专题08椭圆中最值范围五种考法

专题08椭圆中最值范围五种考法目录TOC\o"13"\h\z\u解题知识必备 1压轴题型讲练 1类型一、线段最值……………………1类型二、面积最值 4类型三、一元参数范围 8类型四、二元参数范围 11类型五、与其他章节融合……………13压轴能力测评（10题） 181.求最值及问题常用的两种方法：（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决；（2）代数法：题中所给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值，求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等。2.求范围及问题常用的两种方法：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．类型一、线段最值与范围例．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于P，Q两点，的周长为8，焦距为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与圆相切，且与交于不同的两点R，S，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由的周长结合椭圆的定义得出，再由的关系求出，进而得出椭圆的方程；（2）当直线斜率不存在时，，当直线斜率存在时，设直线的方程为，由直线与圆相切，得，再联立方程组，由弦长公式求最值.【详解】（1）因为的周长为8，所以，解得，焦距为，，所以，所以椭圆E的方程为．（2）由（1）可知圆，当直线斜率不存在时，为或，当时，，则，当时，同理，当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，因为直线与圆相切，所以，则，设，联立椭圆于直线方程，消元得，所以，由，得,,令，则，由，所以当时，，而时，单调递减，所以，所以.【变式训练1】现有一“v”型的挡板如图所示，一椭圆形物件的短轴顶点被固定在A点．物件可绕A点在平面内旋转．AP间距离可调节且与两侧挡板的角度固定为60°．已知椭圆长轴长为4，短轴长为2．

，在某个角度固定椭圆，则当椭圆不超过挡板时AP间距离最短为多少；【答案】【详解】由题意，如图，该椭圆的方程为，，分别为椭圆的2条切线，切点分别为，设直线的斜率分别为.设，当时，其中1个不存在，另1个趋于；当时，设过点P的直线为，，所以，整理，得，①由是方程①的2个实根，得，所以，又，所以，当时，点P在圆的外部，则，此时；当时，点P在圆的内部，则，此时，所以.又或，所以或，整理，得或.要求的最小值，只需考虑为钝角的情况，即且，得.令，则且，即，解得，所以，所以，当且仅当三点共线时等号成立.故，得.综上，的最小值为.类型二、面积最值与范围例．是椭圆的右焦点，其中.点、分别为椭圆的左、右顶点，圆过点与坐标原点，是椭圆上异于、的动点，且的周长小于.(1)求的标准方程；(2)连接与圆交于点，若与交于点，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得出，由椭圆的定义结合三点共线可得出的周长小于，可得出关于的不等式，结合可求得，即可求得、的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设，可得出，求出点、的横坐标，利用三角形的面积公式可得出关于的表达式，结合可求得结果.【详解】（1）解：因为圆过点与坐标原点，.设的左焦点为，则的周长，所以，，则，且，故，所以，，.因此，椭圆的坐标方程为.（2）解：设，其中，其中，且，直线的斜率为，所以，直线的方程为，同理可知直线的方程为，又，所以，直线的方程为.联立直线、的方程，可得，解得，联立直线、的方程，可得，解得.所以，.【变式训练1】如图，已知圆的左顶点，过右焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当直线轴时，.(1)求椭圆C的方程；(2)记的面积分别为，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由顶点坐标得，再由通径长得，从而得椭圆方程；（2）设直线方程为，设，，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，求出的范围，解不等式得的范围，从而得出结论．【详解】（1）由已知，当直线轴时，是椭圆的通径，所以，，椭圆方程为；（2）由（1）得，即，由题意直线斜率不可能为0，设直线方程为，设，由得，，，，时，，，时，，记，显然，则，解得，，综上，，所以【变式训练2】已知是椭圆的左右焦点，以为直径的圆和椭圆在第一象限的交点为，若三角形的面积为1，其内切圆的半径为．(1)求椭圆的方程；(2)已知A是椭圆的上顶点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，点在第二象限，直线分别与轴交于，求四边形面积的最大值．【答案】(1)(2)4【分析】（1）根据三角形的面积及内切圆的半径列出方程组求得得椭圆方程；（2）设直线的方程与椭圆方程联立，，写出直线的方程求出的坐标，并求出，，将表示为的函数，使用基本不等式求最大值.【详解】（1）由题意知，则，又，则，又，解得，所以椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为联立方程组，可得，则，直线的方程：，所以，同理，，，，当且仅当时，四边形的面积最大，最大值为4．类型三、一元参数范围例．已知，分别为椭圆的左、右焦点，设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且．若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围．【答案】【分析】设，，则，结合平行四边形OAED，可得，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理可得，．进而得到，从而求解.【详解】设，，则．四边形OAED为平行四边形，，．点A，B，E均在椭圆C上，，，．，．．由消去y，得．显然．，．．，因为，所以，即，所以，即，【变式训练1】已知椭圆，倾斜角为的直线过椭圆的左焦点和上顶点B，且（其中A为右顶点）.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件，列出关于的方程组，即可求椭圆方程；（2）讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，联立方程，将向量关系，转化为坐标关系，并利用韦达定理消元整理，并根据，求解.【详解】（1）由题可知解得故椭圆的方程为.（2）当直线l的斜率不存在时，设，，，由，，得，同理，当,时，得，所以，当直线l的斜率存在时，即时，设直线的方程为，联立消去y得.因为直线l与椭圆C交于不同的两点P、Q，所以，即①.设，则②，则，由，得③，③代入②得，化简整理得④，将④代入①得，化简得，解得或.综上，m的取值范围为【变式训练2】已知椭圆的上下两个焦点分别为，过点与轴垂直的直线交椭圆于两点，的面积为，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围.【答案】(1)(2)（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}【分析】（Ⅰ）根据题目条件，由椭圆焦点坐标和对称性计算的面积，建立等式关系，结合关系式，离心率计算公式，问题可得解；（Ⅱ）由题意，可分直线是否过原点，对截距进行分类讨论，再利用椭圆对称性、向量共线、直线与椭圆有交点等性质、条件进行运算即可.【详解】（Ⅰ）根据已知椭圆的焦距为，当时，，由题意的面积为，由已知得，∴，∴，∴椭圆的标准方程为．（Ⅱ）若，则，由椭圆的对称性得，即，∴能使成立．若，由，得，因为，，共线，所以，解得．设，，由得，由已知得，即，且，，由，得，即，∴，∴，即．当时，不成立，∴，∵，∴，即，∴，解得或．综上所述，的取值范围为．类型四、二元参数范围例．已知椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为，为椭圆上一点，且.(1)求椭圆的方程；(2)过的直线与椭圆交于两点（其中点位于轴上方），记直线的斜率分别为，求的最小值.【答案】(1);(2)【分析】（1）根据椭圆的定义直接求解即可；（2）设直线，，，将椭圆方程与直线方程联立，利用韦达定理求解即可.【详解】（1）由于椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上，且，所以根据椭圆定义可知，，则，所以椭圆的方程为：.（2）由题意可知直线斜率不为0，设直线，，，联立可得，则得，，所以，由于点位于轴上方，所以均大于，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．【变式训练1】已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：由题意可得，，，设.表示出，然后根据椭圆的范围即可求出范围；解法二：由题意可得，，，设，取线段AF的中点，可推得，然后根据椭圆的范围即可求出范围.【详解】解法一：由题意知，，设.则.因为，所以，所以，所以．解法二：由题意知，．设，取线段AF的中点N，则，连接MN.则.因为，所以，所以，所以．故选：D．类型五、与其他章节融合例．已知O为坐标原点，不经过点O的直线l与椭圆交于A，B两点，M为线段的中点，线段的中垂线与x轴的交点为N，则的正切值的最大值为.【答案】【分析】设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，求得，利用到角公式可得答案.【详解】由已知得直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为所以得，设，所以，，，则，，由，当时，，当且仅当即等号成立.当时，，不合题意故答案为：.【变式训练1】已知点F为椭圆的左焦点，O为坐标原点，过椭圆的右顶点作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为．【答案】【分析】设，由求出，结合正切的差角公式及基本不等式求得，解不等式即可求得离心率的取值范围.【详解】设，其中，右顶点为，由，则，，又由，有，又由，有，当且仅当时取等，整理为，可得，解得．故答案为：.【变式训练2】已知椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数，椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，且.(1)求椭圆的方程；(2)当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点时，设，求的取值范围.【答案】(1);(2)【分析】（1）根据向量数量积得到关系式，结合离心率以及求解出，则椭圆方程可求；（2）设出坐标，根据向量共线表示出对应坐标关系，再利用点差法结合已知坐标关系进行化简从而得到关于的表示，根据椭圆的有界性可求的范围.【详解】（1）设点的坐标分别为，又点的坐标为，且，所以，解得，所以椭圆的方程为.（2）设，则依据得，整理得，又，故，得，即，当时，此时，即重合，显然不成立，所以，所以，即，又，得，又，故，且，故实数的取值范围为.【变式训练3】已知复数z在复平面内对应的点为，，Z的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)若，，过F的直线交C于，两点，且平分，求直线的方程.【答案】(1);(2)【分析】（1）设复数，根据题意建立等式求解即可；（2）设直线，根据题意直线与曲线联立方程求解即可.【详解】（1）设，则，所以，整理得，即C的方程为.（2）由题意知，直线的斜率不为0，设，，，联立得，，所以，；①由平分知，即，又，则，整理得，代入①式得，所以.所以直线的方程为.1．已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可．【详解】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，解得b，故选D．2．已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l与E交于A，B两点，则下列说法正确的是（

）A．若直线l垂直于x轴，则 B．C．若，则直线l的斜率为 D．若，则【答案】B【分析】求出椭圆E的左焦点，设出直线l的方程并与椭圆方程联立，逐项计算判断作答.【详解】依题意，椭圆的左焦点为，设，对于A，轴，直线，由得：，则，A错误；对于B，l不垂直于x轴时，设l的方程为，由消去y并整理得：，则，，，显然，于是得，由选项A知，当轴时，，因此，B正确；对于C，当时，由选项B得，解得，C错误；对于D，因，有，则，即，而，，同理，则有，即，于是得，因此，D错误.故选：B3．设分别是椭圆的左、右焦点，设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），则直线l的斜率k的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】(1)求出椭圆的a、b、c，设，利用平面数量积的坐标表示和即可求解；(2)设直线的方程和，联立椭圆方程，根据和为锐角可得，结合韦达定理代入化简计算即可求解.【详解】（1）由题意知，，所以，设，则，又，有，解得，所以；（2）显然不满足题意，设直线的方程为，设，，，解得，①，则，又为锐角，则，即，，所以，解得，②由①②，解得或，所以实数k的取值范围为故选：C4．（多选）已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为、，椭圆的上顶点和右顶点分别为A、B，点P、Q都在上，且，则下列说法正确的是（

）A．周长的最小值为14B．四边形可能是矩形C．直线，的斜率之积为定值D．的面积最大值为【答案】ACD【分析】对四个选项一一判断：对于A：利用椭圆的对称性，判断出PQ为椭圆的短轴时，周长最小.即可判断；对于B：判断出，从而四边形不可能是矩形.即可判断；对于C：设，直接计算出.即可判断；对于D.由的面积为.即可判断.【详解】由，可知P，Q关于原点对称.对于A.根据椭圆的对称性，，当PQ为椭圆的短轴时，有最小值6，所以周长的最小值为14.故A正确；对于B.因为，所以，则，故椭圆上不存在点，使得，又四边形是平行四边形，所以四边形不可能是矩形.故B不正确.对于C.由题意得，设，则，所以.故C正确；对于D.设的面积为，所以当PQ为椭圆的短轴时，最大，所以.故D正确.故选：ACD.5．（多选）已知椭圆的左､右顶点分别为，左焦点为为上异于的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则（

）A．存在点，使B．C．的最小值为D．周长的最大值为8【答案】BCD【分析】对于A，判断与的大小即即可；对于B,设，，，利用坐标分别求出等式左右验证即可；对于C，求出，利用二次函数求最值即可；对于D，利用椭圆的定义，转化求的最大值，即可.【详解】对于A,设椭圆的上顶点为，则直角三角形中，，则，故A错误；对于B，设，则，，且，即，又,则，又，故，则B正确；对于C，，，，则当时，取最小值为，故C正确；对于D，设椭圆的右焦点为,的周长为：,当且仅当三点共线时，等号成立，故D正确，故选：BCD.6．（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，则（

）A．△ABF2的周长为定值 B．AB的长度最小值为1C．若AB⊥AF2，则λ=3 D．λ的取值范围是[1，5]【答案】AC【详解】因为，则三点共线，周长是定值，A对．，B错．∵，则，A在上、下顶点处，不妨设，则解得或，，，，C对．令消x可得，时，时，∴，D错．故选：AC.7．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点A在椭圆E上且在第一象限内，，点A关于y轴的对称点为点B，在x轴上任取一点P，直线与直线相交于点Q，则的最大值为_______________；【答案】3【详解】由椭圆的左，右焦点分别为，，设，因为，可得，整理得，又因为，联立方程组，解得，，所以点点坐标为.设P点坐标为，则可得Q点坐标为，由，当时，取最大值，最大值为.故答案为：38．已知椭圆E：的焦距为，且经过点．(1)求椭圆E的标准方程：(2)过椭圆E的左焦点作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求的最大值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）由待定系数法求解析式；（2）设出直线方程，由韦达定理法及导数法求得两切线方程，即可联立两切线方程解得交点M，再由弦长公式及两点距离公式表示出，进而讨论最值.【详解】（1）由题意得，所以，即椭圆方程为；（2）当直线l斜率为0时，A，B分别为椭圆的左右顶点，此时切线平行无交点．故设直线l：，由，得．，，.不妨设在x轴上方，则在x轴下方．椭圆在x轴上方对应方程为，，则A处切线斜率为，得切线方程为，整理得.同理可得B处的切线方程为．由得，代入①得，所以．因为，所以设，则，则，当且仅当，即时，的最大值是2．另解：当直线l的斜率存在时，设l：，由得，所以，，，椭