考点17切线的性质和判定-2022四川中考数学试题分类汇编

考点17:切线的性质和判定1.（2022自贡）为⊙外一点，与⊙相切于点，，，则的长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】连接OT，根据切线的性质求出求，结合利用含的直角三角形的性质求出OT，再利用勾股定理求得PT的长度即可．【详解】解：连接OT，如下图．

∵与⊙相切于点，∴．∵，，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了切线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，求出OT的长度是解答关键．2.（2022达州）如图，在中，，点O为边上一点，以为半径的⊙与相切于点D，分别交，边于点E，F．

（1）求证：平分；（2）若，，求⊙的半径．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到，继而证明，再根据等腰三角形的性质，进而得出，即可得出结论；（2）连接DE，根据直径所对圆周角是直角可得，继而证明，根据相似三角形的性质及锐角三角函数即可求解．【小问1详解】

连接OD，，以为半径的⊙与相切于点D，，，，，，，平分；【小问2详解】

连接DE，AE是直径，，，，，，，，，解得，，⊙的半径为．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质及锐角三角函数，熟练掌握知识点并准确作出辅助线是解题的关键．3.（2022德阳）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．（1）求证：是的切线；（2）如果，，①求的长；②求的面积．【答案】（1）证明过程见详解（2）①②【解析】【分析】（1）连接OC、BC，根据垂径定理得到AB平分弦CD，AB平分，即有∠BAD=∠BAC=∠DCB，再根据∠ECD=2∠BAD，证得∠BCE=∠BCD，即有∠BCE=∠BAC，则有∠ECB=∠OCA，即可得∠ECB+∠OCB=90°，即有CO⊥FC，则问题得证；（2）①利用勾股定理求出OH、BC、AC，在Rt△ECH中，，在Rt△ECO中，，即可得到，则问题得解；②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，先证△PAF∽△HAC，再证明△PEF∽△HEC，即可求出PF，则△PEF的面积可求．【小问1详解】连接OC、BC，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，AO=OB，∵AB⊥CD，∴AB平分弦CD，AB平分，∴CH=HD，，∠CHA=90°=∠CHE，∴∠BAD=∠BAC=∠DCB，∵∠ECD=2∠BAD，∴∠ECD=2∠BAD=2∠BCD，∵∠ECD=∠ECB+∠BCD，∴∠BCE=∠BCD，∴∠BCE=∠BAC，∵OC=OA，∴∠BAC=∠OCA，∴∠ECB=∠OCA，∵∠ACB=90°=∠OCA+∠OCB，∴∠ECB+∠OCB=90°，∴CO⊥FC，∴CF是⊙O的切线；【小问2详解】①∵AB=10，CD=6，∴在（1）的结论中有AO=OB=5，CH=HD=3，∴在Rt△OCH中，，同理利用勾股定理，可求得，，∴BH=OBOH=54=1，HA=OA+OH=4+5=9，即HE=BH+BE，在Rt△ECH中，，∵CF是⊙O的切线，∴∠OCB=90°，∴在Rt△ECO中，，∴，解得：，∴，②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，如图，∵∠BAD=∠CAB，∠CHA=90°=∠P，∴△PAF∽△HAC，∴，即，∴，∵∠PEF=∠CEH，∠CHB=90°=∠P，∴△PEF∽△HEC，∴，即，∵HB=1，，，，∴，解得：，∴，故△AEF的面积为．【点睛】本题主要考查了垂径定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．利用相似三角形的性质是解题的难点．4.（2022广安）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD．（1）求证：CD是⊙O切线．（2）若tan∠BED=，AC=9，求⊙O的半径．【答案】（1）见详解（2）【解析】【分析】（1）连接OD，只要证明，则有，即可证明结论成立；（2）由圆周角定理，求得，然后证明△ACD∽△DCB，求出CD的长度，再根据勾股定理，即可求出答案．【小问1详解】证明：连接OD，如图∵AB为⊙O的直径，∴，∴，∵OA=OD，∴，∵∠BDC=∠BAD，∴，∴，∴，∴CD是⊙O的切线．【小问2详解】解：∵，∴，∵△ABD是直角三角形，∴，∵，，∴△ACD∽△DCB，∴，∵，∴，∴，在直角△CDO中，设⊙O的半径为，则，∴，解得：；∴⊙O的半径为；【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的理解题意，从而进行解题．5.（2022广元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O半径．【答案】（1）见详解（2）【解析】【分析】（1）连接OD，OE，由题意易得OE∥AB，∠A=∠ODA，则有∠A=∠COE=∠DOE=∠ODA，然后可得△COE≌△DOE，进而问题可求证；（2）连接CD，由题意易得∠ADC=90°，然后可证△ADC∽△CDB，则有，进而可得CD=6，最后利用勾股定理可求解．【小问1详解】证明：连接OD，OE，如图所示：∵，∴∠A=∠ODA，∵点E是边BC的中点，∴OE∥AB，∴∠DOE=∠ODA，∠A=∠COE，∴∠DOE=∠COE，∵，∴△COE≌△DOE（SAS），∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝∠ACB＝90°，∴DE是⊙O的切线；【小问2详解】解：连接CD，如图所示：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB，∴，即，∵AD＝4，BD＝9，∴，∴，在Rt△ADC中，由勾股定理得：，∴⊙O的半径为．【点睛】本题主要考查切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．6.（2022乐山）如图，线段AC为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，=，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．连结CE交DF于点G．（1）求证：CG=DG；（2）已知⊙O的半径为6，，延长AC至点B，使．求证：BD是⊙O的切线．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连接AD，得到∠ADF+∠FDC=90°，由DF⊥AC，得到∠ADF+∠DAF=90°，再由=，可推出∠DCE=∠FDC，即可证明CG=DG；（2）要证明BD是⊙O的切线，只要证明OD⊥BD，只要证明BD∥CE，通过计算求得sin∠B=，即可证明结论．【小问1详解】证明：连接AD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，则∠ADF+∠FDC=90°，∵DF⊥AC，∴∠AFD=90°，则∠ADF+∠DAF=90°，∴∠FDC=∠DAF，∵=，∴∠DCE=∠DAC，∴∠DCE=∠FDC，∴CG=DG；【小问2详解】证明：连接OD，设OD与CE相交于点H，∵=，∴OD⊥EC，∵DF⊥AC，∴∠ODF=∠OCH=∠ACE，∵，∴sin∠ODF=sin∠OCH=，即=，∴OF=，由勾股定理得DF=，FC=OCOF=，∴FB=FC+BC=，由勾股定理得DB==8，∴sin∠B==，∴∠B=∠ACE，∴BD∥CE，∵OD⊥EC，∴OD⊥BD，∵OD是半径，∴BD是⊙O的切线．【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的判定及圆中的相关计算是解题的关键．7.（2022凉山州）如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6（1）判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；（2）求AB的长；（3）连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．【答案】（1）⊙M与x轴相切，理由见解析（2）6（3）y=x+【解析】【分析】（1）连接CM，证CM⊥x即可得出结论；（2）过点M作MN⊥AB于N，证四边形OCMN是矩形，得MN=OC，ON=OM=5，设AN=x，则OA=5x，MN=OC=6(5x）=1+x，利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再由垂径定理得AB=2AN即可求解；（3）连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，得直角三角形BCD，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，所以OB=8，C（4，0），在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，求得BC=，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，求得CD=2，在Rt△CPD和在Rt△MPD中，由勾股定理，求得CP=，PD=，从而得出点D坐标，然后用待定系数法求出直线CD解析式即可．【小问1详解】解：⊙M与x轴相切，理由如下：连接CM，如图，∵MC=MA，∴∠MCA=∠MAC，∵AC平分∠OAM，∴∠MAC=∠OAC，∴∠MCA=∠OAC，∵∠OAC+∠ACO=90°，∴∠MCO=∠MCA+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°，∵MC是⊙M的半径，点C在x轴上，∴⊙M与x轴相切；【小问2详解】解：如图，过点M作MN⊥AB于N，由（1）知，∠MCO=90°，∵MN⊥AB于N，∴∠MNO=90°，AB=2AN，∵∠CON=90°，∴∠CMN=90°，∴四边形OCMN是矩形，∴MN=OC，ON=CM=5，∵OA+OC=6，设AN=x，∴OA=5x，MN=OC=6(5x）=1+x，在Rt△MNA中，∠MNA=90°，由勾股定理，得x2+(1+x)2=52，解得：x1=3，x2=4（不符合题意，舍去），∴AN=3，∴AB=2AN=6；【小问3详解】解：如图，连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，∴OB=8，C（4，0）在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，得BC=，∵BD是⊙M的直径，∴∠BCD=90°，BD=10，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，得CD=，在Rt△CPD中，由勾股定理，得PD2=CD2CP2=22CP2=4CP2，在Rt△MPD中，由勾股定理，得PD2=MD2MP2=MD2（MCMP）2=52（5CP）2=10CP+CP2，∴4CP2=10CPCP2，∴CP=，∴PD2=4CP2=4=，∴PD=，∴D（+4，），设直线CD解析式为y=kx+b，把C（4，0）,D（+4，）代入，得，解得：，∴直线CD的解析式为：y=x+．【点睛】本题考查直线与圆相切的判定，勾股定理，圆周角定理的推论，垂径定理，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握直线与圆相切的判定、待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．8.（2022绵阳）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．（1）求证：；（2）若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；（3）在（2）的条件下，求的面积．【答案】（1）见解析（2）3（3）【解析】【分析】（1）连接，利用垂径定理可得，由为⊙O的切线可得，由平行线的判定定理可得结论；（2）连接，，设，则，由可得，，在中，利用勾股定理可得，即；（3）连接，，设与交于点，利用可得，在中利用勾股定理可得，所以，又证明四边形为矩形，所以面积为矩形面积的一半，进而可得的面积．【小问1详解】解：证明：如图，连接，为劣弧的中点，，，又为⊙O的切线，，；【小问2详解】解：如图，连接，，设，则，为劣弧的中点，，，又，，，，，为⊙O的直径，，又⊙O的半径为，，由得，解得或（舍），；【小问3详解】解：如图，设与交于点，由（2）知，，，在中，，，，，又，，，，，为⊙O的直径，，由（1）可知，，四边形为矩形，，，．【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定与性质，矩形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握这些性质并能灵活运用是解题的关键．9.（2022南充）如图，为的直径，点C是上一点，点D是外一点，，连接交于点E．（1）求证：是的切线．（2）若，求的值．【答案】（1）见解析；（2）3【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据OA=OC推出∠BCD=∠ACO，即可得到∠BCD+∠OCB=90°，由此得到结论；（2）过点O作OF⊥BC于F，设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，BE=1.5x，勾股定理求出AC，根据OF∥AC，得到，证得OF为△ABC的中位线，求出OF及EF，即可求出的值．【小问1详解】证明：连接OC，∵为的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO,∵，∴∠BCD=∠ACO，∴∠BCD+∠OCB=90°，∴OC⊥CD，∴是切线．【小问2详解】解：过点O作OF⊥BC于F，∵，∴设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，∴BE=BCCE=1.5x，∵∠C=90°，∴AC=，∵OA=OB，OF∥AC，∴，∴CF=BF=2x，EF=CECF=0.5x，∴OF为△ABC的中位线，∴OF=，∴=．【点睛】此题考查了圆周角定理，证明直线是圆的切线，锐角三角函数，三角形中位线的判定与性质，平行线分线段成比例，正确引出辅助线是解题的关键．10.（2022遂宁）如图，是的外接圆，点O在BC上，的角平分线交于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是的切线；（2）求证：∽；（3）若，，求点O到AD的距离．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）点O到AD的距离为【解析】【分析】（1）连接OD，证明，则，即可得证；（2）由，，可得，根据四边形ABDC为圆内接四边形，又，可得，即可证明∽；（3）过点O作于点E，由∽，根据相似三角形的性质可求得，证明∽，继而求得，在中，利用勾股定理即可求解．【小问1详解】证明：连接OD，∵AD平分，∴，∴．又∵BC为直径，∴O为BC中点，∴．∵，∴．又∵OD为半径，∴PD是的切线；【小问2详解】证明：∵，∴．∵，∴．∵四边形ABDC为圆内接四边形，∴．又∵，∴，∴∽．【小问3详解】过点O作于点E，∵BC为直径，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴．由（2）知∽，∴，∴，∴．又∵，，∴∽，∴，∴，∴．∵，∴．在中，，∴点O到AD的距离为．【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．11.（2022雅安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）连接CE，求证：△ACE∽△ADC；（3）若＝，⊙O的