2024-2025学年高中数学第二章数列2.4第2课时等比数列的性质课时跟踪训练含解析新人教A版必修5

PAGE等比数列的性质[A组学业达标]1．在等比数列{an}中，若a4a5a6＝27，则aA．3 B．6C．27 D．9解析：在等比数列{an}中，由a4a5a6＝27，得aeq\o\al(3,5)＝27，得a5＝3，所以a1a9＝aeq\o\al(2,5)＝9，故选D.答案：D2．在各项均为正数的等比数列{an}中，若anan＋1＝22n＋1，则a5＝()A．4 B．8C．16 D．32解析：由题意可得，a4a5＝29，a5a6＝211，则a4aeq\o\al(2,5)a6＝220，结合等比数列的性质得，aeq\o\al(4,5)＝220，数列的各项均为正数，则a5＝25＝32.答案：D3．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于()A．16 B．32C．64 D．256解析：由已知，得a1a19＝16.∵a1·a19＝a8·a12＝aeq\o\al(2,10)，∴a8·a12＝aeq\o\al(2,10)＝16.an＞0，∴a10＝4，∴a8·a10·a12＝aeq\o\al(3,10)＝64.答案：C4．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么()A．{an＋bn}，{an·bn}都肯定是等比数列B．{an＋bn}肯定是等比数列，但{an·bn}不肯定是等比数列C．{an＋bn}不肯定是等比数列，但{an·bn}肯定是等比数列D．{an＋bn}，{an·bn}都不肯定是等比数列解析：{an＋bn}不肯定是等比数列，如an＝1，bn＝－1，因为an＋bn＝0，所以{an＋bn}不是等比数列．设{an}，{bn}的公比分别为p，q，则eq\f(an＋1bn＋1,anbn)＝eq\f(an＋1,an)·eq\f(bn＋1,bn)＝pq≠0，所以{an·bn}肯定是等比数列．故选C.答案：C5．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11等于()A．10 B．25C．50 D．75解析：利用等比数列的性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq，可得a8·a11＝a9·a10＝a7·a12＝5，∴a8·a9·a10·a11＝25.答案：B6．设数列{an}为公比q＞1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.解析：由题意得a4＝eq\f(1,2)，a5＝eq\f(3,2)，∴q＝eq\f(a5,a4)＝3.∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝(eq\f(1,2)＋eq\f(3,2))×32＝18.答案：187．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.解析：由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.∵a1，a3，a4成等比数列，∴aeq\o\al(2,3)＝a1a4，∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，解得a1＝－8，∴a2＝－6.答案：－68．等比数列{an}是递增数列，若a5－a1＝60，a4－a2＝24，则公比q为________．解析：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q4－a1＝60，①,a1q3－a1q＝24，②))eq\f(①,②)得eq\f(a1q4－1,a1qq2－1)＝eq\f(5,2)，即eq\f(q2＋1,q)＝eq\f(5,2)，解得q＝eq\f(1,2)或2，当q＝2时，代入①得a1＝4，{an}是递增数列；当q＝eq\f(1,2)时，代入①得a1＝－64，{an}也是递增数列．综上可知，公比q能取2或eq\f(1,2).答案：2或eq\f(1,2)9．三个正数成等比数列，它们的和等于21，倒数的和等于eq\f(7,12)，求这三个数．解析：设三个数为eq\f(a,q)，a，aq(a，q＞0)，由题eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,q)＋a＋aq＝21，,\f(q,a)＋\f(1,a)＋\f(1,aq)＝\f(7,12)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a\f(1,q)＋1＋q＝21，,\f(1,a)q＋1＋\f(1,q)＝\f(7,12)))⇒a2＝21×eq\f(12,7)＝36，∴a＝6，q＝2或eq\f(1,2)，∴三个数为3,6,12或12,6,3.10．和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数．解析：设等差数列的首项为a，公差为d，则它的第1,4,25项分别为a，a＋3d，a＋24d，∵它们成等比数列∴(a＋3d)2＝a(a＋24d)，∴a2＋6ad＋9d2＝a2＋24ad.∴9d2＝18ad，∵等比数列的公比不为1，∴d≠0，∴d＝2a.①由题意知：a＋(a＋3d)＋(a＋24d)＝114，即3a＋27d＝114，②由①②可以解得，a＝2，d＝4，∴这三个数就是2,14,98.[B组实力提升]11．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝()A．4 B．2C．－2 D．－4解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a2＝bc，))消去a得4b2－5bc＋c2＝0.∵b≠c，∴c＝4b，∴a＝－2b，代入a＋3b＋c＝10中得b＝2，∴a＝－4.答案：D12．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是()A.eq\f(3,2) B．eq\r(2)C．2 D．2eq\r(2)解析：奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64，则eq\f(a2a4a6a8a10,a1a3a5a7a9)＝q5＝32，则q＝2，故选C.答案：C13．已知等比数列{an}为递增数列，a1＝－2，且3(an＋an＋2)＝10an＋1，则公比q＝________.解析：因为等比数列{an}为递增数列且a1＝－2＜0，所以0＜q＜1，将3(an＋an＋2)＝10an＋1两边同除以an可得3(1＋q2)＝10q，即3q2－10q＋3＝0，解得q＝3或q＝eq\f(1,3)，而0＜q＜1，所以q＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)14．在各项均为正数的等比数列{an}中，am－1am＋1＝2am(m≥2)，数列{an}的前n项积为Tn，若T2m－1＝512，则m解析：由等比数列的性质，am－1am＋1＝aeq\o\al(2,m)＝2am，各项均为正数，则am＝2.又T2m－1＝(am)2m－1＝22m－1＝512，则2m－1＝9，知m＝5.答案：515．已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a50，a51是方程100(lgx)2＝lg(100x)的两个不同的解，求a1a2…a100解析：对k＝50,51，有100(lgak)2＝lg(100ak)＝2＋lgak，即100(lgak)2－lgak－2＝0.因此，lga50，lga51是一元二次方程100t2－t－2＝0的两个不同实根，从而lg(a50a51)＝lga50＋lga51＝eq\f(1,100)，即a50a51＝.由等比数列的性质知，a1a2…a100＝(a50a51)50＝(1)50＝eq\r(10).16．已知两个等比数列{an}，{bn}，满意a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}唯一，求a的值．解析：(1)设{an}的公比为q(q≠0)，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列，得(2＋q)2＝2(3＋q2)，即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋eq\r(2)，q2＝2－eq\r(2)，所以{an}的通项公式为an＝(2＋eq\r(2))n－