江苏省泰州市2015届高三第二次模拟考试数学试卷及答案

全科【9门】备课大师网：免注册，不收费！/2014~2015学年度泰州市第二次模拟考试高三数学试题(考试时间:120分钟总分：160分）命题人:朱占奎张圣官张俊龚才权丁连根审题人：丁凤桂石志群注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．（参考公式：柱体体积公式为）一、填空题：（本大题共14小题,每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1.若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数=▲．2.已知集合,，若，则▲．3.某高中共有人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样While<10EndWhilePrintWhile<10EndWhilePrint第5题图4。已知双曲线的渐近线方程为，则▲．5。执行右边的伪代码后,输出的结果是▲．6.若圆柱的侧面积和体积的值都是，则该圆柱的高为▲．7.小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于，则周末打篮球；否则就在家看书．那么小明周末在家看书的概率是▲．8。在等比数列中，已知,则▲．9.已知函数的定义域为，值域为,则实数的取值集合为▲．10.已知实数满足，则的取值范围是▲．11。设函数和的图象在轴左、右两侧靠近轴的交点分别为、,已知为原点，则▲．12.若斜率互为相反数且相交于点的两条直线被圆:所截得的弦长之比为,则这两条直线的斜率之积为▲．13。若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是▲．14。在中，为边上一点，，若的外心恰在线段上,则▲．二、解答题:（本大题共6小题,共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15。（本题满分14分）已知向量，，．（1）若∥，求角的大小;（2）若，求的值．16。（本题满分14分）如图，矩形所在平面与直角三角形所在平面互相垂直，，点分别是的中点．(1)求证：∥平面;（2)求证：平面平面．17。(本题满分14分）如图,某市有一条东西走向的公路,现欲经过公路上的处铺设一条南北走向的公路．在施工过程中发现在处的正北百米的处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以为圆心,百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路、,欲再新建一条公路，点、分别在公路、上,且要求与圆相切．（1）当距处百米时，求的长；(2)当公路长最短时，求的长．18。（本题满分16分)如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，与轴平行的直线与椭圆交于、两点，过、两点且分别与直线、垂直的直线相交于点．已知椭圆的离心率为,右焦点到右准线的距离为．(1）求椭圆的标准方程；（2）证明点在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；(3)求面积的最大值．19.((本题满分16分）已知，，都是各项不为零的数列，且满足，，其中是数列的前项和，是公差为的等差数列．(1）若数列是常数列,,，求数列的通项公式;（2）若（是不为零的常数)，求证:数列是等差数列；（3)若（为常数,），，求证：对任意的，数列单调递减．20。（本题满分16分）己知，其中常数．（1)当时,求函数的极值；（2）若函数有两个零点，求证:；(3）求证：．2014～2015学年度泰州市第二次模拟考试高三数学试题(附加题)21。（[选做题］请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做,则按所做的前两题记分．A．（本小题满分10分,几何证明选讲)如图，是圆的切线，切点为，是过圆心的割线且交圆于点，过作的切线交于点．求证：（1)；（2）．B．(本小题满分10分，矩阵与变换）已知矩阵，矩阵,直线经矩阵所对应的变换得到直线，直线又经矩阵所对应的变换得到直线．（1）求的值；（2）求直线的方程．C．(本小题满分10分,坐标系与参数方程选讲)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若直线l的极坐标方程为．（1)把直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知为椭圆上一点,求到直线的距离的最小值．D．（本小题满分10分,不等式选讲）已知不等式对于满足条件的任意实数恒成立,求实数的取值范围．[必做题］第22题,第23题，每题10分,共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22。(本小题满分10分）某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了名幸运之星．这名幸运之星可获得、两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于的获得奖品，抛掷点数不小于的获得奖品．(1)求这名幸运之星中获得奖品的人数大于获得奖品的人数的概率；（2）设、分别为获得、两种奖品的人数，并记，求随机变量的分布列及数学期望．23.（本小题满分10分）已知（）,是关于的次多项式；（1）若恒成立，求和的值;并写出一个满足条件的的表达式，无需证明．（2）求证：对于任意给定的正整数,都存在与无关的常数，，，…，,使得．2014～2015学年度泰州市第二次模拟考试高三数学参考答案一、填空题1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．;8．;9．；10．；11．；12．或；13．；14．。二、解答题15.解:(1)因为，所以，即，所以，又,所以．……………７分（2）因为，所以，化简得,又，，则，，所以,则,……………10分又，，所以．……………14分16。证:（1)取中点,连接，又是中点,则，又是矩形边中点,所以,则四边形是平行四边形，所以,又面，面，所以∥平面．…７分（2）因为平面平面，，所以平面，因为平面,所以，又,，所以平面，而平面，所以平面平面．……………14分17.解:以为原点，直线、分别为轴建立平面直角坐标系．设与圆相切于点,连结，以百米为单位长度，则圆的方程为，（1）由题意可设直线的方程为,即，，∵与圆相切，∴,解得，故当距处百米时，的长为百米．……………5分（2）设直线的方程为，即，,∵与圆相切，∴，化简得,则,……8分令，∴,当时，，即在上单调递减；当时,，即在上单调递增，∴在时取得最小值,故当公路长最短时，的长为百米．答：（1)当距处百米时,的长为百米;（2)当公路长最短时，的长为百米．……………14分18.解:（1）由题意得，,解得，所以,所以椭圆的标准方程为．……………4分（2)设，显然直线的斜率都存在，设为，则，，所以直线的方程为：，消去得,化简得,故点在定直线上运动．……………10分(3）由(2）得点的纵坐标为,又，所以，则，所以点到直线的距离为，将代入得，所以面积,当且仅当，即时等号成立，故时，面积的最大值为．……………16分19．解：(1）因为，，所以，因为数列是各项不为零的常数列，所以，,则由及得，当时，,两式相减得,当时，,也满足，故．…………4分(2）因为，当时，,两式相减得，即，，即，又，所以，即,所以当时，，两式相减得，所以数列从第二项起是公差为等差数列;又当时,由得，当时，由得,故数列是公差为等差数列．…………15分(3）由(2）得当时，，即，因为，所以,即,所以，即，所以,当时，，两式相减得，即，故从第二项起数列是等比数列，所以当时，，，另外由已知条件得,又，,，所以，因而，令，则,因为，所以,所以对任意的,数列单调递减．……………16分20。解：函数的定义域为,（1)当时，,,而在上单调递增，又,当时,,则在上单调递减；当时,，则在上单调递增,所以有极小值，没有极大值．…………3分（2）先证明：当恒成立时，有成立．若,则显然成立；若，由得，令，则，令，由得在上单调递增，又因为,所以在上为负，在上为正，因此在上递减，在上递增，所以,从而．因而函数若有两个零点，则，所以，由得，则，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以,则，所以，由得，则，所以，综上得．…………10分(3）由（2）知当时，恒成立，所以,即,设,则，当时，，所以在上单调递增；当时,，所以在上单调递增,所以的最大值为,即，因而，所以,即．…………16分附加题参考答案21。A．证:(1）∵是圆的切线，∴，连结，则,∵是圆的切线,∴,又，∴,∴，则,而，∴,∴，…………5分（2）将代入得，故．……10分21.B。解：（1）设是上的任意一点，其在BA作用下对应的点为，得变换到的变换公式,则即为直线，则得．…………5分（2），同理可得的方程为，即．………10分21.C.解：（1）直线的极坐标方程，则，即，所以直线的直角坐标方程为；…………5分（2）为椭圆上一点,设，其中，则到直线的距离，其中，，∴当时，的最小值为．…………10分21.D。解：因为，所以,…………5分又对任意实数恒成立，故,解得．…………10分22。解：这名幸运之星中，每人获得奖品的概率为,奖品的概率为．（1）要获得奖品的人数大于获得奖品的人数，则奖品的人数可能为，则则所求概率为．…………4分(2）的可能取值为,且，，，…………8分所以的分布列是:故随机变量的数学