广东省佛山市石门中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

石门中学2024-2025学年第一学期高二数学一检考试内容.必修第9章第10章.选修第1章2024.9.30命题刘铠勇一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1、若今后的三天中，每一天下雨的概率均为0.6.我们通过设计模拟实验的方法估算概率，用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，利用计算机产生1~5之间的随机数如下：425123423344144435525332152342534443512541135432334151312354以此估计这三天中至少有两天下雨的概率为A. B. C. D.2、以下关于概率的说法，正确的有A.一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是B.买彩票中奖的概率是0.001，那么买1000张彩票一定能中奖C.乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是双方从1~10共10个数中依次各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的D.昨天没有下雨.则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为”是错误的3、已知是空间的单位正交基底。若向量在基底下的坐标为，则向量的大小为A.3 B. C.9 D.64、如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则A. B.1 C. D.5、本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为A. B. C. D.6、某班有50名学生，在一次考试中统计得平均分数为70，方差为75，后来发现有2名学生的成绩录入有误，学生甲实际得分是80分却误记为60分，学生乙实际得分是70分却误记为90分，更正后的平均分数和方差分别是A.70和50 B.70和67 C.75和50 D.75和677、甲射手击中靶心的概率为，乙射手击中靶心的概率为，甲、乙两人各射击一次，那么等于A.甲、乙都击中靶心的概率 B.甲、乙恰好有一人击中靶心的概率C.甲、乙至少有一人击中靶心的概率 D.甲、乙不全击中靶心的概率8、从点出发的三条射线，，，其中，，则直线与平面所成角的余弦值是A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分。9、已知四边形是平行四边形，，，，则A点的坐标是 B.C. D.四边形的面积是10、柜子里有4双不同的鞋子，从中随机地取出2只，下列计算结果正确的是A.“取出的鞋不成双”的概率等于B.“取出的鞋都是左鞋”的概率等于C.“取出的鞋都是一只脚的”的概率等于D.“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”的概率等于11、三棱锥中，是平面内一点。下列说法中正确的有A.若，则B.若为重心，则C.若与所成的角为，与平面所成的角为，则D.若，，则。三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.12、记以下第组数据的方差为，比较的大小，结果用“＜”或“=”表示为__________.第1组：5，5，5，5，5，5，5，5，5 第2组：4，4，4，5，5，5，6，6，6第3组：3，3，4，4，5，6，6，7，7 第4组：2，2，2，2，5，8，8，8，813、两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点、和点、，使得，且.已知，，，则_____.14、已知集合，是集合的真子集且，如果，，，使得，其中，，则称，是集合的一组有序基底集，记为。已知，且为一组有序基底集，则集合中的元素之和小于4的概率为_____.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分13分）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为.记，，.（1）求与夹角的余弦值.（2）线段上是否存在点，令，，是共面向量？若存在，求，若不存在，说明理由.16、（本题满分14分）在志愿者选拔面试工作后，随机抽取了100名候选者的面试成绩，将之分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.（1）估计本次面试中候选者面试成绩的平均数和下四分位数；（2）在样本中用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人.再从这10名面试者中随机抽取两人进行电话访谈，求两名面试者成绩都在第五组的概率.17、（本题满分17分）在某信道内传输0，1信号时，每次信号的传输相互独立但传送会存在一定的失误率。据统计，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.（1）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；（2）依次发送1，1，0，判断事件、是否互相独立，并给出证明，其中事件：至少收到一个正确信号；事件：至少收到两个0。18、（本题满分18分）如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，.（1）求点到平面的距离；（2）求直线与平面所成角的余弦值；（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.19、（本题满分15分）在四棱锥中，，，，，，是的中点.（1）求的长；（2）设二面角平面角的补角大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值.

石门中学2024-2025学年第一学期高二数学一检考试答案一、单选题：DCACBBDB二、多项选择题：9、ABD10、ABC11、ABD12、13、14、（12题选自必二P215，13题改编自P49题17）15、（1）由题意知：，，又，，，，，，，，即与夹角的余弦值为.（2）当，可设，，，是共面向量，即存在，，令即：由解得：，，.故存在点且.16、（1）组距为10，设第组的频率为，则，，，从而有解得：，各组区间中点值为：50，60，70，80，90。由直方图得平均数为，因为，设下四分位数为，则，则，解得，由样本估计总体，得面试成绩的平均数为69.5，下四分位数为63.（2）因为，故从第四组抽取8人，第五组2人.记第四组8人的编号为1到8，第五组2人编号为9和10，从中取2人得到样本空间，则记“两名面试者成绩都在第五组”为事件，则事件，故.17、（1）记第次发送时，”发送1且收到1“为，”发送0且收到0“为，故，独立，，，（1）当发送1，1，1时，记“至少收到2次1”为事件，则由互斥事件与独立事件的概率计算公式有：（2）事件与事件不互相独立，证明如下：，根据事件的相互独立性，故有；而根据事件的相互独立性，故，显然根据事件的相互独立性，故，因为，所以事件与事件不互相独立.14题详解：集合的基底集可以为：，，，，，，，，，，，共有11组；再把每组中的两个集合调换位置，此时也是11组，综上可得，共计22组，其中满集合中元素之和小于4的有9组，所以概率为.18、（1）因为平面平面，交线为，且，所以平面，以为原点，，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系：由题意有：，，，，，（1），，，设平面的法向量为，所以有，即，取，点到平面的距离为.（用等体积法或定义法求点面距，须严格证明线面垂直）（2），，，设平面的法向量为，由，同上可求得，设直线与平面所成角为，则，故所以直线与平面所成角的余弦值为.（3），，由题意不妨设，，所以，又由（2）可知平面的法向量为，若平面，则，即，解得，所以当点为的中点时，有平面（可取中点，则，再令，可得面）19、（1）取的中点，连接，：则，且，，所以四边形为平行四边形.有：.而中，即的长为；（2）取中点，中点，