新高考数学专题复习专题12圆锥曲线中的三角形问题专题练习(学生版+解析)

专题12圆锥曲线中的三角形问题一、题型选讲题型一、由面积求参数或点坐标等问题例1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）抛物线（）的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于点M，N（点N在轴上方），点E为轴上F右侧的一点，若，，则（）A．1 B．2 C．3 D．9例2、（2020·浙江高三）如图，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作斜率为的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为_____．例3、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记与的面积分别为S1，S2，若，求点M的坐标．题型二、与面积有关的最值问题例4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）过点斜率为正的直线交椭圆于，两点.，是椭圆上相异的两点，满足，分别平分，.则外接圆半径的最小值为（）A． B． C． D．例5、【2020年新高考全国Ⅱ卷】已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.例6、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.例7、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知，是椭圆的左右焦点，且椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，当直线过时周长为8.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，是否存在定圆，使得动直线与之相切，若存在写出圆的方程，并求出的面积的取值范围；若不存在，请说明理由.例8、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于，两点，点在准线上的投影为，若是抛物线上一点，且.（1）证明：直线经过的中点；（2）求面积的最小值及此时直线的方程.二、达标训练1、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）设是椭圆的两个焦点，是C上一点，且满足的面积为则的取值范围是____.2、【2018年高考全国I理数】已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则A． B．3C． D．43、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线：和直线：，是直线上一点，过点做抛物线的两条切线，切点分别为，，是抛物线上异于，的任一点，抛物线在处的切线与，分别交于，，则外接圆面积的最小值为______.4、（2020届浙江省嘉兴市5月模拟）设点为抛物线上的动点，是抛物线的焦点，当时，．（1）求抛物线的方程；（2）过点作圆：的切线，，分别交抛物线于点．当时，求面积的最小值．5、（2020届浙江省绍兴市4月模拟）如图，已知点，，抛物线的焦点为线段中点.（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线交抛物线于两点，，过点作抛物线的切线，为切线上的点，且轴，求面积的最小值.6、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）如图，已知抛物线的焦点为.若点为抛物线上异于原点的任一点，过点作抛物线的切线交轴于点，证明：.，是抛物线上两点，线段的垂直平分线交轴于点(不与轴平行)，且.过轴上一点作直线轴，且被以为直径的圆截得的弦长为定值，求面积的最大值.专题12圆锥曲线中的三角形问题一、题型选讲题型一、由面积求参数或点坐标等问题例1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）抛物线（）的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于点M，N（点N在轴上方），点E为轴上F右侧的一点，若，，则（）A．1 B．2 C．3 D．9【答案】C【解析】设准线与x轴的交点为T，直线l与准线交于R，，则，，过M，N分别作准线的垂线，垂足分别为，如图，由抛物线定义知，，，因为∥，所以，即，解得，同理，即，解得，又，所以，，过M作的垂线，垂足为G，则，所以，解得，故.故选：C.例2、（2020·浙江高三）如图，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作斜率为的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为_____．【答案】【解析】作点B关于原点的对称点B1，可得S，则有，所以．将直线AB1方程，代入椭圆方程后，，整理可得：（b2+8a2）y2﹣4b2cy+8b4＝0，由韦达定理解得，，三式联立，可解得离心率．故答案为：．例3、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记与的面积分别为S1，S2，若，求点M的坐标．【解析】（1）椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则.所以的周长为.（2）椭圆的右准线为.设，则，在时取等号.所以的最小值为.（3）因为椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，，则.所以直线设，因为，所以点到直线距离等于点到直线距离的3倍.由此得，则或.由得，此方程无解；由得，所以或.代入直线，对应分别得或.因此点的坐标为或.题型二、与面积有关的最值问题例4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）过点斜率为正的直线交椭圆于，两点.，是椭圆上相异的两点，满足，分别平分，.则外接圆半径的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，先固定直线AB，设，则，其中为定值，故点P，C，D在一个阿波罗尼斯圆上，且外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r，阿波罗尼斯圆会把点A，B其一包含进去，这取决于BP与AP谁更大，不妨先考虑的阿波罗尼斯圆的情况，BA的延长线与圆交于点Q，PQ即为该圆的直径，如图：接下来寻求半径的表达式，由，解得，同理，当时有，，综上，；当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为，则；当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，即，与椭圆方程联立可得，设，，则由根与系数的关系有，，，注意到与异号，故，设，则，，当，即，此时，故，又，综上外接圆半径的最小值为.故选：D．例5、【2020年新高考全国Ⅱ卷】已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.【解析】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.当y=0时，解得，所以a=4，椭圆过点M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)设与直线AM平行的直线方程为：，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程与椭圆方程，可得：，化简可得：，所以，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程：，直线AM方程为：，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：，由两点之间距离公式可得.所以△AMN的面积的最大值：.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．例6、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）.【解析】（1）由题设得，化简得，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为．由得．记，则．于是直线的斜率为，方程为．由得．①设，则和是方程①的解，故，由此得．从而直线的斜率为．所以，即是直角三角形．（ii）由（i）得，，所以△PQG的面积．设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．因为在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为．因此，△PQG面积的最大值为．例7、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知，是椭圆的左右焦点，且椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，当直线过时周长为8.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，是否存在定圆，使得动直线与之相切，若存在写出圆的方程，并求出的面积的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）由题意可得，，故，又有，∴，椭圆的标准方程为；（Ⅱ）法1：设，，∵，∴，设点，点，，两式相加得，，，∴，，，∴，．法2：，，，∴，∴，，当时，，当时，，当且仅当时取到等号，此时符合∴．例8、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于，两点，点在准线上的投影为，若是抛物线上一点，且.（1）证明：直线经过的中点；（2）求面积的最小值及此时直线的方程.【答案】（1）详见解析；（2）面积最小值为16，此时直线方程为.【解析】（1）由题意得抛物线的焦点，准线方程为，设，直线：，则，联立和，可得，显然，可得，因为，，所以，故直线：，由，得.∴，，所以的中点的纵坐标，即，所以直线经过的中点.（2）所以，设点到直线的距离为，则.所以，当且仅当，即，时，直线的方程为：，时，直线的方程为：.另解：.二、达标训练1、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）设是椭圆的两个焦点，是C上一点，且满足的面积为则的取值范围是____.【答案】【解析】依题意，，所以，则，而，所以.由于，，根据二次函数的性质可知：，所以，所以，解得.故答案为：2、【2018年高考全国I理数】已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则A． B．3C． D．4【答案】B【解析】由题可知双曲线的渐近线的斜率为，且右焦点为，从而可得，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，，所以，故选B．3、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线：和直线：，是直线上一点，过点做抛物线的两条切线，切点分别为，，是抛物线上异于，的任一点，抛物线在处的切线与，分别交于，，则外接圆面积的最小值为______.【答案】【解析】设三个切点分别为，若在点处的切线斜率存在，设方程为与联立，得，，即，所以切线方程为①若在点的切线斜率不存在，则，切线方程为满足①方程，同理切线的方程分别为，，联立方程，，解得，即同理，，，设外接圆半径为，，，时取等号，点在直线，，当且仅当或时等号成立，此时外接圆面积最小为.故答案为:.4、（2020届浙江省嘉兴市5月模拟）设点为抛物线上的动点，是抛物线的焦点，当时，．（1）求抛物线的方程；（2）过点作圆：的切线，，分别交抛物线于点．当时，求面积的最小值．【答案】（1）（2）最小值．【解析】（1）当时，，所以，故所求抛物线方程为.（2）点为抛物线上的动点，则，设过点的切线为，则，得，是方程（*）式的两个根，所以，，设，因直线，与抛物线交于点A，则得，所以，即，同理，设直线，则，，又，，所以令，，当且仅当，即时，取得最小值.5、（2020届浙江省绍兴市4月模拟）如图，已知点，，抛物线的焦点为线段中点.（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线交抛物线于两点，，过点作抛物线的切线，为切线上的点，且轴，求面积的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知得焦点的坐标为，，抛物线的方程为：；（2）设直线的方程为：，设，，，联立方程，消去得：，，，，设直线方程为：，联立方程，消去得：，由相切得：，，又，，，，直线的方程为：，由，得，，将代入直线方程，解得，所以，又，所以，当且仅当时，取到等号，所以面积的最小值为.6、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）如图，已知抛物线的焦点为.若点为抛物线上异于原点的任一点，过点作抛物线的切线交轴于点，证明：.，是抛物线上两点，线段的垂直平分线交轴于点(不与轴平行)，且.过轴上一点作直线轴，且被以为直径的圆截得的弦长为定值，求面积的最大值.【答案】证明见解析；.【解析】由抛物线的方程可得，准线方程：，设，由抛物线的方程可得，所以在处的切线的