）．②当时，函数在区间，上单调递增，所以函数的最小值为．综上，10．已知函数（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若函数在区间，上的最大值为28，求的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）函数，，（1），（1），，在处的切线方程：；（Ⅱ），，，，或，，，100单调递增极大值单调递减极小值单调递增，（1），（2），在区间，上的最大值为28，11．已知函数．（Ⅰ）若，求证：在上是增函数；（Ⅱ）求在，上的最小值．【解析】证明：（Ⅰ）当时，，当时，，所以在上是增函数．（5分）（Ⅱ）解：，当，，，．若，则当，时，，所以在，上是增函数，又（1），故函数在，上的最小值为1．若，则当，时，，所以在，上是减函数，又（e），所以在，上的最小值为．若，则当时，，此时是减函数；当时，，此时是增函数．又，所以在，上的最小值为．综上可知，当时，在，上的最小值为1；当时，在，上的最小值为；当时，在，上的最小值为．（13分）12．已知函数，．（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值；（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间，上的最大值．【解析】解：（1）由公共切点可得：，则，，，则，，①又（1），（1），，即，代入①式可得：．（2），设则，令，解得：，；，，原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增①若，即时，最大值为；②若，即时，最大值为③若时，即时，最大值为．综上所述：当，时，最大值为；当时，最大值为．13．设函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数在，上的最大值．【解析】解：（1）当时，，令，解得，所以，随的变化情况如下表：000极大值极小值所以函数的单调增区间为和，单调减区间为（2），，，．，，解得，令，，所以在上是减函数，（1），．即所以，随的变化情况如下表：，，0极小值所以，，，令则，所以在上递减，而，所以存在使得，且当时，，当，时，，所以在上单调递增，在，上单调递减，因为，所以在上恒成立，当且仅当时取得等号．综上，函数在，上的最大值．14．设函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当，时，求用表示函数在的最小值．【解析】解：（1）当时，，．令得，2．列表如下：0，22，00极大值极小值由表可知，函数的递减区间为，，递增区间为，2，．（2），，，由（1）可知在，上单调递减，在，上单调递增．．高考预测四：已知最值求参15．已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）记．当时，函数与轴有两个不同的交点，求的取值范围；（3）若函数在区间，上的最小值为，求的值．【解析】解：（1）当时，，的定义域为，．（1分）当时，；当时，．所以的减区间为，增区间为．（4分）（2）当时，，则．由解得：；由解得：．所以函数在区间为减函数，在区间为增函数．当时，取最小值，且（1）．（6分）当时，函数与轴有两个不同的交点，即．实数的取值范围为．（8分）（3）由题意，．①若，则，在上单调递减；，即，适合题意．（10分）②若，即，则，在上单调递增；，即，适合题意．（12分）③若，即，则在上单调递减，在上单调递增；，即（舍．（14分）④若，即，在上单调递减；，即，不合题意．综上所述，或．（16分）16．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）是否存在，，使得在区间，的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，说明理由．【解析】解：（1）．令，解得，或．①时，，函数在上单调递增．②时，函数在，，上单调递增，在上单调递减．③时，函数在，上单调递增，在，上单调递减．（2）由（1）可得：①时，函数在，上单调递增．则，（1），解得，，满足条件．②时，函数在，上单调递减．，即时，函数在，上单调递减．则，（1），解得，，满足条件．③，即时，函数在，上单调递减，在，上单调递增．则最小值，化为：．而，（1），最大值为或．若：，，解得，矛盾，舍去．若：，，解得，或0，矛盾，舍去．综上可得：存在，，使得在区间，的最小值为且最大值为1．，的所有值为：，或．17．已知函数，，．（1）讨论的单调性；（2）是否存在，，使得函数在区间，的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由．参考数据：．【解析】解：（1），令，，，，在，上单调递增，，（1），①若时，恒成立，即在区间，上单调递增，②若时，则（1），则，则在区间，上单调递减，③若，则，（1），又在，上单调递增，结合零点存在性定理知，存在唯一的实数，使得，当，时，，则，则在，上单调递减，当，时，，则，则在，上单调递增，综上所述：若时，在区间，上单调递增，若时，在区间，上单调递减，若时，存在唯一的实数，，在，上单调递减，在，上单调递增．（2）由（1）可得：①若，则，则，而（1），解得满足题意，②若时，则，则时，而（1），解得满足题意，③若时，令，，，则，在，上单调递减，，令，，，由（1）可知（1），令，，，由（1）可知（1），，，，，综上：当且，或当且时，使得在区间，的最小值为且最大值为1．高考预测五：用函数在区间上的最值点若不是区间端点就是极值点解题18．已知函数，其中．（1）若，求的值；（2）讨论函数的零点个数．【解析】解：（1），当时，，当时，，在上递增，在上递减，，，（1），，；（2）由（1）可知：，时取等号，，时取等号，①时，有一个零点；②时，，，（1），，此时有两个零点；③时，，，（1），，令，，在上递增，（1），，此时有两个零点；综上：时，有一个零点；当且时，有两个零点．19．已知函数．（1）若，求的值；（2）已知某班共有人，记这人生日至少有两人相同的概率为，，将一年看作365天．求的表达式；估计的近似值（精确到．参