2024-2025学年初中数学九年级上册（华师版）教案 第23章图形的相似23.3.1相似三角形

第23章图形的相似23.3相似三角形1相似三角形教学目标1.理解并掌握相似三角形的定义.2.掌握由平行线判定两个三角形相似.3.经历三角形相似的定义及由平行线判定两个三角形相似的探究过程.教学重难点重点：相似三角形的定义，由平行线判定两个三角形相似.难点：根据两个三角形相似求线段的长或角的度数.教学过程复习巩固1.什么叫相似多边形呢？两个边数相同的多边形，如果它们的各边对应成比例，各角对应相等，就称这两个多边形相似.2.什么叫相似比？相似多边形对应边的比叫做相似比.3.平行线分线段成比例基本事实可以得到结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.导入新课【问题1】活动1（学生交流，教师点评）【思考】1.（1）观察你与老师的直角三角尺，相似吗?（2）这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？（3）这两个三角形的三条对应边有什么关系？2.三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？【答案】1.（1）相似.（2）三个内角对应相等.（3）对应成比例.2.相似.教师：你能类似的给相似三角形下一个定义吗？教师引出课题：23.2相似三角形1相似三角形探究新知探究点一相似三角形活动2（学生交流，教师点评）1.相似三角形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.在相似多边形中，最简单的就是相似三角形，它们是对应边成比例、对应角相等的三角形.如图所示，在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，＝＝，此时△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，读作：△ABC相似于△A′B′C′.2.相似比：如果记，那么这个比值k就表示这两个相似三角形的相似比.【注意】对应线段写在对应的位置.探究点二相似三角形的性质【问题2】活动3（学生交流，教师点评）【思考】已知:△ABC∽△DEF，你能得到哪些结论？∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F；＝＝.【总结】相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例.探究点三由平行线判定两个三角形相似【问题3】阅读教材第62页“做一做”学生回答：这两个三角形相似.老师点评后，提出如何来验证此结论成立？探究：在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ABC与△ADE有什么关系？结论：△ABC∽△ADE.理由：过点E作EF∥AB交BC于点F，因为DE∥BC，EF∥AB，所以ADAB＝因为四边形DBFE是平行四边形，所以DE＝BF.所以DEBC所以ADAB因为∠A＝∠A，∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB.所以△ABC∽△ADE.活动4（学生交流，教师点评）【总结】平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.符号语言表示：如图所示，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC.活动5典例讲解（师生互动）例1如图，△ABC∽△AB′C′，∠A＝35°，∠B＝72°，求∠AC′B′的度数.【探索思路】（引发学生思考）已知相似三角形及2个角，如何运用相似三角形的定义求出未知的角度？∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝35°，∠B＝72°，∴∠C＝180°-35°-72°＝73°.∵△ABC∽△AB′C′，∴∠AC′B′＝∠C＝73°.【题后总结】（学生总结，老师点评）相似三角形的对应角相等.例2如图所示，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形共有多少对？【探索思路】（引发学生思考）利用相似三角形的预备定理解题.∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，∴△ADE∽△EFC，∴图中相似三角形共有3对.【题后总结】（学生总结，老师点评）解决此类问题一般运用“平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似”来解题.【即学即练】（学生独学）如图，在ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F.过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形共有多少对？图中相似三角形有△ABC∽△CDA，△AGE∽△ABC，△AFE∽△CBE，△BGE∽△BAF，△AGE∽△CDA，共5对.理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，BC＝DA，∠ABC＝∠D，AB＝CD，∴△ABC≌△CDA，即△ABC∽△CDA.∵GE∥BC，∴△AGE∽△ABC∽△CDA.∵GE∥BC，AD∥BC，∴GE∥AD，∴△BGE∽△BAF.∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE.课堂练习1.如图所示，点P是平行四边形ABCD边AB上一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A.0对B.1对C.2对D.3对2.如图所示，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，（1）请找出图中所有的相似三角形；（2）如果AD＝1，DB＝3，那么DG∶BC＝_____.3.如图所示，在△ABC中，DE∥BC，GF∥AB，DE、GF交于点Ｏ，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个?请你写出来.4.如图所示，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB.（1）求∠APB的大小；（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系.5.如图所示，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE//BC，DE＝5.求BC的长.参考答案1.D2.（1）△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC（2）1:43.与△ABC相似的三角形有3个

，分别是△ADE，△GFC，△GOE.4.（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝60°，∴∠A+∠APC＝60°.∵△ACP∽△PDB，∴∠APC＝∠B，∴∠A+∠B＝60°，∴∠APB＝120°.（2）∵△ACP∽△PDB，∴＝.∵△PCD是等边三角形，∴CD＝PC＝PD，∴CD2＝AC·BD.5.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴∴课堂小结（学生总结，老师点评）相似三角形的定义：对应边成比例，对应角相等的三角形是相似三角形.表示方法：相似用符号“∽”表示，读作“相似于”，如果△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.判断方法：平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.布置作业教材第63页练习题第1，2，3题.板书设计课