专题10 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）（原卷版）

专题10圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【模型解读】模型1、运动轨迹为圆弧模型1-1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。模型1-2.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。模型1-3.定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。模型1-4.定边对定角（或直角）模型1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。例1.（2023.重庆九年级期末）如图，点P（3，4），圆P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．例2．（2023春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为．例3.（2023.浙江九年级期中）如图，正方形ABCD中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值．例4．（2020·凉山州·中考真题）如图，矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一点，且EB=3，F是BC上一动点，若将沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距为．例5．（2022·湖北·武汉模拟预测）如图，在矩形ABCD中，动点E、F分别从C、D两点同时出发在边BC、CD上移动（其中一点到达终点时另一点也随之停止），其中点F的运动速度是E的两倍，连接AF和DE交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若AD＝4，CD＝2，线段CP的最小值是____________．例6．（2022·安徽·三模）如图，点P是边长为6的等边内部一动点，连接BP，CP，AP，满足，D为AP的中点，过点P作，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．课后专项训练1．（2021·内蒙古·中考真题）如图，已知正方形的边长为6，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为________．2．（2022·湖北·武汉九年级阶段练习）如图，是的直径，，C为的三等分点（更靠近A点），点P是上一个动点，取弦的中点D，则线段的最大值为__________．3．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为．4.（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在平行四边形中，与交于点O，，，．点P从B点出发沿着方向运动，到达点O停止运动．连接，点B关于直线的对称点为Q．当点Q落在上时，则=，在运动过程中，点Q到直线的距离的最大值为．5．（2022·江苏无锡·校考二模）已知在矩形中，，，O为矩形的中心；在中，，，．将绕点A按顺时针方向旋转一周，则边上的高为．连接，取中点M，连接，写出的取值范围．

6．（2023·安徽黄山·校考一模）如图，在矩形中，，，是边上一点，将沿直线折叠得到，作直线交线段于点．当有最小值时，的长是．

7．（2023·福建福州·学校考模拟预测）如图，已知正方形的边长为3，动点P满足，将点P绕点D按逆时针方向旋转90°，得到点Q，连接，则的最大值是．

8．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，正方形的边长为6，正方形的边长为，将正方形绕点C旋转，和相交于点K，则的最大值是．连结，当点C正好是的内心时，的长是．

9．（2023·江苏扬州·校联考二模）如图，，线段的两个端点分别在射线、上滑动，且，以为直角边在点的异侧作，且，，问滑动过程中的最大值为．10．（2023春·河北唐山·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为．11．（2022秋·江苏·九年级统考期中）如图，正方形中，，是的中点．以点为圆心，长为半径画圆，点是上一动点，点是边上一动点，连接，若点是的中点，连接、，则的最小值为．12．（2023·江苏无锡·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，已知，射线满足，点为射线上的一个动点，过作轴于，过作射线交延长线于点，连接并延长交于点，过作射线交轴于点．（1）若，则C坐标为；（2）的最大值为．

13．（2022·广东江门·校考一模）中，，，点为的对称轴上一动点，过点作与相切，与相交于点，那么的最大值为．14．（2022秋·山东淄博·九年级淄博市博山区第六中学校考期末）已知的直径为4cm，点是上的动点，点是的中点，延长线交于点，则的最大值为cm．15．（2021·广东梅州·统考一模）如图，已知，平面内点P到点O的距离为2，连接AP，若且，连接AB，BC，则线段BC的最小值为．16．（2023·重庆·统考中考真题）在中，，，点为线段上一动点，连接．(1)如图1，若，，求线段的长．(2)如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：．(3)在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到．连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值．

17．（2023春·江苏宿迁·九年级校考开学考试）【问题呈现】如图1，∠AOB=90°，OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求的最小值．【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP∽△POA，所以，得所以．又因为，所以最小值为．【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+BP的最小值．【尝试应用】如图4，∠AOB=60°，OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求的最小值．【能力提升】如图5，∠ABC=120°，BA=BC=8，点D为平面内一点且BD=3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为．18．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）【实验操作】已知线段BC＝2，用量角器作，合作学习小组通过操作、观察、讨论后发现：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），小丽同学画出了符合要求的一条圆弧（图1）．(1)请你帮助解决小丽同学提出