2.3简谐运动的回复力和能量

2.3简谐运动的回复力和能量1.会分析弹簧振子的受力情祝，理解回复力的概念。2.认识位移、速度、回复力和加速度的变化规律及相互联系。3.会用能量观，点分析水平弹簧振子动能、势能的变化情况，知道简谐运动中机械能守恒。考点一、回复力(1)回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置．(2)回复力的性质回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力．例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力由静摩擦力提供．2．回复力公式：F＝－kx.(1)k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．其值由振动系统决定，与振幅无关．(2)“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反．3．简谐运动的加速度由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝－eq\f(k,m)x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反．4．物体做简谐运动的判断方法(1)简谐运动的回复力满足F＝－kx；考点二、简谐运动的能量简谐运动的能量是指物体在经过某一位置时所具有的势能和动能之和．在振动过程中，势能和动能相互转化，机械能守恒．1．简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大．2．在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去．3．在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化．物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能．4．能量特点在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型．考点三、简谐运动中各物理量的变化1．如图所示为水平的弹簧振子示意图，振子运动过程中各物理量的变化情况如下表．振子的运动A→OO→A′A′→OO→A位移方向向右向左向左向右大小减小增大减小增大回复力方向向左向右向右向左大小减小增大减小增大加速度方向向左向右向右向左大小减小增大减小增大速度方向向左向左向右向右大小增大减小增大减小振子的动能增大减小增大减小弹簧的势能减小增大减小增大系统总能量不变不变不变不变2.说明：(1)简谐运动中各个物理量对应关系不同．位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同．(2)简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep＝0，Ek最大．(3)位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大．题型1简档运动的回复力（2024春•台江区校级期中）如图所示，弹簧振子在竖直方向做简谐振动。以其平衡位置为坐标原点，竖直方向上为正方向建立坐标轴，振子的位移x随时间t的变化如图所示，下列说法正确的是（）A．振子的振幅为4cm B．在0～4s内振子做了4次全振动 C．t＝1s时，振子受到的弹簧弹力大小为零 D．t＝1s时，振子的速度为正的最大值【解答】解：A、由振动的图象可知：振子的振幅为2cm而不是4cm，故A错误；B、由振动的图象可知周期为2s，则振子在4s时间内做2次全振动，故B错误；C、由图可知t＝1s时，振子处于平衡位置，回复力为零，此时弹力等于重力，弹簧弹力不为零，故C错误；D、由图可知t＝1s时，振子处于平衡位置，加速度为零，振子速度为正的最大值，故D正确；故选：D。（2024春•河西区期中）如图所示，弹簧下端悬挂一个钢球，上端固定，它们组成一个振动系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动，如果钢球做简谐运动，则（）A．弹簧对钢球的弹力是钢球做简谐运动的回复力 B．弹簧弹力为零时钢球处于平衡位置 C．钢球位于最高点和最低点时加速度大小相等 D．钢球的动能与弹簧的弹性势能之和保持不变【解答】解：A、振子受到重力和弹簧的拉力，二者的合力提供回复力。故A错误；B、平衡位置是指振子受到的合外力等于0的位置，所以在平衡位置处弹簧的弹力与重力大小相等，方向相反，故B错误。C、简谐振动具有对称性，所以钢球位于最高点和最低点时加速度大小相等，故C正确。D、振子在振动过程中，只有重力和弹簧的弹力做功，则振动系统的机械能守恒，但钢球的动能与弹簧的弹性势能之和不守恒，还有重力势能。故D错误。故选：C。（2023秋•南山区校级期末）粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中（如图甲）。把木筷往上提起一段距离后放手，忽略水对木筷和铁丝的黏滞阻力，木筷和铁丝就在水中上下简谐振动。以竖直向上为正方向，从某时刻开始计时，筷子振动图像如图乙所示则（）A．筷子和铁丝在t1时刻加速度为零 B．筷子和铁丝在t2时刻加速度最大 C．筷子和铁丝在t2时刻速度最大 D．筷子和铁丝作简谐振动的回复力为浮力【解答】解：A.筷子和铁丝在t1时刻，在最高点，速度为零，加速度不为零，故A错误；BC.筷子和铁丝在t2时刻速度最大，回复力为零，加速度为0，故B错误，C正确；D.筷子和铁丝做简谐运动的回复力为浮力和重力的合力，故D错误。故选：C。题型2简谐运动的能量问题（2024春•大理州期末）将质量为0.2kg的小球放在竖立的轻弹簧上（未拴接），并将小球竖直下按至图甲所示的位置A。迅速松手后，弹簧把小球弹起，小球升至图乙所示的最高位置C，途中经过位置B时弹簧恢复原长。已知A、B的高度差为0.1m，B、C的高度差为0.3m，不计空气阻力，取重力加速度g＝10m/s2。若取位置B所在水平面为零势能面，则（）A．小球在位置A的重力势能为0.2J B．小球在位置B的机械能为零 C．小球在位置A的机械能小于在位置C的机械能 D．小球在位置B的机械能小于在位置C的机械能【解答】解：A、取位置B所在水平面为零势能面，则小球在位置A的重力势能为EpA＝﹣mghAB＝﹣0.2×10×0.1J＝﹣0.2J，故A错误；BD、不计空气阻力，小球从B到C，只受重力作用，所以小球的机械能守恒。由机械能守恒定律可知小球在位置B的机械能等于在位置C的机械能，小球在位置C时只有重力势能，则EB＝EC＝EpC＝mghBC＝0.2×10×0.3J＝0.6J，故BD错误；C、小球在位置A时只有重力势能，则小球在位置A的机械能为EA＝EpA＝﹣0.2J，小球在位置C的机械能为EC＝EpC＝mghBC＝0.2×10×0.3J＝0.6J，则知小球在位置A的机械能小于在位置C的机械能，故C正确。故选：C。（多选）（2024春•西城区期末）如图1所示，轻弹簧上端固定，下端悬吊一个钢球，把钢球从平衡位置向下拉5cm，然后由静止释放。以钢球的平衡位置为坐标原点，竖直向上为正方向建立x轴，当钢球在振动过程中某一次经过平衡位置时开始计时，钢球运动的位移—时间图像如图2所示。已知钢球振动过程中弹簧始终处于拉伸状态，有关t1和t2两个时刻，下列说法正确的是（）A．钢球的加速度大小相等 B．钢球受到的弹簧弹力大小相等 C．钢球的动能相等 D．钢球的机械能相等【解答】解：A．根据简谐运动的加速度为a=-则t1和t2两个时刻离开平衡位置的位移x大小相等，则加速度大小相等，故A正确；B．钢球受到的弹簧弹力大小为F＝kx1其中x1为弹簧的形变量，t1和t2两个时刻离开平衡位置（mg＝kx0）的位移x大小相等，则形变量不相同，弹力不相等，故B错误；C．t1和t2两个时刻是关于平衡位置的对称点，根据简谐运动的对称性可知，两个时刻的速度大小相等，则钢球的动能相等，故C正确；D．t1和t2两个时刻钢球的动能相等，而重力势能因高度不同不等，则钢球的机械能不相等，故D错误。故选：AC。请阅读下述文字，完成第11题、第12题、第13题、第14题、第15题。把质量是0.2kg的小球放在竖立的弹簧上，并把小球往下按至A的位置，如图甲所示。由静止释放小球，弹簧把小球弹起，小球升至最高位置C（图乙），途中经过位置B时弹簧正好处于自由状态。已知B、A的高度差为0.1m，C、B的高度差为0.2m，忽略弹簧质量和空气阻力，g取10m/s2。小球由位置A向位置C运动的过程中（）A．小球动能和重力势能之和先减小后增加 B．小球动能和重力势能之和先增加后减小 C．弹簧弹性势能和小球重力势能之和先减小后增加 D．弹簧弹性势能和小球动能之和先增加后减小【解答】解：AB.针对弹簧和小球组成的系统，整个过程满足机械能守恒，即小球的动能、重力势能、和弹簧的弹性势能之和是一个定值，在小球由A向C的运动过程中，弹簧形变量逐渐减小，最后恢复原长，形变量为0，说明弹性势能先一直减小，后来保持为0，故小球动能和重力势能之和一直增大，B位置后保持不变，故AB错误；C.小球上升过程中动能先增大后减小，则弹簧弹性势能和小球重力势能之和先减小后增加，故C正确；D.小球上升过程中重力势能一直增加，则弹簧弹性势能和小球动能之和一直减小，故D错误。故选：C。题型3简档运动过程中速度、加速度（2024•马鞍山三模）一质点做简谐运动的振动图象如图所示，t＝2s时，质点的（）A．速度为正的最大值，加速度为零 B．速度为负的最大值，加速度为零 C．速度为零，加速度为正的最大值 D．速度为零，加速度为负的最大值【解答】解：由图可知，在t＝2s时刻，质点的位移为0，则速度为最大，t＝2s时刻位移由正转为负，可知质点运动的方向为负；在t＝2s时刻，质点的位移为0，则恢复力等于0，根据牛顿第二定律可知加速度等于0，故B正确，ACD错误。故选：B。（2024•郑州模拟）一质点做简谐运动，其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系图线如图所示，由图可知（）A．该简谐运动的周期是2.5×10﹣2s，振幅是7cm B．该简谐运动的表达式可能为x=7sin(100πt+3πC．t＝0.5×10﹣2s时振子的速度最大，且方向向下 D．t＝0.25×10﹣2s时振子的位移为﹣5cm【解答】解：A、由题图可知：周期T＝2×10﹣2s，振幅A＝7cm，故A错误；B、振子的圆频率ω=2πT=2π2×10-2rad/s=100πrad/s，且t＝0时位移为x＝﹣7cm，所以表达式为x＝7sinCD、当t＝0.5×10﹣2s时，振子在平衡位置，其速度最大，速度正向且为最大值；当t＝0.25×10﹣2s时，其位移为x=7sin(100π×0.25×1故选：B。（2024•南明区校级一模）如图所示，一质点在B、C两点之间做简谐运动，BC＝10cm，BC的中点O为平衡位置（即位移为零的位置），取向右为正方向，质点的位移—时间关系式为x＝5cos（10πt）cm，则（）A．t＝0.1s时，质点在O点 B．t＝0.2s时，质点的加速度为0 C．0～0.1s内，质点的加速度方向与速度方向始终相同 D．t＝0.12s时，质点正向右运动【解答】解：AB、当t＝0.1s时，有x＝5cos（10π×0.1）cm＝﹣5cm，此时质点在B点；当t＝0.2s时，有x＝5cos（10π×0.2）cm＝5cm，质点在C点，加速度最大，故AB错误；C、0﹣0.1s内质点由C点运动到B点，质点的加速度方向与速度方向先相同再相反，故C错误；D、t＝0.12s时，质点由B点正向O点运动，即质点正向右运动，故D正确。故选：D。（2024•昌平区二模）如图所示，粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在水杯中。将木筷竖直提起一段距离，然后由静止释放并开始计时，木筷就在水中上下振动，在一段时间内木筷在竖直方向可近似看作简谐运动。若取竖直向上为正方向，图中描述木筷振动的图像正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：设木筷的横截面积为S，质量为m，水的密度为ρ，静止时水下长度为x0，根据平衡条件得：ρgSx0＝mg，设向下压的距离为x，木筷受到的浮力：F浮＝ρgS（x0+x）木筷受到的合力：F＝mg﹣F浮＝﹣ρgSx令ρgs＝k，则木筷所受合力：F＝﹣kx，木筷在水中的运动为简谐运动，其位移x＝﹣Acosωt，故ABD错误，C正确。故选：C。（2024春•太原期末）如图所示，轻弹簧竖直自然放置，下端固定在水平地面上。质量为m的小球在弹簧正上方一定高度处由静止释放，小球从接触弹簧并竖直向下运动到最低点的过程中，下列选项正确的是（）A．小球的机械能守恒 B．小球的动能一直减小 C．弹力对小球先做正功，后做负功 D．小球在最低点受到的弹力一定大于2mg【解答】解：A.对小球而言，除了受重力还要受弹力，则机械能不守恒；故A错误。B.根据牛顿第二定律可知，物体接触弹簧开始，动能先增加，当a＝0之后，动能又会减小；故B错误。C.由于小球一直压缩弹簧，弹簧对小球弹力一直竖直向上，则弹力一直做负功；故C错误。D.假设接触弹簧时速度为零，则由能量守恒可得弹力等于2mg，但是此题初速度不为零，将导致最后的弹力一定大于2mg；故D正确。故选：D。（2024春•温州期末）如图为某物体做简谐运动的图像，则（）A．0.6s时的速度与0.8s时的速度相同 B．0.6s时的回复力与0.8s时的回复力相同 C．0.5s时的势能小于0.6s时的势能 D．0.5s时的加速度小于0.6s时的加速度【解答】解：A.由图可知，0.6s和0.8s时刻偏离平衡位置的距离相等，即速度方向也相同，则速度相同；故A正确。和0.8s时刻回复力大小相等，方向相反，回复力为矢量，则回复力不相同；故B错误。比0.6s偏离平衡位置距离大些，则势能大些；故C错误。比0.6s偏离平衡位置距离大些，则加速度大些；故D错误。故选：A。（2024春•成都期末）如图甲，以O点为平衡位置，弹簧振子在A、B两点间做简谐运动，图乙为该弹簧振子的振动图像，其中，取O点为原点，水平向右为正方向。下列说法正确的是（）A．t＝0.2s时，小球的加速度为正向最大 B．t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，小球的速度相同 C．t＝0到t＝0.2s内，小球做加速度增大的减速运动 D．t＝0.4s时，弹簧振子有最大的弹性势能【解答】解：A．在t＝0.2s时，由图可知小球的位移为正向最大，由牛顿第二定律得：a=-kxmB．在t＝0.1s振子正向正方向振动，t＝0.3s时正向负方向振动，弹簧振子速度不相同，故B错误；C．从t＝0到t＝0.2s时间内，小球远离平衡位置朝正方向运动，做加速度增大的减速运动，故C正确；D．在t＝0.4s时，小球处于平衡位置，弹簧的形变量为零，弹簧振子的弹性势能为零，故D错误。故选：C。（2024•东湖区校级三模）如图所示为甲、乙弹簧振子的振动图像，则两弹簧振子的最大速度之比为（）A．1：1 B．2：1 C．4：1 D．8：1【解答】解：根据弹簧振子的周期公式：T=2π可得m简谐振动的过程中总能量守恒，则振子的最大动能等于弹簧的最大弹性势能，即1联立可得v由图可知T乙＝2T甲，A甲＝2A乙则：v故C正确，ABD错误。故选：C。（2024•广东模拟）如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一质量为m，可视为质点的小球，将小球托起至O点，弹簧恰好处于原长，松手后小球在竖直方向做简谐运动，小球最远能到达B点，A点为OB的中点，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（）A．小球在O点时的机械能最小 B．小球经过A点时的加速度大小为g C．小球在B点时受到的弹力大小为2mg D．O、B两点间的距离为mg【解答】解：A．小球与弹簧组成的系统机械能守恒，小球在O点时弹簧处于原长，弹簧的弹性势能为零，小球的机械能最大，故A错误；B．A点为小球的平衡位置，小球经过A点时的加速度大小为0，故B错误；C．小球在B点时受到的弹力大小为FB，小球在O点时仅受重力作用，加速度大小为g，根据对称性可知，小球在B点时的加速度a大小也为g，根据牛顿第二定律得：FB﹣mg＝ma解得：FB＝2mg，故C正确；D．小球在A点时加速度为零，则mg＝kxOAO、B两点间的距离为：xOB＝2xOA联立解得：xOB=2mg故选：C。（2024春•沙坪坝区校级期中）如图所示为一质点做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是（）A．质点振动周期为0.4s B．质点在0.8s内走过的路程为40cm C．0至0.4s时间内，质点加速度始终沿x轴负方向 D．在0～0.2s时间内，速度方向与加速度方向相同【解答】解：A．由图可知质点振动周期为0.8s，故A错误；B．由图可知质点的振幅A为10cm，质点在0.8s内走过的路程为：s＝4A代入数据得：s＝40cm，故B正确；C．0至0.4s时间内，位移始终为负，回复力始终与位移方向相反，由牛顿第二定律可知，质点加速度始终沿x轴正方向，故C错误；D．图线的斜率表示运动的速度，在0～0.2s时间内，速度沿x轴负方向，质点正在远离平衡位置，而回复力始终指向平衡位置，由牛顿第二定律可知，加速度沿x轴正方向，速度方向与加速度方向相反，故D错误。故选：B。（2023秋•平度市校级期末）如图甲，一质量为m的物体B放在水平面上，质量为2m的物体A通过一轻弹簧与其