高中数学第一章解三角形1.2应用举例三导学案新人教A版必修5

1.2应用举例（三）学习目标1.能够运用正弦、余弦定理解决航海测量中的实际问题.2.驾驭三角形的面积公式的简洁推导和应用．教学过程一、创设情景老师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生与大家共享自己对航海测量学问的了解。通过举例说明和相互沟通，做好老师对学生的活动的梳理引导，并赐予主动评价.二、自主学习1．三角形的面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha＝eq\f(1,2)b·hb＝eq\f(1,2)c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)；(3)S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)．提示：（2）bcsinAcasinB2．三角形中常用的结论(1)A＋B＝，eq\f(A＋B,2)＝；(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)随意两边之和大于第三边，随意两边之差小于第三边；提示：（1）π－Ceq\f(π,2)－eq\f(C,2)三、合作探究探究点1：航海中的测量问题问题1：:在浩瀚无垠的海面上航行，最重要的是定位和保持航向．阅读教材，看看船只是如何表达位置和航向的？提示：用方向角和方位角．例1如图，一艘海轮从A动身，沿北偏东75°的方向航行67.5nmile后到达海岛B，然后从B动身，沿北偏东32°的方向航行54.0nmile后到达海岛C.假如下次航行干脆从A动身到达C，此船应当沿怎样的方向航行，须要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01nmile)解在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，依据余弦定理，AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC)＝eq\r(67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos137°)≈113.15.依据正弦定理，eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，sin∠CAB＝eq\f(BCsin∠ABC,AC)≈eq\f(54.0sin137°,113.15)≈0.3255，所以∠CAB＝19.0°，75°－∠CAB＝56.0°.答此船应当沿北偏东56.0°的方向航行，须要航行113.15nmile.名师点评：解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后依据条件，画出示意图，转化为解三角形问题．探究点2：三角形面积公式的应用问题:1：假如已知底边和底边上的高，可以求三角形面积．那么假如知道三角形两边及夹角，有没有方法求三角形面积？提示：在△ABC中，假如已知边AB、BC和角B，边BC上的高记为ha，则ha＝ABsinB．从而可求面积．例2在△ABC中，依据下列条件，求三角形的面积S.(精确到0.1cm2)(1)已知a＝14.8cm，c＝23.5cm，B＝148.5°；(2)已知B＝62.7°，C＝65.8°，b＝3.16cm；(3)已知三边的长分别为a＝41.4cm，b＝27.3cm，c＝38.7cm.解：(1)应用S＝eq\f(1,2)casinB，得S＝eq\f(1,2)×23.5×14.8×sin148.5°≈90.9(cm2)．(2)依据正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得c＝eq\f(bsinC,sinB)，S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)b2eq\f(sinCsinA,sinB)，A＝180°－(B＋C)＝180°－(62.7°＋65.8°)＝51.5°，S＝eq\f(1,2)×3.162×eq\f(sin65.8°sin51.5°,sin62.7°)≈4.0(cm2)．(3)依据余弦定理的推论，得cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)＝eq\f(38.72＋41.42－27.32,2×38.7×41.4)≈0.7697，sinB＝eq\r(1－cos2B)≈eq\r(1－0.76972)≈0.6384.应用S＝eq\f(1,2)casinB，得S≈eq\f(1,2)×38.7×41.4×0.6384≈511.4(cm2)．名师点评：三角形面积公式S＝eq\f(1,2)absinC，S＝eq\f(1,2)bcsinA，S＝eq\f(1,2)acsinB中含有三角形的边角关系．因此求三角形的面积，与解三角形有亲密的关系．首先依据已知，求出所需，然后求出三角形的面积．例3在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝eq\f(π,3).若△ABC的面积等于eq\r(3)，求a，b.解由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于eq\r(3)，所以eq\f(1,2)absinC＝eq\r(3)，得ab＝4，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4，,ab＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2.))名师点评：题目条件或结论中若涉及三角形的面积，要依据题意敏捷选用三角形的面积公式．四、当堂检测1．一艘海轮从A处动身，以40nmile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处视察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处视察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10eq\r(2)nmile B．10eq\r(3)nmileC．20eq\r(2)nmile D．20eq\r(3)nmile2．已知三角形面积为eq\f(1,4)，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为()A．1B．2C.eq\f(1,2)D．43．在△ABC中，已知a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，则b＝________.提示：1．A2.A3.2eq\r(3)五、课堂小结本节课我们学习过哪些学问内容?提示：1．在求解三角形中，我们可以依据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必需检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种状况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时须要选择条件足够的三角形优先探讨，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．六、课例点评数学建模是数学的核心素养之一，数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段