专题28.1特殊角的三角函数值（专项拔高卷）教师版

20232024学年人教版数学九年级下册同步专题热点难点专项练习专题28.1特殊角的三角函数值（专项拔高卷）考试时间：90分钟试卷满分：100分难度：较难一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（本题2分）（2023·北京海淀·校考模拟预测）在锐角中，若，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平方及绝对值的非负性可得，，由特殊角的三角函数值求得和，再由三角形内角和为即可解答；【详解】解：∵，∴，，∴，，∴在锐角中，，故选：A；【点睛】本题考查了平方及绝对值的非负性，锐角三角函数，三角形内角和定理；掌握特殊角的三角函数值是解题关键．2．（本题2分）（2020秋·上海杨浦·九年级校考阶段练习）中，，下列说法正确的是（

）A．的余切值为 B．的对边与邻边之比为C．的余弦值 D．的正弦值不确定【答案】D【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可．【详解】解：∵中，，∴的余切值为，∵不一定是直角三角形，∴的对边与邻边之比不一定为，的余弦值不一定为，的正弦值不确定故选：D．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握定义是解题的关键．3．（本题2分）（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，取格点D，连接，，则B在上，由，，，证明，可得．【详解】解：如图，取格点D，连接，，则B在上，

∵，，，∴，，，∴，∴；故选C【点睛】本题考查的是坐标与图形，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．4．（本题2分）（2023春·天津·九年级专题练习）计算的结果为（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可．【详解】解：故选：C．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．5．（本题2分）（2023·广东梅州·统考二模）已知实数，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求出各三角函数的值，然后比较他们的大小即可.【详解】解：，∵，∴，故选：A.【点睛】本题主要是考查特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握特殊角的所有三角函数值，所以要牢记特殊角的三角函数值，另外还考查了实数比较大小.6．（本题2分）（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）把一副三角尺如图所示拼在一起，其中边长是3，则的面积是（

）

A． B．4 C． D．【答案】C【分析】由特殊角三角函数值，在两直角三角形中，分别求得；如图，过点A作，交的延长线于点E，在中，求得，运用三角形面积公式求解．【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点E，中，，∴．中，，∴．中，．∴的面积是．故选：C．

【点睛】本题考查解直角三角形，特殊角三角函数值，添加辅助线，构建直角三角形求解线段是解题的关键．7．（本题2分）（2023秋·云南·九年级云南师范大学实验中学校考开学考试）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据矩形性质得出，推出则有等边三角形，即，然后运用余切函数即可解答．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∵，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、余切的定义等知识点，求出是解答本题的关键．8．（本题2分）（2023·河南新乡·统考三模）如图，直线与轴、轴分别交于点B，A，把绕点A顺时针旋转120°后得到，则的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】过点作于点C，交于点D，根据直线与轴、轴分别交于点B，A，确定，，利用旋转性质计算即可．【详解】过点作于点C，交于点D，∵直线与轴、轴分别交于点B，A，∴，∴，∵绕点A顺时针旋转120°后得到，∴，，∴四边形是矩形，∴，∴，

∴，故的坐标为，故选A．【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，三角函数，矩形的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握三角函数，矩形的判定和性质，旋转的性质，一次函数的性质是解题的关键．9．（本题2分）（2019秋·广东梅州·九年级广东梅县东山中学校考期末）在中，、都是锐角，且，，则是（

）.A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值求出，然后利用三角形内角和定理求出的度数，即可解答．【详解】解：∵，，∴，∴，∴是等边三角形，故选：B．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．10．（本题2分）（2023·福建厦门·统考模拟预测）中，，是的外接圆，于点，关于点对称得到．若线段与有两个公共点，则满足的条件是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意画出图形，考虑临界状态，当与切于点时，求出，得到．此时，线段与有且只有一个公共点；再找到第二个临界状态，当点E与点C重合，线段与有两个公共点，求得，再观察图形运动则问题可解．【详解】解：如图，当与切于点时，此时线段与有且只有一个公共点，

连接，，∴∵是的外接圆，于点，∴为直径，，∴，∵关于点对称得到，∴，∴，∴；当从点在中点时，由题意可知，，为等腰直角三角形，∴，∴；此时，点E与点C重合，线段与有两个公共点，此时当点继续逆时针向点运动时（不与重合），线段与有且只有一个公共点，

综上，线段与有两个公共点时，满足的条件是．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的外接圆、切线的性质圆周角定理和求特殊角三角函数值，解答关键是分析图中点的运动趋势，找到临界状态，再进行合情推理．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（本题2分）（2023春·湖北随州·九年级校联考阶段练习）如图，与圆相切于点，线段与弦垂直，垂足为点，，则．

【答案】/60度【分析】先根据垂径定理得到，再根据正弦的定义可求出，然后根据切线的性质得到，最后利用互余可计算出的度数．【详解】解：，∴，．在中，，．与圆相切于点，，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查切线的性质，垂径定理，锐角三角函数的应用．熟练掌握圆的相关知识点是解题关键．12．（本题2分）（2023春·辽宁铁岭·九年级统考开学考试）如图，一块含有的直角三角板的直角顶点和坐标原点O重合，角的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，则k的值为．

【答案】【分析】过作于点，过作于点，即可得证，再根据相似三角形的性质得到和利用特殊角的正切值得出，然后设点的坐标为，继而根据反比例函数图像上点的特征得到，再次利用反比例函数图像上点的特征即可求得答案．【详解】解：过作于点，过作于点，如图：

∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴设点的坐标为，则，∴，，∴，∵在反比例函数的图象上，∴，∵点在反比例函数的图象上，∴．故答案是：【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、相似三角形的判定和性质、特殊的锐角三角函数值，能够求得是解题的关键．13．（本题2分）（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，，直线分别交于M，N两点，将一个含有角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若，则的余弦值为．

【答案】【分析】根据平行线的性质和特殊角的锐角三角函数求解即可．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质和特殊角的锐角三角函数，灵活运用所学知识是关键．14．（本题2分）（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图1，玉带桥拱高而薄，形若玉带，弧形的线条十分流畅．如图2，桥拱关于水面反射的影子经过孤所在的圆心O，已知水面宽米，则水面与该桥拱的最高点P之间的距离是米，在离水面相同高度的C，D处安装两盛景观灯，若点C是的中点，则点C离水面的距离是米．

【答案】【分析】连接，，，，交于点，交于点．由题意证明是等边三角形，再利用勾股定理求出的值，根据特殊角的三角函数求出的值，由即可求出答案．【详解】如图所示：

连接，，，，交于点，交于点由题可知关于水面AB反射的影子经过孤所在的圆心O，为等边三角形在中，，C是的中点在中，综上所述，水面到最高点P之间的距离是米．C离水面AB的距离是米．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质以及特殊角的三角函数等知识点，运用到了数形结合的数学思维，解题的关键在于学会添加辅助线，构造特殊三角形．15．（本题2分）（2023·江苏·统考二模）在平面直角坐标系中，已知，，点是直线上的一点，连接、．当在一定范围内取值时，直线上总存在点，使得，则此时的取值范围为．【答案】且【分析】先确定点，点的位置，并连接，过点作轴于，交轴于，作关于的对称点，连接，过点作交轴于，过点作交轴于，解出所在直线的解析式，再证明，由此解出直线，直线的解析式，由此即可求解．【详解】解：根据题意，在平面直角坐标系中标出点，点，连接，作图如下，过点作轴于，交轴于，作关于的对称点，连接，过点作交轴于，过点作交轴于，则，直线和直线是符合条件的直线，理由如下，

设过点，点的直线方程为，∴，解得，，∴所在直线的解析式为，∵，∴直线，直线是符合条件的直线，∵，，轴，∴，∴，在中，，且，∴，则，∵，∴，且，∴，∴，把代入得，，∵点与点关于对称，∴，，∵，∴，，∴是等边三角形，∴，则，∴，把代入得，∵点不能与点重合，∴，∴的取值范围为且．【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像的性质，几何图形的性质，特殊角的三角函数，勾股定理等知识是解题的关键．16．（本题2分）（2023·湖北荆州·统考模拟预测）计算：．【答案】1【分析】先用负整数次幂、零次幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值的知识化简，然后再计算即可．【详解】解：．故答案为1．【点睛】本题主要考查了负整数次幂、零次幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．17．（本题2分）（2023·河南周口·校考一模）如图，在矩形中，E为射线上一点，将沿翻折，使点B落在点F处，若，则BE＝．【答案】4或12【分析】注意本题应分类讨论，①当点E在上时，连接，作于G，根据已知条件可求得，可证，从而可知是等边三角形，可得，即可求解．②当点E在的延长线上时，作，交的延长线于G，根据已知条件可求得，可知，进而可证是等边三角形，利用三角函数即可求解．【详解】如图1，当点E在上时，连接，作于G，∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴∴∴，由折叠得，，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，如图2，当点E在的延长线上时，作，交的延长线于G，∴，∵∵∴∴，∴，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，故答案为：4或12．【点睛】本题考查了折叠的性质、三角函数、三角形全等的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．18．（本题2分）（2023·福建福州·校考模拟预测）如图，点A是双曲线在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一个分支于点B，以AB为底作等腰且，点C在第一象限，随着点A的运动，点C始终在双曲线上运动，则．【答案】【分析】根据题意得出，得出，根据的几何意义即可求解．【详解】解：如图所示，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，点C在第一象限，随着点A的运动，点C始终在双曲线上运动，连接并延长交另一分支于点，以为底作等腰，且，，，则，，，又，，，，点是双曲线在第二象限分支上的一个动点，，，即，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，特殊角的正切值，正确添加辅助线，得出是解题关键．19．（本题2分）（2023·重庆·模拟预测）如图，在中，，，内切圆半径为，将绕点C逆时针方向旋转得，连接交于点M，则点M到与点M到的距离之比为_____．【答案】【分析】过点O作交于点N，过点O作交于点H，由题意可得，，，，，即，再根据旋转的性质得到是等边三角形，最后由特殊角的锐角三角函数值，可得比值为．【详解】解：如图，过点O作交于点N，过点O作交于点H，在中，，内切圆半径为，，，，，，，，，，，，，，，，点O为内切圆圆心，，．绕点C逆时针方向旋转得，是等边三角形，，，，点M到的距离为：，点M到的距离为：，点M到与点M到的距离之比为：，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形内切圆的定义与性质，图形旋转性质以及特殊角的三角函数值，熟练运用相关几何性质是解题的关键．20．（本题2分）（2023·河南商丘·校考一模）如图，在中，，，，E为的中点，P为线段上的一个动点，连接，将沿折叠得到，A的对应点为，连接，若与的直角边垂直，则的值为．【答案】或【分析】分两种情形，运用勾股定理计算即可．【详解】解：∵，，，∴，，∵E为的中点，∴，当时，如图．∴，，由翻折可得，设，则，在中，由勾股定理可得，解得（舍去），∴，∴，∴，当时，如图．∵，，，∴，，，，∵E为的中点，∴，∴，，由翻折性质可得，∴，设，则，在中，由勾股定理可得，解得（舍去），∴，∵，∴，∴，解得，∴，

∴，∴的值为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，特殊角的函数值，三角形中位线定理，平行线方程的成比例定理，熟练掌握折叠性质，特殊角的函数值，勾股定理是解题的关键．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（本题6分）（2023春·湖南岳阳·九年级统考开学考试）计算：．【答案】．【分析】根据特殊角的三角函数值，二次根式的化简，非实数的次幂及绝对值的性质计算．【详解】解：原式；

=．【点睛】此题考查了实数运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值，正确化简各数是解题的关键．22．（本题6分）（2023春·四川内江·九年级统考阶段练习）计算：．【答案】【分析】利用负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的化简，绝对值的化简计算即可．【详解】．【点睛】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的化简，绝对值的化简，熟练掌握公式和特殊角的函数值是计算的关键．23．（本题8分）（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）计算：(1)；(2)先化简，再求值：，其中．【答案】(1)(2)，【分析】（1）先根据零指数幂运算法则、特殊角的三角函数值、绝对值得性质以及负整数指数幂运算法则进行计算，再进行加减运算即可；（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式，当时，原式．【点睛】本题主要考查了实数混合运算、分式化简求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．24．（本题8分）（2023·山东·九年级专题练习）如图，已知是的直径，，切于点B，过点C作交于点F，．

(1)如图1，连接，求证：；(2)如图2，N是上一点，在上取一点M，使，连接．请问：三条线段，，有怎样的数量关系？并证明你的结论．【答案】(1)见详解(2)，理由见详解【分析】（1）根据，是半径，可得是的切线，根据是的切线，由切线长定理可得，进而根据，得出，，根据得出，根据垂径定理的推论得出，进而得出，根据含的直角三角形的性质，得出，即可证明；（2）延长至H使得，连接，，根据圆内接四边形对角互补得出，证明，结合已知条件证明，得出，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵，是半径，∴是的切线，∵是的切线，∴，∵，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∵是直径，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）解：，理由如下：延长至H使得，连接，，如图2所示，

∵，，∴，∵，，∴，∴，，由（1）可得，∵是直径，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题属于圆的综合题，考查了切线的判定，切线长定理，垂径定理的推论，全等三角形的性质与判定，根据特殊角的三角函数值求角度，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．25．（本题8分）（2023·山西晋中·校联考模拟预测）计算：(1)计算：(2)先化简，，然后选取一个适当的、你喜欢的整数代入求值．【答案】(1)(2)，当时，原式【分析】（1）先将负整数幂，0次幂，特殊角度的锐角三角函数化简，再进行计算即可；（2）先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，最后根据分式有意义的条件，选择符合条件的a的值代入计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：，∵∴，当时，原式．【点睛】本题主要考查了特殊角度的三角函数值的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握相关运算顺序和运算法则，以及熟记各个特殊角度的三角函数值．26．（本题8分）（2023·全国·九年级专题练习）在中，，，点D为线段AB上一动点，连接．

(1)如图1，若，，求线段的长；(2)如图2，以为边在上方作等边，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G．若，求证：；(3)在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点M为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到．连接，点P为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）在中，由，，可得，，即得；（2）取的中点O，连接，证明为等边三角形，得，，可得，有，故，在上截取，连接，可证，得，，有，，可得，知，，从而，；（3）取的中点S，连接，在取得最小值时，，设，则，，用面积法得,，证明,知，根据将沿BM所在直线翻折至所在平面内得到，有，故N的运动轨迹是以B为圆心，a为半径的圆，又，故P的运动轨迹是以S为圆心，为半径的圆，当最大时，C，P，S三点共线，过P作于T，过N作于R，可得是等边三角形，，，而，可求得，，，连接交于W，根据将沿所在直线翻折至所在平面内得到，知，故即，是的中位线，同理可得是的中位线，即可得，，根据将沿所在直线翻折至所在平面内得到，得，，有，即得，从而，．【详解】（1）解：在中，，，，，，，在中，，，，，，；（2）证明：取的中点O，连接，如图：

在中，点O为斜边的中点，，，为等边三角形，，，，为等边三角形，，，，即，，在和中，，，，，，在上截取，连接，点F是的中点，．在和中，，，，，，，，又，，，，；（3）解：取的中点S，连接，如图：

在取得最小值时，，设，则，，，，，是等边三角形，，，，，，，∵将沿所在直线翻折至所在平面内得到，，N的运动轨迹是以B为圆心，a为半径的圆，点P为的中点，S为的中点，，∴P的运动轨迹是以S为圆心，为半径的圆，当最大时，C，P，S三点共线，过P作于T，过N作于R，如图：

S是中点，，，是等边三角形，，，，，，，，连接交于W，如图：

将沿所在直线翻折至所在平面内得到，，，，即，为中点，是的中位线，，同理可得是的中位线，，，，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，，，，，，，．【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，对称变换，最短路径等知识，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形和全等三角形解决问题．27．（本