2024-2025学年初中数学九年级上册（华师版）教案 第23章图形的相似23.3.2相似三角形的判定（第2课时）

第23章图形的相似23.3相似三角形2相似三角形的判定（第2课时）教学目标.掌握相似三角形的判定定理2.教学重难点重点：掌握相似三角形的判定定理2.难点：会运用相似三角形的判定定理2解决问题.教学过程复习巩固1.什么叫相似三角形？对应边成比例，对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.2.什么叫相似比？相似三角形对应边的比叫做相似比.3.判定三角形相似的方法：（1）平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.（2）判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.4.相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，对应角相等，相似比等于对应边的比.导入新课【问题】活动1（学生交流，教师点评）思考如图，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？图中△ADE与△ABC的一组对应边AD与AB的长度之比为13，点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE＝13AC时，△ADE∽△ADAB＝13，AEAC如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似吗？【答案】一定相似.学生交流，教师点评.教师引出课题：23.3相似三角形2相似三角形的判定（第2课时）探究新知探究点一相似三角形的判定2.活动2小组讨论（师生互学）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.已知：如图所示，△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，A′B′∶AB＝A′C′∶AC.求证：△ABC∽△A′B′C′.【探索思路】（引发学生思考）作辅助线，把△A′B′C′转移到△ABC，再运用平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.连结DE,则△ADE≌△A′B′C′.∵A′B′∶AB＝A′C′∶AC，∴AD∶AB＝AE:AC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ABC∽△A′B′C′.活动3（学生交流，教师点评）典例讲解（师生互动）例1如图所示，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，AE＝1.5，AC＝2，BC＝3，且ADAB＝34，∵AE＝1.5，AC＝2，∴，∵，∴.又∵∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）.∴.∵BC＝3，∴DE＝34【即学即练】（师生互动）如图所示，在△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，CE＝2.1，求证：△ADE∽△ABC.【证明】因为＝，＝＝，所以＝，而∠A＝∠A，所以△ADE∽△ACB.活动4【综合提升】（学生交流，教师点评）典例讲解（师生互动）例2如图所示，在正方形ABCD中，P是BC上的一点，且BP＝3PC，Q是CD的中点.求证：△ADQ∽△QCP.【探索思路】（引发学生思考）已知线段倍数关系转化为线段比例式，再根据线段的中点，得到线段的倍数之间关系，看能否得到对应线段成比例，若能成比例，再找夹角进而证明两个三角形相似.设正方形的边长为a.∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝BC＝CD＝a.∵Q是CD的中点，∴DQ＝QC＝12∵BP＝3PC，∴PC＝14∴

，∴＝.又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.【题后总结】（学生总结，老师点评）解决此类问题的关键是：（1）利用观察法和图形的性质找出隐含条件（对顶角、直角、公共边等）；（2）利用分析法找出边之间的比例关系.活动5（学生交流探讨）【拓展训练】如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连结EF并延长交BC的延长线于点G.（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长.（1）【证明】∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°.∵AE＝ED，∴＝.∵DF＝DC，∴＝，∴＝，∴△ABE∽△DEF.（2）∵四边形ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴＝.又∵DF＝eq\f(1,4)DC，正方形的边长为4，∴ED＝2，CG＝6，∴BG＝BC+CG＝4+6＝10.课堂练习1.如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（）A.AB2＝BC·BDB.AB2＝AC·BDC.AB·AD＝BD·BCD.AB·AD＝AD·CD2.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为（）A.3B.4C.5D.63.如图所示，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形.若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是（）A.①与②相似B.①与③相似C.①与④相似D.②与④相似4.如图所示，已知AD·AC＝AB·AE.求证：△ADE∽△ABC.5.如图所示，在△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，CE＝2.1，试判断△ADE与△ABC是否会相似，小丽同学的判断理由是这样的：解：∵AC＝AE+CE，而AC＝6，CE＝2.1，∴AE＝6-2.1＝3.9.∵ADAB∴△ADE与△ABC不会相似.你同意小丽同学的判断吗?请你说说理由.参考答案1.A2.C3.B4.【证明】∵AD·AC＝AE·AB，∴＝.在△ABC与△ADE中，∵＝，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE.5.-AA，∴△ADE∽△ABC.课堂小结（学生总结，老师点评）相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.如图所示，在△ABC与△A′B′C′中，∵＝且∠B＝∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'.布置作业教材第70页练习题第1（2）（3）题，第2题，第75页习题23.3第