专题28 尺规作图（分层精练）（解析版）

专题28尺规作图（分层精练）1．（2021秋•常州期中）下列作图语句正确的是（）A．连接AD，并且平分∠BAC B．延长射线AB C．作∠AOB的平分线OC D．过点A作AB∥CD∥EF【答案】C【解答】解：A．连接AD，不能同时使平分∠BAC，此作图错误；B．只能反向延长射线AB，此作图错误；C．作∠AOB的平分线OC，此作图正确；D．过点A作AB∥CD或AB∥EF，此作图错误；故选：C．2．（2022秋•南阳期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝52°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE交AB于点F，则∠ACF的度数是（）A．24° B．26° C．14° D．18°【答案】C【解答】解：由尺规作图可知，CF⊥AB，∴∠CFA＝90°，∵AB＝AC，∠B＝52°，∴∠ACB＝∠B＝52°，∴∠CAB＝76°，∴∠ACF＝180°﹣∠CFA﹣∠CAB＝14°．故选：C．3．（2022•淄博）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD＝3，则BD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解答】解：连接AD，如图，∵AB＝AC，∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，由作法得DE垂直平分AC，∴DA＝DC＝3，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴∠BAD＝120°﹣30°＝90°，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴BD＝2AD＝6．故选：C．4．（2021•百色）如图，在⊙O中，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以弦AB的端点A、B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；（2）作直线OM交AB于点N．若OB＝10，AB＝16，则tanB等于（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如图，连接OA，∴OA＝OB，根据作图过程可知：OM是AB的垂直平分线，∴AN＝BN＝AB＝8，在Rt△OBN中，OB＝10，BN＝8，根据勾股定理，得ON＝＝6，∴tanB＝＝＝．故选：B．5．（2021•黄石）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB＝10，BC＝6，则线段CD的长为（）A．3 B． C． D．【答案】A【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE＝DC，在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，∴•DE×10+•CD×6＝×6×8，即5CD+3CD＝24，∴CD＝3．故选：A．6．（2021•铜仁市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，按下列步骤作图：步骤1：以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交AC、AB于点D、E．步骤2：分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点M．步骤3：作射线AM交BC于点F．则AF的长为（）A．6 B．3 C．4 D．6【答案】B【解答】解：由作法得AF平分∠BAC，过F点作FH⊥AB于H，如图，∵AF平分∠BAC，FH⊥AB，FC⊥AC，∴FH＝FC，在△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6，设CF＝x，则FH＝x，∵S△ABF+S△ACF＝S△ABC，∴×10•x+×6•x＝×6×8，解得x＝3，在Rt△ACF中，AF＝＝＝3．故选：B．7．（2020•柳州）通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、过A点作AD⊥BC于D；B、作BC的垂直平分线得到BC的中点D；C、过BC上的点D作BC的垂线；D、作AC的垂直平分线交BC于D．故选：B．8．（2020•长春）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连接CD．下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠B C．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°【答案】C【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，∴DB＝DC，MN⊥BC，∴∠BDN＝∠CDN，∠DBC＝∠DCB，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠B，∵∠A＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴2∠B+∠ACD＝90°，故选项A，B，D正确，故选：C．9．（2022•陕西）如图，已知△ABC，CA＝CB，∠ACD是△ABC的一个外角．请用尺规作图法，求作射线CP，使CP∥AB．（保留作图痕迹，不写作法）【解答】解：如图，射线CP即为所求．10．（2021•陕西）如图，已知△ABC，AB＞AC．请在边AB上求作一点P，使点P到点B、C的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【解答】解：如图，点P即为所求．11．（2022•赤峰）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．【解答】解：（1）如图，DH为所作；（2）∵DH垂直平分BC，∴DC＝DB，∴∠B＝∠DCB，∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴DC＝DA，∴△BCD的周长＝DC+DB+BC＝DA+DB+BC＝AB+BC＝8+5＝13．12．（2023•鼓楼区校级一模）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．（1）求证：AP平分∠CAB；（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数．【解答】解：（1）连接PF，PE，由作图过程可知AE＝AF，PE＝PF，AP＝AP，∴△AFP≌△AEP，∴∠FAP＝∠EAP，∴AP平分∠CAB．（2）∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB＝180°，又∵∠ACD＝114°，∴∠CAB＝180°﹣114°＝66°，由（1）知AP平分∠CAB，即∠MAB＝∠MAC，∴∠MAB＝∠CAB＝33°．13．（2022•都安县校级二模）如图，四边形ABCD是矩形．（1）尺规作图：作AC的垂直平分线EF，与AD，AC，BC分别交于点E，O，F（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）；（2）在（1）的条件下，连接AF，CE，求证：四边形AFCE是菱形．【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求．（2）证明：∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形．14．（2022春•华州区期末）如图，用尺规在AD的右侧作∠DCP＝∠DAB（不写作法，只需保留作图痕迹）．【解答】解：如图，∠DCP为所作．15．（2022•泗洪县三模）如图，在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝50°，通过尺规作图，得到直线DE和射线AF，仔细观察作图痕迹，完成下列问题：（1）直线DE是线段AB的线，射线AF是∠EAC的线；（2）求∠EAF的度数．【解答】解：（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DE是线段AB的垂直平分线，射线AF是∠EAC的角平分线．故答案为：垂直平分，角平分；（2）∵DE垂直平分线段AB，∴EA＝EB，∴∠BAE＝∠B＝42°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣42°﹣50°＝88°，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝88°﹣42°＝46°，∵AF平分∠CAE，∴∠FAE＝∠CAE＝×46°＝23°．16．（2022•澄海区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，O是AC的中点，点M在BA的延长线上．（1）作∠MAC的平分线AN，连结BO，并延长BO交AN于点D，连结CD（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．【解答】解：（1）如图，AN，CD即为所求；（2）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：∵AN是∠MAC的平分线，∴∠MAC＝2∠MAN＝2∠CAN，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠MAC＝∠ABC+∠ACB，∴2∠MAN＝2∠ABC，∴∠MAN＝∠ABC，∴AN∥BC，∴∠OAD＝∠OCB，∵O是AC的中点，∴OA＝OC，在△OAD和△OCB中，，∴△OAD≌△OCB（ASA），∴AD＝CB，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．17．（2022•市中区一模）如图，在菱形ABCD中，AD＝4．（1）用尺规作图，作出边AB的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若（1）中作的AB的垂直平分线交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，求菱形ABCD的面积．【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；（2）连接AC，由作图知：AG＝BG，∴∠GAB＝∠ABG，∴∠AGD＝2∠ABG，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABG，∵GA恰好垂直于边AD，∴∠ADB＝30°，∴△ADC为等边三角形，∴AC＝AD＝4，∴OD＝AD＝2，∴另一对角线长BD＝2OD＝，∴菱形的面积为．18．（2022•大渡口区模拟）已知：如图，在菱形ABCD中，E是边AB上的点．（1）作∠CDF，使∠CDF＝∠ADE，DF交菱形的边BC于F．（要求：基本作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）（2）根据（1）中作图，求证：BE＝BF．【解答】（1）解：如图，∠CDF即为所求；（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∠A＝∠C，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∵AB＝BC，∴BE＝BF．19．（2022•珠海一模）如图，已知锐角△ABC中，AB＝AC．（1）请尺规作图：作△ABC的BC边上的高AD；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若BC＝8，AD＝3，则经过A，C，D三点的圆的半径r＝．【解答】解：（1）如图，AD为所作；（2）如图，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝4，在Rt△ADC中，AC＝＝＝5，∵∠ADC＝90°，∴AC为△ABC外接圆的直径，∴r＝AC＝，即经过A，C，D三点的圆的半径r为．故答案为：．20．（2022•东莞市校级一模）如图，在▱ABCD中，AD＞AB．（1）尺规作图：作DC边的中垂线MN，交AD边于点E（要求：保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接EC，若∠BAD＝130°，求∠AEC的度数．【解答】解：（1）如图，直线MN，点E即为所求；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A＝130°，∴∠D＝50°∵MN垂直平分线段CD，∴ED＝EC，∴∠D＝∠ECD＝50°，∴∠AEC＝∠D+∠ECD＝100°．∴AC＝OC．21．（2021•渝中区模拟）如图，已知∠MAN，B为边AM上一点．（1）尺规作图（要求保留作图痕迹，不写作法）：①过点B作BC⊥AM交AN边于点C；②以AC为边作∠ACD＝∠A，且交AB于点D．（2）若AD＝3，BD＝2，请利用（1）中所作的图形求sin∠A的值．【解答】解：（1）①如图，直线BC即为所求作．②如图，射线CD即为所求作．（2）由作图可知，EF垂直平分线段AC，∴DA＝DC＝3，在Rt△DCB中，BC＝＝，在Rt△ABC中，AC＝＝＝，∴sinA＝＝＝．22．（2021•莫旗二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC边的中点．（1）过点D作直线DE⊥BC，交线段AB于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；（2）在（1）的条件下，连接CE，求证：AE＝CE．【解答】解：（1）如图所示，直线DE即为所求；（2）根据尺规作图可知DE垂直平分BC，∴EC＝EB，∠EDB＝90°，∵∠ACB＝∠EDB＝90°，∴AC∥ED，∵点D为BC边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AE＝BE，∵EC＝EB，∴AE＝CE．23．（2022•濮阳一模）如图，Rt△ABC和它的外接⊙O，直径是AB．（1）①请用尺规作图，作∠ABC的角平分线BE，交⊙O于E；②连接OC、AE、CE，当∠A＝°时，四边形OAEC是菱形；（2）在①的条件下，若BC＝6，AC＝8，求BE的长．【解答】解：（1）①如图所示，射线BE即为所求；②当∠BAC＝30°时，四边形OAEC是菱形，理由如下：连接OE交AC于D，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝ABC＝60°＝30°，∴∠CAE＝∠CBE＝3