2024-2025学年初中数学九年级上册（华师版）教案 第24章解直角三角形24.4解直角三角形及其简单的应用（第2课时）

第24章解直角三角形24.4解直角三角形解与仰角、俯角有关的直角三角形（第2课时）教学目标1.理解仰角、俯角的含义，能准确运用这些概念来解决一些实际问题.2.能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.教学重难点重点：理解解直角三角形的含义.难点：能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.教学过程复习巩固1.锐角三角函数：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则两锐角关系：∠A+∠B＝90°.三边关系：a2+b2＝c2.边角关系：(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝eq\f(∠A的对边,斜边)；(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝eq\f(∠A的邻边,斜边)；(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝eq\f(∠A的对边,∠A的邻边).2.解直角三角形有以下基本类型：基本类型选择的关系式已知两边斜边和一直角边(c，a)b＝eq\r(c2－a2)；由sinA＝eq\f(a,c)，求∠A；∠B＝90°-∠A两直角边(a，b)c＝eq\r(a2＋b2)；由tanA＝eq\f(a,b)，求∠A；∠B＝90°-∠A已知边和角斜边和一锐角(c，∠A)∠B＝90°-∠A；由sinA＝eq\f(a,c)，求a＝c·sinA；由cosA＝eq\f(b,c)，求b＝c·cosA一直角边和一锐角(a，∠A)∠B＝90°-∠A；由tanA＝eq\f(a,b)，求b＝eq\f(a,tanA)；由sinA＝eq\f(a,c)，求c＝eq\f(a,sinA)导入新课我们已经掌握了直角三角形的有关性质以及边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的重要依据，这节课就是利用直角三角形解关于仰角与俯角的问题.教师引出课题：24.4解直角三角形解与仰角、俯角有关的直角三角形（第2课时）探究新知探究点一仰角、俯角的概念活动1（学生交流，教师点评）阅读教材第113页读一读【总结】在进行观察或测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.典例讲解（师生互动）例1如图，为了测量电线杆的高度BC，在离电线杆10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得电线杆顶端C的仰角a＝52°，求电线杆BC的高.（精确到0.1米）【探索思路】(引发学生思考)本题要求BC，由图示可知BC＝CE+EB，而EB＝DA，因此只要求出CE问题就解决了.【解】在Rt△CDE中，∵

CE＝DEtanα＝ABtanα＝10tan52°≈12.80（米），∴BC＝BE+CE＝DA+CE＝1.50+12.80＝14.3（米）.答：电线杆BC的高为14.3米.探究点二利用三角函数解实际问题的一般步骤活动2（学生交流，教师点评）【总结】利用三角函数解实际问题的一般步骤：（1）首先要弄清题意，结合实际问题中的示意图分清题目中的已知条件和所求结论；（2）找出与问题有关的直角三角形，或通过作辅助线构造有关的直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题；（3）合理选择直角三角形的元素之间的关系求出答案.例2如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离AD为100米，试求这栋楼的高度BC.【探索思路】分析法：要求BC，先求出BD与CD，只要解Rt△ADB、Rt△ADC.【解】由题意，得α＝30°，β＝60°，AD＝100米，∠ADC＝∠ADB＝90°.∴在Rt△ADB中，α＝30°，AD＝100米，∴tanα＝eq\f(BD,AD)＝eq\f(BD,100)＝，∴BD＝米.在Rt△ADC中，β＝60°，AD＝100米，∴tanβ＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(CD,100)＝，∴CD＝100米.∴BC＝BD+CD＝+100＝(米)，即这栋楼的高度BC是米.【题后总结】(学生总结，老师点评)首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形△ADB、△ADC，利用BC＝BD+CD可求出答案.【归纳】仰角、俯角问题的常见基本模型：模型一模型二模型三模型四模型五【即学即练】如图，某大楼顶部有一旗杆AB，甲乙两人分别在相距6米的C，D两处测得B点和A点的仰角分别是42°和AB的长大约是多少米？(结果保留整数，参考数据：sin42°≈0.67，tan42°≈0.9，sin65°≈0.91，tan65°≈2.1)【解】在Rt△ADE中，∠ADE＝65°，DE＝15米，则tan∠ADE＝，即tan65°＝≈2.1，解得AE≈31.5米.在Rt△BCE中，∠BCE＝42°，CE＝CD+DE＝21米，则tan∠BCE＝，即tan42°＝≈0.9，解得BE≈18.9米.则AB＝AE-BE＝31.5-18.9≈13(米).即旗杆AB的长大约是13米.【方法总结】把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.课堂练习1.如图所示，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30m的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为()A.m B.30sinαmC.30tanαm D.30cosαm2.如图所示，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞机的飞行高度AC＝1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B的距离为()A.1200m B.12002mC.12003m3.如图所示，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB.已知观测点C到旗杆的距离CE＝8m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA＝30°，旗杆底部B的俯角∠ECB＝45°，那么，旗杆AB的高度是()A.()m B.(8+83)mC.m D.m4.如图，从热气球C上测得建筑物A，B底部的俯角分别为30°和60°.如果这时热气球高度CD为150米，且点A，D，B在同一直线上，则建筑物A，B间的距离为()A.1503m B.1803C.2003m D.2205.如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60m到C点，又测得楼顶的仰角为45°，则高楼的高度大约为为多少米.6.如图所示，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100m到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB为多少米.参考答案1.C【解析】在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，∵BO＝30m，∠ABO＝α，tan∠ABO＝，∴AO＝BOtanα＝30tanαm.故选C.2.D【解析】由题意，得∠B＝30°，所以sinB＝.又AC＝1200m，所以AB＝2AC＝2400m.3.D【解析】由题意，得AE＝CEtan∠ECA＝8×(m)，BE＝CEtan∠ECB＝8(m).∴AB＝BE+AE＝m.4.C【解析】∵∠A＝30°，∠B＝60°，在Rt△ACD中，tanA＝，∴AD＝1503（m）.在Rt△BCD中，tanB，∴BD＝50（m），∴AB＝AD+BD＝200（m）.5.【解】设楼高AB为xm.在Rt△ADB中，DB.∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝x.∴CD＝BD-BC＝(3-1)x＝60，解得x故高楼的高度大约为82米.6.【解】如图，过点C作CG⊥AB，垂足为G.由题意知C，E，G三点共线.设AG＝xm.由题意可知AB⊥DB，CG∥DB，∠AGE＝90°.在Rt△AEG中，∵∠AEG＝60°，tan∠AEG＝，∴EG＝x(m).在Rt△ACG中，∵∠ACG＝30°，tan∠ACG＝，∴CG＝＝3x∵CE＝DF＝100m，而CG-EG＝CE，∴x＝100，解得x＝503.∴AB＝AG+GB＝(503+1课堂小结(学生总结，老师点评)仰角、俯角的概念：在进行观察或测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.利用三角函数解实际问题的一般步骤：；（2）找出与问题有关的直角三角形，或通过作辅助线构造有关的直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题；（3）合理选择直角三角形的元素之间的关系求出答案.【方法总结】把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.布置作业教材第114页练习题第1，2题.板书设计课题24.4解直角三角形解与仰角、俯角有关的直角三角形（第2课时