二次函数与一元二次方程课件

2.5二次函数与一元二次方程(1)北师大版九年级数学下册名师导学基础巩固0001CONTANTS目录能力提升02数学◆

名师导学◆返回目录知识点一

二次函数图象与x轴的交点个数和对应一元二次方程判别式之间的关系1.当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=

时自变量x的值,即一元二次方程

的根.

0ax2+bx+c=0

数学返回目录2.利用一元二次方程根的判别式

可以判断方程根的个数,同样也可以判断对应二次函数图象与x轴交点的个数.

当b2-4ac

0时,有两个交点;当b2-4ac

0时,有一个交点;当b2-4ac

0时,没有交点.

b2-4ac>=<数学返回目录▶▶

典型例题【例1】抛物线y=x2+2x-3与x轴两个交点间的距离是

(

)A.2

B.-2

C.4

D.-4思路点拨:令y=0,求出抛物线与x轴的交点坐标,即可求解.数学返回目录解析:令y=0,则x2+2x-3=0,解得:x1=-3,x2=1,∴抛物线与x轴两个交点为(-3,0)和(1,0),∴两个交点之间的距离为1-(-3)=4,故选C.答案:C数学返回目录▶▶

对应练习1.抛物线y=x2+4x+4与x轴的交点个数为

(

)A.0个B.1个C.2个D.3个B数学返回目录

D数学返回目录名师点拨:(1)熟练求得抛物线与x轴的交点坐标,对解题有很大的帮助.(2)通过判别式b2-4ac来判断交点的个数,也可以通过交点个数来判断b2-4ac的值,解题经常会用到.数学返回目录

x1x2数学返回目录▶▶

典型例题

数学返回目录解析:∵抛物线的对称轴为直线x=2,抛物线和x轴的一个交点坐标为(6,0),则根据函数的对称性,抛物线和x轴的另外一个交点坐标为(-2,0),则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=6或-2.答案:x1=6,x2=-2数学返回目录▶▶

对应练习3.二次函数y=2x2-8x+m的图象与x轴有两个交点,若其中一个交点的坐标为(-1,0),则另一个交点坐标为

(

)A.(-3,0)

B.(3,0)C.(5,0) D.(9,0)C解析:由二次函数y=2x2-8x+m得到对称轴是直线x=2,则抛物线与x轴的两个交点坐标关于直线x=2对称,∵其中一个交点的坐标为(-1,0),∴另一个交点的坐标为(5,0),故选C.数学返回目录4.已知抛物线y=(x-3)2+c经过点A(2,0),则该抛物线与x轴的另一个交点是

(

)A.(3,0)

B.(4,0)C.(-8,0) D.(-4,0)B数学返回目录

数学◆

基础巩固◆返回目录一、选择题1.已知二次函数y=x2-4x+3的图象与x轴有两个交点,若其中一个交点的横坐标为1,则另一个交点的横坐标为(

)A.-1

B.-2

C.2

D.3D数学返回目录2.抛物线y=x2+4x+5-m与x轴有两个不同的交点,则m的取值范围是(

)A.m<-1 B.0<m≤1C.m<1 D.m>1D数学返回目录3.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(2,0),则关于x的方程ax2+bx+c=0的解为(

)A.x1=-1,x2=2B.x1=-2,x2=1C.x1=1,x2=2D.x1=-1,x2=-2A解析:∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(2,0),∴方程ax2+bx+c=0的解为x1=-1,x2=2.故选A.数学返回目录二、填空题1.若抛物线y=x2+2x-m与x轴有公共点,则m的取值范围为

.

解析:∵抛物线y=x2+2x-m与x轴有公共点,∴22-4×1×(-m)≥0,解得m≥-1,故答案为m≥-1.m≥-1数学返回目录2.已知抛物线y=2x2+bx-1与x轴的交点坐标分别是(-3,0)和(2,0),那么关于x的一元二次方程2x2+bx-1=0的根是

.

x1=-3,x2=2

数学返回目录3.如图,已知y1=ax2+bx+c(a≠0)与y2=kx+b(k≠0)相交于A(-1,0),B(-4,3)两点,则y1>y2的x的取值范围是

.

解析:观察图象,可知抛物线y1与直线y2的交点横坐标是-4,-1,故当x<-4或x>-1时,y1>y2.x<-4或x>-1

数学返回目录三、解答题二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的顶点坐标为(1,4),与x轴交于点A(3,0)和B,与y轴交于点C.(1)求二次函数的解析式和点C的坐标;解:(1)∵二次函数图象的顶点是(1,4),∴设二次函数解析式为y=a(x-1)2+4,∵二次函数图象与x轴交于点A(3,0),数学返回目录∴a(3-1)2+4=0,解得a=-1,∴二次函数解析式为y=-(x-1)2+4,令x=0,则y=3,∴点C的坐标为(0,3).数学返回目录(2)一元二次方程ax2+bx+c=0的根为

.

数学◆

能力提升◆返回目录1.如图,是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,给出下列命题:①abc<0;②b>2a;③a+b+c=0;④8a+c>0;⑤ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1.其中正确的命题有(

)

A.2个B.3个C.4个D.5个C数学返回目录

数学返回目录2.已知二次函数y=x2-4x+m的图象与x轴的交点坐标分别为x1,x2,若x1+3x2=6,则m的值为(

)A.3

B.-3

C.2

D.-2A

数学返回目录3.如图,抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点A,与x轴的负半轴交于点B,点M是对称轴上的一个动点.连接AM,BM,当|AM-BM|最大时,点M的坐标是(

)

A.(1,4)B.(1,2)C.(1,-2)D.(1,-6)D数学返回目录

数学返回目录4.若关于x的函数y=kx2+2x-1的图象与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为

.

-1或0数学返回目录

数学返回目录

数学返回目录

数学返回目录

数学返回目录

数学返回目录6.如图,直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=a(x-2)2+k经过点A,B,并与x轴交于另一点C,其顶点为P.(1)求a,k的值;(2)抛物线的对称轴上有一点Q,使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形,求Q点的坐标;(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M,N,使以A,C,M,N为顶点的四边形为正方形,求此正方形的边长.数学返回目录

数学返回目录(2)设Q点的坐标为(2,m),对称轴x=2交x轴于点F,过点B作BE垂直于直线x=2于点E.在Rt△AQF中,AQ2=AF2+QF2=1+m2,在Rt△BQE中,BQ2=BE2+EQ2=4+(3-m)2,∵AQ=BQ,∴1+m2=4+(3-m)2,∴m=2,∴Q点的坐标为(2,2).数学返回目录

2.5二次函数与一元二次方程(2)北师大版九年级数学下册名师导学基础巩固0001CONTANTS目录能力提升02数学◆

名师导学◆返回目录知识点

利用二次函数图象求方程的近似解1.画出y=ax2+bx+c的图象,图象与x轴交点的横坐标就是对应方程ax2+bx+c=0的解。可以通过二次函数图象的交点求相应的一元二次方程的近似根、根的取值范围.2.确定一元二次方程的近似根,也可以用表格的形式通过夹逼法进行求得,表格中使y最接近0的x的值就是近似根.数学返回目录▶▶

典型例题【例1】如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,图象上有两点分别为A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54),则方程ax2+bx+c=0的一个解只可能是

(

)

A.2.18B.2.68C.-0.51D.2.45数学返回目录思路点拨:从图得,当函数值为0时,x的取值应在所给的自变量两个值之间.解析:∵图象上有两点分别为A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54),∴当x=2.18时,y=-0.51;x=2.68时,y=0.54,∴当y=0时,2.18<x<2.68,只有选项D符合,故选D.答案:D数学返回目录【例2】如下表给出了二次函数y=x2+2x-10中x,y的一些对应值,则可以估计一元二次方程x2+2x-10=0的一个近似解(精确到0.1)为

(

)A.2.2

B.2.3

C.2.4

D.2.5x…2.12.22.32.42.5…y…-1.39-0.76-0.110.561.25…数学返回目录思路点拨:“当x=2.3时,y=-0.11;当x=2.4时,y=0.56.”由于-0.11更接近于0即可得出结论.解析:当x=2.3时,y=-0.11;当x=2.4时,y=0.56.∵-0.11更接近于0,∴方程的一个近似根为2.3.故选B.答案:B数学返回目录▶▶

对应练习1.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根,作出如图所示的图象,并求得一个近似根x=-3.4,则方程的另一个近似根(精确到0.1)为

(

)

A.4.4B.3.4C.2.4D.1.4D数学返回目录2.若抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过第四象限的点(1,-1),则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是

(

)A.有两个大于1的不相等实数根B.有两个小于1的不相等实数根C.有一个大于1另一个小于1的实数根D.没有实数根C数学返回目录3.已知二次函数y=ax2+bx+c中x和y的值如下表,则ax2+bx+c=0的一个根的范围是

(

)A.0.10<x<0.11

B.0.11<x<0.12C.0.12<x<0.13 D.0.13<x<0.14Cx0.100.110.120.130.14y-5.6-3.1-1.50.91.8数学返回目录4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)中,函数y与自变量x的部分对应值如下表,则方程ax2+bx+c=0的一个近似根是

(

)A.3.17

B.3.18

C.3.19

D.不能确定x3.173.183.19y-0.03-0.010.02B数学返回目录名师点拨:(1)通过直接解一元二次方程得到的是方程的准确的根,通过观察图象得到的是方程的近似根、根的取值范围.(2)当确定出一元二次方程的一个近似根时,可以利用抛物线的对称性确定出另一个近似根.数学◆

基础巩固◆返回目录一、选择题1.如表中列出了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的一些对应值,则一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个近似解x1的范围是(

)A.-3<x1<-2

B.-2<x1<-1C.-1<x1<0 D.0<x1<1x…-3-2-101…y…-11-5-111…C数学返回目录2.下表是一组二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个近似根是x≈(

)A.1

B.1.1

C.1.2

D.1.3Cx11.11.21.31.4y-1-0.490.040.591.16数学返回目录3.二次函数y=2x2-3的图象是一条抛物线,下列关于该抛物线的说法,正确的是(

)A.抛物线的开口向下B.抛物线经过点(2,3)C.抛物线的对称轴是直线x=1D.抛物线与x轴有两个交点D数学返回目录二、填空题

1.如图,抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=kx+m的交点为A(1,-3),B(6,1).当y1>y2时,x的取值范围是

.

x<1或x>6数学返回目录2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象(如右图所示),

由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=

.

-3.3

数学返回目录

数学返回目录(2)抛物线与x轴有两个交点,理由如下:由(1)知,该抛物线解析式为y=x2-6x+2,令y=0,则x2-6x+2=0,∵Δ=62-4×1×2=28>0,∴关于x的一元二次方程x2-6x+2=0有两个不相等实数根,∴抛物线与x轴有两个交点.数学◆

能力提升◆返回目录1.二次函数y=-x2+mx的图象如图,对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)在1<x<5的范围内有解,则t的取值范围是(

)

A.t>-5B.-5<t<3C.3<t≤4D.-5<t≤4D数学返回目录1.解析:如图,关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标,由题意,可知m=4,当x=1时,y=3,当x=5时,y=-5,由图象可知关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)在1<x<5的范围内有解,直线y=t在直线y=-5和直线y=4之间包括直线y=4,∴-5<t≤4.故选D.数学返回目录2.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表,则下列判断中正确的是(

)A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴交于负半轴C.当x=3时,y>0D.方程ax2+bx+c=0的正根在2与3之间Dx…-1012…y…-5131…数学返回目录2.解析:∵由表可以得出当x=0或2时,y=1,可以求出此函数的对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,3),∴二次函数解析式为y=a(x-1)2+3,再将(0,1)点代入,得1=a(-1)2+3,解得a=-2,∴y=-2(x-1)2+3,∵a<0,∴抛物线开口向下,A项错误;∵y=-2(x-1)2+3=-2x2+4x+1,与y轴交点坐标为(0,1),故与y轴交于正半轴,B项错误;∵当x=3时,y=-5<0,C项错误;∵方程ax2+bx+c=0,Δ=16+4×2×1=22>0,此方程有两个不相等的实数根,由表知正根在2和3之间.故选D.数学返回目录3.若x1,x2(x1<x2)是方程(x-a)(x-b)=1(a<b)的两个根,则实数x1,x2,a,b的大小关系为