专题18二次函数图像与系数关系（选择题填空题）

2023年八升九数学暑假培优计划专题18二次函数图像与系数关系（选择题+填空题）一、单选题1．如图，二次函数y=ax2+bx+①abc>0②7a③若2，y1，4，y④对于图象上的两个不同的点m，n，1，⑤关于x的方程ax其中，不正确的结论有（）个．

A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】根据抛物线的开口方向以及对称轴的位置、与y的交点位置即可判断①；求得抛物线与x轴的另一个交点为3，0，得到7a+c=-2b，代入即可判断②；根据抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大即可判断③；根据函数的最大值可判断④；根据方程根的判别式即可判断【详解】解：对称轴为x=1，即-b根据抛物线开口向下，得a<0，∴b=-2a>0，根据图象得c>0，∴abc<0，原说法不正确，故①符合题意；∵对称轴为x=1，抛物线与x轴的一个交点坐标为-1∴另一个交点为3，∴9a+3b+c=0，即7a+c=-2a-3b=-2a-3b=-2b，∴7a-3b+c=-5b<0，原说法正确，故②不符合题意；点2，y14，y2-1，y∵抛物线开口向下．∴y1>y∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，∴当x=1时，函数有最大值为k，∴对于图象上的两个不同的点m，n，1，原说法正确，故④不符合题意；∵抛物线与x轴的一个交点坐标为-1∴a-b+c=0，即a=b-c，关于x的方程ax2+bx+c=b∴Δ=b∴关于x的方程ax原说法正确，故⑤不符合题意；综上，①③符合题意；故选：B．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正确掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．2．如图，直线x=1是二次函数y=ax2+bx+ca≠0A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④【答案】B【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置可判断结论①；由对称轴x=1及对称轴公式可判断结论②；抛物线的对称轴直线x=1，由x=-1时，y<0，即可判断结论③；由x=2时，y>0，即可判断结论④．【详解】解：①∵开口向下，∴a<0，∵对称轴在y轴右侧，∴-b∴b>0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc<0，故结论错误；②∵对称轴为直线x=1，∴-b∴2a+b=0．故结论正确；③∵2a+b=0，∴b=-2a，∵当x=-1时，y=a-b+c<0，∴a-(-2a)+c=3a+c<0，故结论不正确；④当x=2时，4a+2b+c>0，故结论正确；综上所述，正确的结论是②④．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与y轴交点，函数增减性并会综合运用是解决本题的关键．3．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-1，且过点1，0顶点位于第二象限，其部分图象如图所示给出以下判断：①ab>0，且c<0；②4a-2b

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据二次函数的图象和性质一一判断即可．【详解】∵抛物线对称轴x=-1，经过点1，∴-b2a=-1∴b=2a，∵a<0，∴b<0，∴ab>0且c>0，故①错误，∵抛物线对称轴x=-1，经过1，∴-3,0和1∴x=-2时，y>0，∴4a-2b+c>0，故②正确，∵抛物线与x轴交于-3,0∴x=-4时，y<0，∴16a-4b+c<0，∵b=2a，∴16a-8a+c<0，即8a+c<0，故③错误，∵c=-3a=3a-6a，b=2a，∴c=3a-3b，故④正确，∵直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c∴方程ax2+∴x1+x2∴x1+x2+x1故选：C．【点睛】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4．如图，抛物线y=ax2+bx+①abc<0；②4a-2b+c<0；③a其中，正确结论的个数是（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据x=-2时判定②，由抛物线图像性质判定④．【详解】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab<0，而c>0，故abc<0，故正确；②x=-2时，函数值小于0，则4a-2b+c<0，故正确；③与x轴交于点-1,0和点2,0，则对称轴x=-b2a=-1+22④当x<0时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而增大．故④错误；综上所述，正确的为①②③，有3个．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．5．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-1，顶点位于第二象限且过点1,0，小明同学得出了以下结论：①ab>0且c

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据开口向下得到a<0，根据对称轴x=-1得到-b2a=-1，即b=2a<0，根据图像与y轴交于正半轴得到c>0，即可判断①，根据对称轴得到1,0的对称点结合性质即可判断②，结合b=2a<0根据性质直接可判断③，结合1,0【详解】解：由图像可得，a<0，-b∴b=2a<0，∵图像与y轴交于正半轴得到c>0，∴ab>0，c>0，故①错误；∵图像过点1,0，对称轴为x=-1，∴图像过(-3,0)，∵-1>-2>-3，a<0∴4a-2b+c>0，故②正确；∵2>1>-1，a<0，∴4a+2b+c<0，∴8a+c<0故③错误；∵图像过点1,0，∴a+b+c=0，∴c=-a-b=-3a=3a-3b，故④正确，故选B；【点睛】本题考查根据抛物线图像判断各个式子的符号，解题的关键是看懂图像，熟练掌握各个性质．6．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点在第四象限，对称轴是直线x=3，过第一、二、四象限的直线y=kx-4k（k是常数）与抛物线交于x轴上一点．现有下列结论：①ck>0；②c

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】C【分析】①分别判定出k<0，c>0，即可得出ck<0，得出①错误；②根据一次函数解析式和抛物线对称轴，求出抛物线与x轴的一个交点为(2,0)，得出4a+2b+c=0，根据抛物线的对称轴为x=3，得出-b2a=3，求出b=-6a，得出4a+2×③根据4a+2b+c=0，k<0，得出4a+2b+c-5k>0，判断③正确；④根据题意得出-4k=c，即k=-c4，由②得c=8a，从而得出k=-⑤当x=3时，抛物线取得最小值，最小值为：y=9a+3b+c，当x=m时，代入y=ax2+bx+c得am2【详解】解：①直线y=kx-4k（k是常数）的图象过一、二、四象限，∴k<0，∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c>0，∴ck<0，故①错误；②∵y=kx-4k=k(x-4),令x=4得y=0，∴直线y=kx-4k与x轴交点为(4,0)，∴抛物线与y=kx-4k也交于(4,0)，∵抛物线的对称轴为x=3，∴抛物线与x轴的另一个交点为(2,0)，把(2,0)代入y=ax2+bx+c∵抛物线的对称轴为x=3，∴-b解得：b=-6a，∴4a+2×-解得：c=8a，故②错误；③由②知，抛物线过点(2,0)，∴4a+2b+c=0，∵k<0，∴4a+2b+c-5k>0，故③正确；④根据题意知，当x=0时，直线与抛物线的y值相等，∴-4k=c∴k=-c由②得c=8a，∴k=-c4=-⑤当x=3时，抛物线取得最小值，最小值为：y=9a+3b+c，当x=m时，代入y=ax2+bx+c即a∴mam+b≥9a+3b，故综上分析可知，正确的结论有3个，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．7．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(3,0)，对称轴为直线x=1，给出以下结论：①abc<0；②3

A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④【答案】C【分析】根据二次函数的图象与性质依次判断即可得出结果．【详解】解：①由图象可知：a<0,c>0，由对称轴可知：-b∴b>0，∴abc<0，故①正确；②由对称轴可知：-b∴b=-2a，∵抛物线过点(3,0)，∴0=9a+3b+c，∴9a-6a+c=0，∴3a+c=0，故②正确；③当x=1时，y取最大值，y的最大值为a+b+c，当x取全体实数时，ax即ax2+bx≤a+b④M-0.5,y1关于对称轴∴y1=y故选C．【点睛】本题考查二次函数的基本性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．8．如图是抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a①抛物线与x轴的另一个交点是-1,0②关于x的方程ax③xax其中，正确结论的个数是(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点，从而判断①是否正确；根据抛物线与直线y=4只有一个公共点，可以判断②是否正确；根据顶点A1,4可知当x=1时y有最大值可以判断③【详解】解：由题意得：抛物线的对称轴是直线x=1，∵抛物线与x轴的另一个交点与点B3,0关于对称轴即直线x=1∴抛物线与x轴的另一个交点是-1,0故①正确②∵抛物线与直线y=4只有一个公共点，∴关于x的方程ax即关于x的方程ax故②正确③∵抛物线的顶点坐标是A∴当x=1时，y有最大值，即ax∴xax+b故③正确故正确的有：①②③，共3个故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，一元二次方程与二次函数的关系，牢记二次函数对称性和最值，一元二次方程与二次函数的关系是解题的关键．9．如图，已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OB=OC，对称轴为直线x=-1，则下列结论：①abc<0；②A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可得a、b、c的取值范围，由此可判断①；根据b=-2a结合抛物线对称性对②进行判断；当x=-1时，函数有最小值可判断③；由OB=OC可得B的坐标，代入解析式由点B坐标结合对称轴可得点A坐标，据此可判断④．【详解】∵抛物线开口向上，∴a>0，∵抛物线的对称轴为直线x=-b∴b=-2a>0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c<0，∴abc<0，所以①正确；根据对称性可知，当x=-2和x=0时函数值相等，且为负值，即4a-2b+c<0，所以②错误；当x=-1时，有最小值y=a-b+c，当x=m时，函数值y=am∵m≠-1∴a-b+c<am即a-b<am2+bm∵点C(c，0)B(-c,0)，又∵对称轴为直线x=-1，∴A(c-2,0)，∴c-2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0综上正确的有3个，故选B．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合的思想．10．抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴为直线x=1，给出下列结论：①ac>0；

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】开口方向，与y轴的交点位置，确定a,c的符号，判断①；与x轴的交点个数，判断②；对称轴判断③；对称性和特殊点判断④，⑤，即可得出结论．【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴的交点在正半轴上，∴a<0,c>0，∴ac<0；故①错误；∵抛物线与x轴由2个交点，∴b2-4ac>0∵对称轴为x=-b∴b=-2a，∴2a+b=0，故③错误；∵抛物线过点3,0，3,0关于对称轴的对称点为：-1,0∴a-b+c=0；故④正确；由图象可知：当x=-2时，函数值小于x=-1时的函数值0，即：4a-2b+c<0，故⑤错误；综上，正确的有2个；故选A．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题11．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且①abc<②若抛物线上两点坐标分别为-2,y1，2,③b2④3a其中正确的结论有____（填序号即可）．

【答案】①③④【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点可确定a、b、c的正负，即可判定①；通过判定两点是否关于对称轴对称可判定②；根据a、c的正负可判定-4ac>0，进而判定③；将-1,0代入解析式可得a-b+c=0再结合b=-2a即可判定【详解】解：∵抛物线的开口方向向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc<0，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，点-2,y∴y1≠y∵a<0，c>0，∴-4ac>0∴b2-4ac=∵抛物线与x轴的一个交点为-1,0∴a-b+c=0，∴a--即3a+c=0，故④正确，故答案为①③④．【点睛】本题主要考查二次函数图像与系数之间的关系、二次函数图像上点的坐标特征等知识点，熟练掌握二次函数图像与系数之间的关系是解题关键．12．二次函数y=ax2+bx+ca≠0的大致图象如图所示，顶点坐标为（-2，-9a），下列结论：①abc>0；②16a-4b+c<0；③若方程ax2+bx

【答案】②③④【分析】根据抛物线图象判断参数符号判断①，由顶点坐标可得b=4a，c=-5a，进而判断②；由方程ax2+bx+c=-1有两个根x1和x2，且x1<x2【详解】∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴的左侧，交y轴的负半轴，∴a>0，b>0，c<0，∴abc<0，故①错误；∵抛物线的顶点坐标（-2，-∴-b2a=-2∴b=4a，c=-5a，∴16a-4b+c=16a-16a-5a=-5a<0，故②正确；∴抛物线的解析式为y=ax当y=0时，ax解得：x1=-5，∴抛物线y=ax2+4ax-5a交x轴于（-5，0），（∵若方程a(x+5)(x-1)=-1有两个根x1和x2，且∴-5<x1∵抛物线与y轴的交点在（0，-2）与（0，-∴-3<c<-2∵c=-5a，∴-3<-5a<-2解得：25<a<3综上所述：正确的结论为②③④故答案为：②③④【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+ca≠0，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b13．二次函数y=ax2+bx+ca≠0的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=-12，且与x轴的一个交点坐标为-2,0．下列结论：①abc<0

【答案】①④【分析】根据抛物线的开口向上，与y轴的交点位于y轴负半轴可得a>0,c<0，再根据对称轴可得b=a>0，由此即可判断①；根据当x=-1时，y<0即可判断②；将点-2,0代入二次函数的解析式可得4a-2b+c=0，再根据b=a即可判断③；根据直线y=1与二次函数y=ax2【详解】解：∵抛物线的开口向上，与y轴的交点位于y轴负半轴，∴a>0，c<0，∵二次函数y=ax2+bx+c∴b=a>0，∴abc<0，结论①正确；∵当x=-1时，y<0，∴a-b+c<0，结论②错误；将点-2,0代入y=ax2∵b=a，∴4a-2b+c=4a-2a+c=2a+c=0，结论③错误；由函数图象可知，二次函数y=ax2+bx+c∴直线y=1与二次函数y=ax∴关于x的方程ax2+bx+c=1，即a故答案为：①④．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是正确地由图象得出a,b,c14．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，且关于x的一元二次方程ax2+bx

【答案】①③④【分析】由抛物线与x轴有两个不同交点，可判断①；根据抛物线的开口方向、对称轴及与y轴交点的位置，可得出a>0、b<0、c<0，进而即可得出abc>0，即可判断②；由抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-3有一个交点，即可判断③；由a>0、b=-2a，可得出3a+b=a>0【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ=b2-∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，与y轴交于负半轴，∴a>0，-b2a=1，c<0∴b=-2a<0，∴abc>0，②错误；∵方程ax∴m<-3，③正确；∵a>0，b=-2a，∴3a+b=a>0，④正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及抛物线与x轴的交点，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．15．如图，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象的顶点坐标为1，n，则以下五个结论中：①abc>0，②2

【答案】②④⑤【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴以及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，即可得到答案．【详解】解：①抛物线开口方向向下，则a<0，抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即抛物线与y轴交于正半轴，则c>0，∴abc<0，故①错误；②∵抛物线对称轴为直线x=-b∴b=-2a，即2a+b=0，故②正确；③由交点的位置可得：c>1，∵a<0，∴c>1+a，∴4ac<4a+4a∵b=-2a，∴b∴4ac<4a+b2，故④由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c，此时点-1∴a-b+c<0，∵b=-2a，∴3a+c<0，故④正确；⑤∵方程ax∴Δ=b∴b∵方程为ax∴Δ==4a=4ac-4an-4ac-4a+4an=-4a>0，∴方程为ax2+bx+c+1=n综上所述，正确的为②④⑤，故答案为：②④⑤．【点睛】本题主要考查二次函数与系数a、b、c相关代数式的判断问题，会利用对称轴的范围求16．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(12,0)，对称轴为直线x=-1，下列5个结论：

【答案】②④/④②【分析】根据二次函数图像和系数的关系即可求出答案．【详解】解：根据图象可知：①抛物线开口向上，故a>0；对称轴为直线x=-1<0，即-b2a<0，故b>0；抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，则x1⋅x2②将(12,0)代入抛物线解析式可得：14a+③根据不等式的性质将其整理为a-b+c≥am2-bm+c，因为抛物线开口向上，故当x=-1时，抛物线有最小值，为a-b+c，即抛物线上任意一点的纵坐标均≥a-b+c，即④对称轴为直线x=-b2a=-1，即a=12b，当x=1时，y=a+b+c>0，即⑤对称轴为直线x=-b2a=-1，即b=2a，故2a-b=0故答案为：②④．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，灵活的应用图象中给出的数据，把握住特殊点的作用是这类题的解题关键点．17．如图，是抛物线y1=ax2+bx+ca≠0图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A①2a+b=0；②abc>0；③抛物线与x轴的另一个交点是4,0；④方程ax2+bx+其中正确的是______．【答案】①④【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系，利用数形结合，一一判断即可；【详解】解：①由抛物线对称轴为直线x=-b2a=1，从而b=-2a，则2a+b=0②抛物线开口向下，与y轴相交与正半轴，则a<0，c>0，而b=-2a>0，因而abc<0，故②错误；③由抛物线对称性，与x轴的一个交点B4，0，则另一个交点坐标为-④方程ax2+bx+c=-3从函数角度可以看作是y=ax2+bx+c与直线y=-3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为1⑤由图象可知，当x=-1时，y1=a-b+c>0；当x=4时，y2=4m+n=0，所以y1⑥由图象可知，当x<1或x>4时，一次函数图象在二次函数图象上方，所以y2>y1，即mx+n>ax2+bx+c，所以mx+n>a故答案为：①④．【点睛】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解题的关键是利用数形结合方法解答．18．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①a+b+c<0；②a-【答案】①②③⑤【分析】①根据x=1时，y<0，可以判断①正确；②根据x=-1时，y>1，可以判断②正确；③根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴的位置，判断出a、b、c的符号，即可判断③正确；④根据函数图象，先判断出x=-2时，y>0，即可判断出④错误；⑤先根据抛物线的对称轴得出b=2a，再根据x=2时，y<0，即可判断⑤正确．【详解】解：①根据图像可知，x=1时，y<0，∴a+b+c<0，故①正确；②根据函数图像可知，x=-1时，y>1，∴a-b+c>1，故②正确；③∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线与y轴的交点为0,1，∴c>0，∵对称轴在y轴的左侧，∴-∴b<0∴abc>0，故③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴右边的交点在原点与1,0之间，∴抛物线与x轴左边的交点在-2,0与-∴x=-2时，y>0，∴4a-2b+c>0，故④错误；⑤∵抛物线的对称轴为直线x=-1，∴-b∴b=2a，∵x=2时，y<0，∴4a+2b+c<0，∴4a+2×2a+c<0，即8a+c<0，故⑤正确；综上分析可知，一定成立的是①②③⑤．故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；a还可以决定开口大小，一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．19．二次函数y=a