专题01 特殊的平行四边形中的最值模型-将军饮马模型（解析版）

专题01特殊的平行四边形中的最值模型--将军饮马模型“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决将军饮马问题主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短。上图中A’是A关于直线m的对称点。例1．（2022·山东德州·统考中考真题）如图，正方形的边长为6，点在上，，点是对角线上的一个动点，则的最小值是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，，根据正方形的对称性可得，进而可知，再利用，，三点共线时，的值最小，将转化为，最后运用勾股定理即可解答．【详解】如图，连接，，、关于对称，，当，，三点共线时，的值最小，即的值最小，，，由勾股定理得：，即的最小值为，故选C．

【点睛】本题考查了运用轴对称解决最短路径问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明确当，，三点共线时，有最小值是解题的关键．例2．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．【答案】A【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．【详解】如图：连接BE，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，，∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，∵菱形ABCD，，点，∴，，∴∴△CDB是等边三角形∴∵点是的中点，∴,且BE⊥CD，∴故选：A．【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长．例3．（2023·湖北鄂州·二模）如图，矩形中，，点在上，且，点分别为边上的动点，将沿直线翻折得到，连接，则的最小值为（

）

A．5 B． C． D．【答案】D【分析】作关于的对称点，连接，根据条件求出的长度，当、、、四点共线时，最小，即可求出答案．【详解】解：作关于的对称点，连接，

，，沿直线翻折得到，，，，，，四边形为矩形，，在中，，当、、、四点共线时，最小，最小为，的最小值为．故选：D．【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解答的关键是作出辅助线．例4．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，正方形的边长为3，E为边上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值是______．

【答案】【分析】作交的延长线于点H，连接CF并延长，连接，首先证明出，进而得到，，然后得到是等腰直角三角形，得到点F在的角平分线上运动，作点D关于的对称点G，然后得到当点A，F，G三点在一条直线上时，有最小值，最后利用勾股定理求解即可．【详解】如图所示，作交的延长线于点H，连接CF并延长，连接，

∵将绕点E顺时针旋转得到线段，∴，，∵正方形的边长为3，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，又∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴点F在的角平分线上运动，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，作点D关于的对称点G，∵点F在的角平分线上运动，∴点G在的延长线上，∴，∴，∴当点A，F，G三点在一条直线上时，有最小值，∵点D和点G关于对称，∴，∴，∴在中，．∴的最小值是．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称求最短路径．能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．变式1．（2023·湖南湘西·统考三模）如图所示，正方形的边长为2，点为边的中点，点在对角线上移动，则周长的最小值是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作点E关于的对称点为，连接交于点P，可得，，根据勾股定理求出，可得周长，即可求解．【详解】解：作点E关于的对称点为，连接交于点P，如图所示，

∵E关于的对称点为，∴，，∵正方形的边长为2，点为边的中点，∴，，∴，∴，∵周长，又∵，∴周长，∴周长最小值为，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握轴对称的性质．变式2．（2023春·成都市九年级期中）如图，在矩形ABCD中，，，E、F分别是边AB、BC上的动点，且，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则的最小值是______．【答案】11【分析】作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB，则当点P、M在线段BG上时，GP+PM+BM最小，从而CP+PM最小，在Rt△BCG中由勾股定理即可求得BG的长，从而求得最小值．【详解】如图，作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB由对称的性质得：PC=PG，GD=CD∵GP+PM+BM≥BG∴CP+PM=GP+PM≥BG－BM则当点P、M在线段BG上时，CP+PM最小，且最小值为线段BG－BM∵四边形ABCD是矩形∴CD=AB=6，∠BCD=∠ABC=90°

∴CG=2CD=12∵M为线段EF的中点，且EF=4∴在Rt△BCG中，由勾股定理得：∴GM=BG－BM=13－2=11即CP+PM的最小值为11．【点睛】本题是求两条线段和的最小值问题，考查了矩形性质，折叠的性质，直角三角形斜边上中线的性质，两点间线段最短，勾股定理等知识，有一定的综合性，关键是作点C关于AD的对称点及连接BM，GP+PM+BM的最小值转化为线段CP+PM的最小值．变式3．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______．【答案】【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，菱形的边长为2，，中，PQ+QC的最小值为故答案为：【点睛】本题考查菱形性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题关键．模型2.平移型将军饮马（将军过桥模型）【模型解读】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图2）．问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．图1图2图3【最值原理】两点之间线段最短。例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．

【答案】【分析】过点E作交于点I，连接．易求出，，．易证四边形为平行四边形，得出，即说明当最小时，最小．由当点I，H，C三点共线时，最小．结合平行四边形的判定和性质和勾股定理求出，即得出，即可得出答案．【详解】解：如图，过点E作交于点I，连接．

∵中，，，∴，∴，∴，．∵，，∴．∵，∴四边形为平行四边形，∴．同理可得出．∵，，∴四边形为平行四边形，∴，∴四边形为平行四边形，

∴，∴，∴当最小时，最小．∵当点I，H，C三点共线时，最小，∴此时最小，如图，

∵，∴．∵∴四边形为平行四边形，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行线的判定，两点之间线段最短等知识．正确作出辅助线，理解当点I，H，C三点共线时，最小，即此时最小是解题关键．例2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，则的最小值为______．【答案】【分析】根据菱形的性质得到，根据平移的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值的最小值，根据平移的性质得到点在过点A且平行于的定直线上，作点D关于定直线的对称点E，连接交定直线于，则的长度即为的最小值，求得，得到，于是得到结论．【详解】解：连接，∵在边长为2的菱形中，，∴，∵将沿射线的方向平移，得到，∴，∵四边形是菱形，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴的最小值的最小值，∵点在过点A且平行于的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接交定直线于，则的长度即为的最小值，在中，，∴，∴，∴，∵∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，菱形的性质，解直角三角形，平移的性质，求得的最小值的最小值，是解题的关键．例3．（2022·重庆中考模拟）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=______．【答案】16．【详解】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四边形ABCP是平行四边形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案为16．变式1．（2023·贵州黔东南·统考一模）如图，在菱形中，对角线，的长分别为，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为______．【答案】【分析】连接与交于点，延长到，使得，连接，证明，，得，当点、、三点共线时，的值最小，由勾股定理求得便可．【详解】解：如图所示，连接与交于点，延长到，使得，连接，四边形是菱形，，，由平移性质知，，，，，，当点、、三点共线时，的值最小，的最小值为：，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，平移的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．变式2．（2022·广西·二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为(

)A．2 B．1+3 C．3+ D．【答案】A【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN；根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短，此时AM+BN＝AB′．【详解】解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN．根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，∴在RT△ABC中，，在RT△AB′C中，B′C＝1+3＝4千米，∴AB′＝千米；故选A．【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．变式3．（2023秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为的正方形中将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为______．【答案】【分析】将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，证出四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，由勾股定理求出C′D的值即为EC+GC的最小值．【详解】如图，将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，∴四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，∴AE∥BG，CG=DE，∴AE⊥CC′，由作图易得，点C与点C′关于AE对称，C′E=CE，又∵CG=DE，∴EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，此时，在Rt△C′D′E中，C′B′=4，B′D=4+4=8，C′D=，即EC+GC的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质、图形的对称性、线段最短和平行四边形的性质与判定，解题的关键是将两条线段的和转化为同一条线段求解．模型3.修桥选址模型（将军遛马模型）【模型解读】已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线m同侧：如图1如图2（1）如图1，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。（2）如图2，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。【最值原理】两点之间线段最短。例1．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．【答案】【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解．【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，∵CH=EF=1，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，∴，即的最小值为．故答案为：【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键．例2．（2023·四川成都·模拟预测）如图，菱形的边在轴上，顶点坐标为，顶点坐标为，点在轴上，线段轴，且点坐标为，若菱形沿轴左右运动，连接、，则运动过程中，四边形周长的最小值是________．【答案】13+【分析】由题意可知AD、EF是定值，要使四边形周长的最小，AE＋DF的和应是最小的，运用“将军饮马”模型，根据点E关于AD的对称点为O，过点A作AF1∥DF，当O，A，F1三点共线时，AE+DF=OA+AF1=OF1，为所求线段和的最小值，再求四边形周长的最小值．【详解】∵点坐标为，点坐标为，∴OC＝4，OD＝3，∴在Rt△COD中，CD＝5，∵四边形是菱形，∴AD＝CD＝5，∵坐标为，点在轴上，线段轴，∴EF＝8，连接OA，过点A作AF1∥DF交EF于点F1，则四边形ADFF1是平行四边形，FF1=AD=5，∴EF1=EF-FF1=3，∵点E，O关于AD对称，∴OA=AE，当O，A，F1三点共线时，AE+DF=OA+AF1=OF1，为所求线段和的最小值，在Rt△OEF1中，OF1＝，∴四边形周长的最小值：AD＋EF＋AE＋DF＝AD＋EF＋OF1＝5＋8＋＝13+．【点睛】本题考查菱形，勾股定理，平移，轴对称，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理解直角三角形，平移图形全等性，轴对称性质．变式1．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是_____．【答案】10【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE＝FG，得出当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可．【详解】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，∵，EF＝CG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值为10，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，根据题意作出辅助线，得出当A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，是解题的关键．变式2．（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______．【答案】/【分析】作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，．由轴对称的性质可得出的周长，此时最小，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，．，．，，∴四边形为平行四边形，．，，三点共线，此时的周长最小．，，即，，周长的最小值为：．故答案为：．【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识．熟练运用轴对称的性质和平行四边形的性质是解题的关键．变式3．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是________．

【答案】【分析】由可知为定长，在、间滑动，故由造桥选址模型进行平移，转化为两点间距离加上定长，再利用特殊角构造直角三角形，使用勾股定理求出两点间距离．【详解】作交于点E，在取，连接，延长至点，使，连接，作于点，如下图：

，，为等边三角形，，，，四边形为平行四边形，同理得四边形与四边形为平行四边形，，，，，中，，中，，的最小值是．【点睛】本题考查平移类最短路径，为造桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离和最小，解题时需要理清楚是否含有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置．求解长度时若有特殊角，通常采用构造直角三角形利用勾股定理求解的方法．模型4.求多条线段和（周长）最小值【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）台球两次碰壁模型1）已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.2）已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.【最值原理】两点之间线段最短。例1．（2022·江苏连云港·校考三模）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，公里，公里，现在要设立两个车站E，F，则的最小值为______公里．【答案】15+10【分析】将△AEB绕A顺时针旋转60°得△AGH，连接BH、EG，将△DFC绕点D逆时针旋转60°得到△DF'M，连接CM、FM、FF'，如图2，此时EH、EF、FM共线，EA+EB+EF+FC+FD是最小值，利用旋转的性质和等边三角形的性质，相加即可得出结论．【详解】解：如图1，将△AEB绕A顺时针旋转60°得△AGH，连接BH、EG，将△DFC绕点D逆时针旋转60°得到△DF'M，连接CM、FF'，由旋转得：AB=AH，AE=AG，∠EAG=∠BAH=60°，BE=GH，∴△AEG和△ABH是等边三角形，∴AE=EG，同理得：△DFF'和△DCM是等边三角形，DF=FF'，FC=F'M，∴当H、G、E、F、F'、M在同一条直线上时，EA+EB+EF+FC+FD有最小值，如图2，∵AH=BH，DM=CM，∴HM是AB和CD的垂直平分线，∴HM⊥AB，HM⊥CD，∵AB=10，∴△ABH的高为5，∴EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF'+F'M=HM=15+5+5=15+10，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值是（15+10）公里．故答案为：（15+10）．【点睛】本题考查了矩形的性质和最短路径问题，旋转的性质和等边三角形的性质，确定最小值时点E和F的位置是本题的关键，利用全等、勾股定理求其边长，从而得出结论．例2．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，在中，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为________．

【答案】【分析】在上取一点，使得，连接，如图所示，首先证明，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于，证明，求出可得结论．【详解】解：在上取一点，使得，连接，如图所示：

，，四边形是平行四边形，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于，如图所示：，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，旋转变换，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．变式1．（2023·陕西汉中·统考一模）如图，在中，，点是上的动点，连接，过点作，过点作交于点，当取得最小值时，则四边形的周长为______．

【答案】【分析】设与交于点，由垂线段最短即时，取得最小值，根据平行四边形的性质及等腰三角形的性质求解即可．【详解】解：如图，与交于点，

，，四边形是平行四边形．当时，取得最小值，四边形是平行四边形，，，，，是等腰直角三角形．，，，，，，四边形的周长为：．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．变式2．（2022·安徽合肥·统考二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（

）A．10 B．10 C．5 D．5【答案】A【分析】由矩形的性质与线段的等量关系证明，，则，，如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，则四边形是矩形，，，则，，在中，由勾股定理得求出的值，进而可求最小的周长．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，∵，，∴，，在和中∵，∴，∴，同理，∴，如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，∴四边形是矩形，∴，，∵，，∴，，在中，由勾股定理得，∴四边形的周长，故选A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称等知识．解题的关键在于找出四边形周长最小时点、的位置关系．模型5.求两条线段差最大值【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；（1）点A、B在直线m同侧：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。（2）点A、B在直线m异侧：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’【最值原理】三角形两边之差小于第三边。例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为________．

【答案】【分析】作的对称点，连接并延长交于点，根据三角形三边关系可得到，最后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可解答．【详解】解：作的对称点，连接并延长交于点，∴，∴，当在同一条直线上时，有最大值，∵在菱形中，，∴，，∴是等边三角形，∴，，，∵，∴，∵，∴，∵点为的中点，∴为的中点，∴，∴，∴是等边三角形，∴，故答案为；

【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，菱形的性质，中点的定义，三角形的三边关系，掌握等边三角形的性质及菱形的性质是解题的关键．例2．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．【答案】【分析】①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，证明四边形是矩形可得，，，再利用勾股定理进行计算即可；②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，的最小值为的长度，延长交于点G，根据对称的性质可得，再根据，点O是的中点，可得，从而求得，再利用勾股定理进行计算即可．【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，∵四边形是矩形，∴，，∴，∵点O是的中点，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，过点P作于点P，∵，∴四边形是矩形，∴，，∴，∴，∴；②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，的最小值为的长度，延长交于点G，∵，点O是的中点，∴，∴，，∴，，∴，∴的最小值为：，故答案为：；．【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称−最短路径，熟练掌握相关知识是解题的关键．例2．（2022·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．【答案】6【分析】作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA-PB|的值最大的点，|PA-PB|=A′B，连接A′C，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根据角的和差关系得到∠ACD=75°，根据轴对称的性质得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出△A′BC是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．【详解】如图，作A关于的对称点，连接并延长交延长线于点P，则点P就是使的值最大的点，，连接，∵为等腰直角三角形，，∴，，∵，∴，∵点A与A′关于CD对称，∴CD⊥AA′，，，∴，∵AC=BC，∴，，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴．故答案为：6【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．变式1．（2023·湖北黄冈·校考模拟预测）如图，在菱形中，，，点E为的中点，点F在上，且，点G为直线上一动点，的最大值是___________．

【答案】【分析】取的中点，连接，，过点作于H点．解直角三角形求出，根据可得结论．【详解】解：取的中点，连接，，过点作于H点．

∵四边形是菱形，，，∴，，∵点E为的中点，点为的中点，∴，，∵四边形是菱形，，且，，∴点E与点关于对称，∴，∵，，∴，，∴，∴在中，，∵，当且仅当F、G、三点共线时取等号，∴，∴的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，解直角三角形，勾股定理以及菱形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．变式2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，四边形中，，，，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为，则的最大值为______．【答案】5【分析】过点P作于H．过点P作直线，作点C关于直线l的对称点，连接交直线l于，此时的值最大，即的值最大，最大值为线段的长．【详解】解：如图，过点作于．，，，过点作直线，作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最大，即的值最大，最大值为线段的长，过点作于．，四边形是矩形，，，，，，的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，涉及到的知识点三角形的面积，直角梯形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题．课后专项训练1．（2023春·河南安阳·八年级统考期中）如图，在菱形中，，，点P是菱形内部一点，且满足，则的最小值是（

）A． B． C．6 D．【答案】D【分析】在上取一点E，使得，作，作点C关于的对称点H，交于G，连接交于P，连接，此时，的值最小．在和中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可．【详解】解：如图，在上取一点E，使得，作，作点C关于的对称点H，交于G，连接交于P，连接，此时，的值最小．的最小值，∵四边形是菱形，，∴，，∴，则，∵，∴，∴，在中，，，∴，故选：D．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，三角形的面积，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．2．（2023春·福建厦门·八年级校联考期中）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．4【答案】C【分析】取BC的中点G，连接AG．首先证明∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接GF，证FG⊥BC，则FG的长即为PB+PQ的最小值．【详解】解：取BC的中点G，连接AG．在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，∴AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，∴△ABG是等边三角形，∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，∴∠GAC＝∠GCA＝30°，∴∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接GF，

交AC于点P，由对称可知，B、A、F在一条直线上，AG＝AF，∵∠BAG＝∠F+∠AGF＝60°，∴∠F＝∠AGF＝30°，∴∠FGB＝90°，当点Q与点G重合时，PB+PQ=PF+PG=FG，FG的长即为PB+PQ的最小值，∵∠F＝∠AGF＝30°，AG＝GC＝2，∴BF＝4，，∴BP+PQ的最小值为2．故选：C．【点睛】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，等边三角形的性质，根据垂线段最短作出辅助线，确定点P，Q的位置是解答此题的关键．3．（2022·四川资阳·中考真题）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点，再连接，运用两点之间线段最短得到为所求最小值，再运用勾股定理求线段的长度即可．【详解】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点，连接，其与BC的交点即为点E，再作交AB于点F，∵A与关于BC对称，∴，，当且仅当，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时，∵正方形，点O为对角线的交点，∴，∵对称，∴，∴，在中，，故选：D．【点睛】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键。4．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值，证明△ABC是等边三角形，AF是高线，利用三角函数即可求解．【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵∴F是BC的中点，∴AF⊥BC．则AF＝AB•sin60°＝2．即的最小值是．故选：C【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形以及三角函数，确定AF的长就是的最小值是关键．5．（2022·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（

）A．10 B．10 C．5 D．5【答案】A【分析】由矩形的性质与线段的等量关系证明，，则，，如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，则四边形是矩形，，，则，，在中，由勾股定理得求出的值，进而可求最小的周长．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，∵，，∴，，在和中∵，∴，∴，同理，∴，如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，∴四边形是矩形，∴，，∵，，∴，，在中，由勾股定理得，∴四边形的周长，故选A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称等知识．解题的关键在于找出四边形周长最小时点、的位置关系．6．（2022·重庆九龙坡·统考一模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．则EC+GC的最小值为（）A．2 B．4 C．2 D．4【答案】B【分析】连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH．由平移和菱形的性质可证明四边形CDEG为平行四边形，即得出，从而可得出，即CH的长为的最小值．最后根据等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质与勾股定理求出CH的长即可．【详解】如图，连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH．由平移的性质可知，．∵四边形ABCD为菱形，∴，，，∴，，∴四边形CDEG为平行四边形，∴．由轴对称的性质可知，，，∴，∴，即CH的长为的最小值．∵，，∴四边形为平行四边形，∴，∴，∴，∴为等边三角形，∴，，∴，∴，即为顶角是120°，底角为30°的等腰三角形，结合含30°角的直角三角形和勾股定理即可求．故选B．【点睛】本题考查平移的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称变换，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，综合性强，为选择题中的压轴题．正确的作出辅助线是解题关键．7．（2022·辽宁大连·统考一模）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在对角线AC和边AD上，连接DE，EF，若AC=4，BD=2，则DE，EF之和的最小值为______．【答案】/【分析】如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点D作DH⊥AB，垂足为H．因为EF+DE=EF′+DE，推出当D、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+DE的值最小．【详解】解：∵菱形ABCD中，AC=4，BD=2，∴AO=OC=2，BO=OD=1，∴AD=AB=，如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点D作DH⊥AB，垂足为H．∵S△ABD=•AO•BD=•AB•DH，∴DH=，∵EF+DE=EF′+DE，∴当D、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+DE的值最小，最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查的是菱形的性质，轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称解决最短问题．8．（2022·统考一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连接AH，CG．若，，，则的最小值为______．【答案】【分析】延长DA到点O，使AO=HE=4，连接OC，可证得四边形AOEH是平行四边形，OE=AH，可得当点E、点G在OC上时，最小，即最小，再根据勾股定理即可求得．【详解】解：如图：延长DA到点O，使AO=HE=4，连接OE、EG，，，，又，四边形AOEH是平行四边形，，当点E、点G在OC上时，最小，即最小，，，，，故的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形及正方形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键．9．（2022·山东泰安·模拟预测）如图，在菱形中，，，点，在上，且，连接，，则的最小值为________．【答案】【分析】连接BD交AC于点O，根据菱形的性质和勾股定理可得DO=3，当点O为MN的中点时，BM+DN的值最小，再证明得DN=BM，由勾股定理求出DN的长即可．【详解】解：连接BD交AC于点O，如图，∵四边形ABCD是菱形，AC=8∴又在Rt△AOB中，∴∴DO=5当点O为MN的中点时，BM+DN的值最小，∵MN=1∴在Rt△DON中，∴在Rt△DON和Rt△BOM中，∴∴DN=BM∴∴的最小值为故答案为【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，灵活运用菱形的性质和勾股定理求出BN=是解答本题的关键．9．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在矩形中，，点P、点Q分别在边上，且，连接和，则的最小值是_______．【答案】13【分析】证明四边形是平行四边形，得到，作点A关于的对称点E，当B、Q、E在同一直线上时，取得最小值，利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，作点A关于的对称点E，则，，当B、Q、E在同一直线上时，取得最小值，此时，，∴的最小值是13，故答案为：13．【点睛】本题考查的是最短线路问题及矩形的性质，勾股定理，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．10．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，矩形中，，矩形的对角线相交于点O，点E，F为边上两个动点，且，则的最小值为_________．【答案】【分析】过点O作于点H，把点O向右平移2个单位至点，作点关于的对称点，交于点K，连接交于点E，作，交的延长线于点G．由轴对称的性质可知，即的最小值是线段的长，根据勾股定理求出的长即可．【详解】过点O作于点H，把点O向右平移2个单位至点，作点关于的对称点，交于点K，连接交于点E，作，交的延长线于点G．则四边形和四边形都是矩形，∴，，，．∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值是线段的长．∵四边形是矩形，∴，，，∴，．∵，∴，∴，∴，即的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．11．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，己知长方体，是棱上任意一点，是侧面对角线上一点，则的最小值是________．

【答案】【分析】将正方形展开，取及两个面，过点作于点Q，交于点P，此时取最小值，由正方形的性质可得出，再利用特殊角的三角函数值即可求出的长度，此题得解．【详解】解：将正方形展开，取及两个面，过点作于点Q，交于点P，此时取最小值．

∵为正方形，∴．在中，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称中的最短路线问题、正方形的性质以及特殊角的三角函数值，找出点P、Q的位置是解题的关键．12．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，点E是线段上的一个动点，，且，则的最小值是___．【答案】【分析】作点A关于线段的对称点F，连接，交于点O，连接，过点F作，交的延长线于点H，过点作，交的延长线于点G，由题意易得，则有，然后可得四边形是平行四边形，进而可得，推出，勾股定理求出的长即可得解．【详解】解：作点A关于线段的对称点F，连接，交于点O，连接，过点F作，交的延长线于点H，过点作，交的延长线于点G，如图所示：由轴对称的性质可知：，，，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴，当点E与点O重合时，则的最小值即为的长，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴∴，∴即的最小值为；故答案为．【点睛】本题主要考查轴对称的性质、平行四边形的性质与判定、勾股定理及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．13．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为________．【答案】6【分析】作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度；然后求出和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度；∵AC是矩形的对角线，∴AB=CD=4，∠ABC=90°，在直角△ABC中，，，∴，∴，由对称的性质，得，，∴，∴∵，，∴△BEF是等边三角形，∴，∴是直角三角形，∴，∴的最小值为6；故答案为：6．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P使得有最小值．14．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，，在边上有一线段由B向C运动，点F到达点C后停止运动，E在F的左侧，，连接，则周长的最小值为______．

【答案】8【分析】过点作交于点，再作点关于的对称点，连接，连接与交于点，当运动到点时，，，三点共线，此时取最小值，即取最小值，则此时的周长最小．【详解】解：如图，过点作交于点，则四边形为平行四边形，，，再作点关于的对称点，连接，则，连接与交于点，当运动到点时，，，三点共线，此时取最小值，即取最小值，则此时的周长最小．

过点作，过点作交于点，，，，连接，，，四边形为矩形，

，，，周长的最小值，故答案为：．【点睛】本题考查了关于移动线段中三角形周长最小值问题，勾股定理，菱形的性质等知识，添加合适的辅助线转化为两点间距离问题是解题关键．15．（2022·全国·八年级专题练习）如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为______．【答案】【分析】根据题意，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，此时四边形的周长为，则当点、、三点共线时，四边形的周长最小，进而计算即可得解．【详解】如下图，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，∴，，此时四边形的周长为，当点、、三点共线时，四边形的周长最小，，，，经过点，，，，，，，四边形周长的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了四边形周长的最小值问题，涉及到含的直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握相关轴对称作图方法以及线段长的求解方法是解决本题的关键．16.如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60º，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC,P为对角线B