专题2.4等腰三角形（举一反三）（浙教版）（原卷版）

专题2.4等腰三角形【八大题型】【浙教版】TOC\o"13"\h\u【题型1利用等腰三角形的性质求角度】 1【题型2利用等腰三角形的性质求线段长度】 2【题型3等腰三角形中的多结论问题】 3【题型4利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的个数】 4【题型5等腰三角形的证明】 5【题型6等腰三角形中的新定义问题】 6【题型7等腰三角形中的规律问题】 7【题型8等腰三角形中的动点问题】 9【知识点1等腰三角形】（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.【题型1利用等腰三角形的性质求角度】【例1】（2022•南关区校级开学）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（）A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30°【变式11】（2022秋•南昌期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABM＝∠CBN，MN＝BN，则∠MBC的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°【变式12】（2022春•柯桥区期末）在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC＝α，∠BAD＝β，且AB＝AC＝CD，则β与α之间不可能存在的关系式是（）A．β＝90°-32α B．β＝180°-32α C．β=32α-90°【变式13】（2022春•抚州期末）已知∠ABC＝30°，点P是射线BC上一动点，把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，当△ABP是等腰三角形时，∠ABD的度数为．【题型2利用等腰三角形的性质求线段长度】【例2】（2022春•源城区期末）已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（）A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cm【变式21】（2022秋•蚌埠期末）已知等腰三角形的周长是20，其中一边长为6，则其它两边的长度分别是（）A．6和8 B．7和7 C．6和8或7和7 D．3和11【变式22】（2022春•温江区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC于F，连接BF，已知∠A＝48°，AB+BC＝15cm，求△BCF的周长和∠BFE度数．【变式23】（2022秋•仓山区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝2，EC＝7，求BF的长度．【题型3等腰三角形中的多结论问题】【例3】（2022秋•定陶区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式31】（2022秋•密山市期末）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF．其中正确的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①【变式32】（2022秋•覃塘区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在BA、BC的延长线上，∠EAC、∠ABC、∠ACF的平分线相交于点D．对于以下结论：①AD∥BC；②AD＝AC；③∠ADC＝∠ACB；④∠ADB与∠ADC互余．其中正确结论的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【变式33】（2022秋•北安市校级期末）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（）A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④【题型4利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的个数】【例4】（2022秋•顺义区期末）如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（）A．1 B．3 C．5 D．7【变式41】（2022秋•钟楼区期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，A、B、C、D、Q均为格点，点P是线段AD上的一个动点，在点P运动过程中存在个位置使得△BPQ是腰长为5的等腰三角形．【变式42】（2022秋•克东县期末）如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式43】（2022秋•鼓楼区校级期中）如图所示，在正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是个．【题型5等腰三角形的证明】【例5】（2022秋•镇赉县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H．①求证：△APF是等腰三角形；②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．【变式51】（2022秋•鄂州期末）如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE，求证：△ABC是等腰三角形．【变式52】（2022春•乳山市期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°．BE，CF交于点P，且分别平分∠ABC，∠ACB．（1）求∠BPC的度数；（2）连接EF，求证：△EFP是等腰三角形．【变式53】（2022秋•海沧区期末）定义：一个三角形，若过一个顶点的线段将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在△ABC中，∵AD⊥BC于D，且BD＝AD，∴△ACD是直角三角形，△ABD是等腰三角形，∴△ABC是等直三角形，AD是△ABC的一条等直分割线段．（1）如图2，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，请说明AD是△ABC的一条等直分割线段；（2）若△ABC是一个等直三角形，恰好有两条等直分割线，∠B和∠C均小于45°，求证：△ABC是等腰三角形．【题型6等腰三角形中的新定义问题】【例6】（2022春•高新区期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角度数是另一内角度数12，我们称这样的三角形为“半角三角形”．若等腰△ABC为“半角三角形”，则△ABC的顶角度数为【变式61】（2022秋•亳州期末）定义：过△ABC的一个顶点作一条直线m，若直线m能将△ABC恰好分成两个等腰三角形，则称△ABC为“奇妙三角形”．如图，下列标有度数的四个三角形中，不是“奇妙三角形”的是（）A． B． C． D．【变式62】（2022秋•苏州期末）定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值k（k＞1）称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC中，∠A＝36°，则它的优美比k为（）A．32 B．2 C．52 D【变式63】（2022秋•海安市校级月考）定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，△ABC中，∠A＝36°，∠B为钝角，则使得△ABC是特异三角形所有可能的∠B的度数为．【题型7等腰三角形中的规律问题】【例7】（2022秋•咸丰县期末）等腰三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A（﹣6，0），B在原点，CA＝CB＝5，把等腰三角形ABC沿x轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②，…，依此规律，第23次翻转后点C的横坐标是．【变式71】（2022秋•克东县期末）在如图①所示的钢架∠MAN中，需要焊上等长的钢条来加固钢架．若自左至右摆放，只能摆放7根，且AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P7P8．为了进一步加固该钢架，自点P8开始自右向左再焊上等长的钢条，如图②，且P8P9＝P9P10＝…＝P13P14＝AP14，则∠A的度数是（）A．不存在的 B．10° C．12° D．15°【变式72】（2022•长春模拟）如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CA＝CB．若n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上如图2所示，其张角度数变化如下：∠A1C1A2＝160°，∠A2C2A3＝80°，∠A3C3A4＝40°，∠A4C4A5＝20°，…．，根据上述规律请你写出∠An+1AnCn＝°．（用含n的代数式表示）【变式73】（2022秋•定西期末）如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点A1、B1，使OA1＝OB1，连接A1B1，在A1B1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2，…，按此规律下去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠An+1BnBn+1＝θn，则θn＝(2n-1)⋅180°+【题型8等腰三角形中的动点问题】【例8】（2022秋•涪城区校级期末）如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．【变式81】（2022春•花都区期末）“长度”和“角度”是几何学研究的核心问题．相交线与平行线的学习，让我们对“角度转化”有了深刻的体会．某数学兴趣小组受此启发，试图沟通“角度”与“长度”间的关系．在研究过程中他们发现了一条关于三角形的重要结论﹣﹣“等角对等边”，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．如右图，在△EBD中，若∠B＝∠D，则ED＝EB．以此为基础，该兴趣小组邀请你加入研究，继续解决如下新问题：在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），已知（a+3）2+b-3=0，点C（1）如图1，若∠ABC的角平分线交AC于点D，已知点D（﹣2，2），BC上有一点E（1，2）．则①DE与x轴的位置关系为；②求BE的长度；（2）如图2，AH、BH分别平分∠CAB、∠CBA，过H点作AB的平行线，分别交AC、BC于点F、G．若F（m，n），G（m+4，n），求四边形ABGF的周长；（3）当点C为x轴上方的一动点（不在y轴上）时，连接CA、CB．若∠CAB邻补角的角平分线和∠CBA的角平分线交于点P，过点P作AB的平行线，分别交直线AC、直线BC于点M、N．随着点C移动，图形状及点P、M、N的位置也跟着变化，但线段MN、AM和BN之间却总是存在着确定的数量关系，请直接写出这三条线段之间的数量关系．【变式82】（2022秋•定西期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．