数学第一讲坐标系单元测评二

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精单元测评（二）（时间120分钟，满分150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1。将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是（）A.椭圆B.比原来大的圆C。比原来小的圆D.双曲线答案:D2。在极坐标系中,点M（-2，）的位置，可按如下规则确定（)A.作射线OP，使∠xOP=，再在射线OP上取点M,使｜OM|=2B。作射线OP，使∠xOP=,再在射线OP上取点M,使｜OM｜=2C。作射线OP,使∠xOP=,再在射线OP的反向延长线上取点M，使|OM｜=2D.作射线OP，使∠xOP=—,再在射线OP上取点M，使｜OM｜=2答案:B3.极坐标方程sinθ=（ρ∈R)表示的曲线是（)A.两条相交直线B.两条有公共点的射线C。一条直线D。一条射线答案:A4。直角坐标为（—3，4）的点的极坐标可能是（）A.(5,arctan（-))B。（5,arcsin）C.(—5，-arccos)D。(—5,arccos（-）)解析：∵ρ==5（ρ>0）,点（-3,4)在第二象限，tanθ=—，θ=π+arctan（-)=π-arctan.排除A、B.又cosθ=—，则θ=arccos(—)=π—arccos。若取ρ=-5,则取极角θ=-arccos。答案:C5.将极坐标(2,）化为直角坐标为()A.（0，2）B.（0，—2)C.（2,0）D。（—2,0）答案:B6.极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是（)A.直线B.圆C.双曲线D。抛物线解析:方程ρ=sinθ+2cosθ两边同乘以ρ，得ρ2=ρsinθ+2ρcosθ.∴x2+y2=2x+y，即(x—1）2+（y—)2=。答案：B7。极坐标平面内，集合P={（ρ,θ)|sinθ=-,ρ∈R｝与集合S=｛(ρ,θ）｜cosθ=,ρ∈R｝之间的关系是(）A.PSB.PSC。P=SD.P∩S=｛(0,0)｝答案:C8。(经典回放）已知点P的极坐标为(1，π），那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（）A.ρ=1B。ρ=cosθC.ρ=—D。ρ=解析：点P（1，π)在相应的直角坐标系中的坐标是(-1，0)，则过该点的直线方程为x=-1,它在极坐标系中的方程是ρcosθ=—1。答案：C9。在极坐标系中，过点A（6,π)作圆ρ=-4cosθ的切线，则切线长为(）A.2B.6C。2D。2解析:如图,切线长为答案:C10.一个三角形的一个顶点在极点，其他两个顶点的极坐标分别为P1（—5,109°）,P2（4,49°）,则这个三角形P1OP2的面积为()A.5B.10C.D.10解析:如图，∠P1OP2=49°+（180°—109°）=120°。∴S△P1OP2=×5×4×sin120°=5。答案：A11.以极坐标系中的点(1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是（)A.ρ=2cos(θ—）B.ρ=2sin(θ-）C.ρ=2sin(θ—1)D。ρ=2cos（θ-1)解析:在新极坐标系中圆的方程为ρ′=2cosθ′,又ρ′=ρ,θ′=θ—1,∴ρ=2cos（θ-1)为所求.答案：D12。已知曲线C与曲线ρ=53cosθ—5sinθ关于极轴对称,则曲线C的方程是()A。ρ=-10cos（θ-）B。ρ=10cos(θ—)C.ρ=—10cos（θ+)D。ρ=10cos(θ+)解析:方程ρ=5cosθ-5sinθ两边同乘以ρ，得ρ2=5ρcosθ-5ρsinθ。∴x2+y2=5x—5y.曲线关于极轴对称的曲线C的直角坐标方程为x2+y2=5x+5y。∴ρ2=5ρcosθ+5ρsinθ,即ρ=5cosθ+5sinθ=10cos（θ—）。答案:B二、填空题(每小题4分，共16分）13。将直角坐标P（—1，-3）化为极坐标(ρ>0，0≤θ<2π）_______。解析：ρ==2，点P在第三象限,tanθ=，∴θ=π+=π。答案:(2,π)14。极坐标方程ρcosθ=sin2θ所表示的曲线是_______.解析：由ρcosθ=sin2θ=2sinθcosθ，得cosθ=0或ρ=2sinθ.∴表示一条直线或一个圆.答案：一条直线或一个圆15.在同一平面直角坐标系中，由椭圆变成圆x＇2+y＇2=1的伸缩变换公式为_______。解析:设伸缩变换为将其代入x′2+y′2=1，得λ2x2+u2y2=1。与方程=1比较系数有λ2=,u2=.∴λ=,u=，即所求的伸缩变换为答案：16.曲线θ=0，θ=(ρ≥0）和ρ=4所围成的面积是_______。解析：如图，所求的面积由S=lR=αR2得S=××42=π。答案:π三、解答题（共74分)17。（本小题满分12分）设有一颗彗星,围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30(万千米)时,经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30°，试建立适当的极坐标系,写出彗星此时的极坐标。解:如图，建立极坐标系,使极点O位于抛物线的焦点处,极轴Ox过抛物线的对称轴,由题设可得下列情形：（1）当θ=30°时,ρ=30(万千米);（2)当θ=150°时,ρ=30（万千米)；(3）当θ=210°时，ρ=30（万千米);(4）当θ=330°时，ρ=30（万千米）。∴彗星此时的极坐标有四种情形:(30，30°)，(30,150°),(30，210°），(30,330°)。18.（本小题满分12分)（1)将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程:①(x2+y2）2=2a2xy；②x-3y(2）将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程:①ρ2=cos2θ;②ρ=解:(1）①由(x2+y2）2=2a2xy,得ρ4=2a2ρ2cosθsin∴ρ2=2a2cosθsinθ，即ρ2=a2sin2θ②由x—3y=0,得ρcosθ—3ρsinθ=0,tanθ=。∴θ=arctan。(2)①ρ2=cos2θ两边同时乘以ρ2,得ρ4=ρ2cos2θ=（ρcosθ）2。∴（x2+y2）2=x2，即有x2+y2=x或x2+y2=-x,它表示两个圆.②方程可化为2ρ-ρcosθ=4，即2ρ=4+x，两边平方得4ρ2=(x+4)2.4x2+4y2=x2+8x+16，即3x2-8x+4y2=16.19。(本小题满分12分）已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P，使|PA|2+|PB｜2+｜PC｜2最小,并求出此最小值.解:如右图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则A（0,a）,B（-,0),C(，0)。设P(x，y),则|PA｜2+｜PB｜2+｜PC|2=x2+（y—a)2+（x+）2+y2+(x—）2+y2=3x2+3y2-ay+=3x2+3(y-a）2+a2≥a2，当且仅当x=0,y=a时，等号成立,∴所求最小值为a2，此时P点坐标为P(0，a)，是正三角形ABC的中心.20.（本小题满分12分)已知定点A(a,0)，动点P对极点O和点A的张角∠OPA=,在OP的延长线上取点Q，使|PQ｜=|PA|.当P在极轴上方运动时,求点Q的轨迹的极坐标方程.解：设Q、P的极坐标分别是(ρ，θ)，（ρ1，θ1)，则θ=θ1.在△POA中，ρ1=·sin（-θ），｜PA|=又｜OQ|=|OP｜+｜PA|，∴ρ=2acos（-θ)。21.(本小题满分12分）半径为R的两个等圆，它们的圆心分别在两条互相垂直相交于点O的定直线上,且两圆都过点O，过点O任意作直线l分别交两圆于A、B,试求出线段AB中点P的轨迹的极坐标方程。解：如图,建立极坐标系,设B（ρ1,θ），其轨迹为ρ1=2acosθ.设A（ρ2,θ)，其轨迹为ρ2=2asinθ，设P（ρ，θ)，则ρ=（ρ1+ρ2)=（2acosθ+2asinθ)=a(cosθ+sinθ）=asin（θ+）.∴点P的轨迹的极坐标方程为ρ=2asin(θ+）。22。(本小题满分14分)如图，根据指令(r，θ）（r≥0,—180°≤θ≤180°),机器人在平面上能完成下列动作:先原地旋转角度θ（θ为正时,按逆时针方向旋转θ，θ为负时,按顺时针方向旋转|θ|）,再朝其面对的方向沿直线行走距离r。（1)现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点(4,4）.(2）机器人在完成该指令后，发现在点（17,0)处有一个小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球?并给出机器人截住小球所需的指令(结果精确到小