湖北省荆州市松滋第四中学2025届数学高二上期末复习检测试题含解析

湖北省荆州市松滋第四中学2025届数学高二上期末复习检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为A. B.C. D.2．根据如下样本数据，得到回归直线方程，则x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0A. B.C. D.3．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.4．某学生2021年共参加10次数学竞赛模拟考试，成绩分别记为，，，…，，为研究该生成绩的起伏变化程度，选用一下哪个数字特征最为合适（）A.，，，…，的平均值； B.，，，…，的标准差；C.，，，…，的中位数； D.，，，…，的众数；5．如图，在平行六面体中，设，，，用基底表示向量，则（）A. B.C. D.6．设AB是椭圆（）的长轴，若把AB一百等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、…、P99，F1为椭圆的左焦点，则的值是（）A. B.C. D.7．在三棱锥中，，，则异面直线PC与AB所成角的余弦值是（）A. B.C. D.8．某机构通过抽样调查，利用列联表和统计量研究患肺病是否与吸烟有关，计算得，经查对临界值表知，，现给出四个结论，其中正确的是（）A.因为，故有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关"B.因为，故有95%把握认为“患肺病与吸烟有关”C.因为，故有90%的把握认为“患肺病与吸烟无关”D.因为，故有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”9．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.10．已知数列满足，若.则的值是（）A. B.C. D.11．等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，且则的实轴长为A.1 B.2C.4 D.812．已知双曲线的焦点在y轴上，且实半轴长为4，虚半轴长为5，则双曲线的标准方程为（）A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．i为虚数单位，复数______14．函数单调增区间为______.15．直线的一个法向量________.16．已知数列的前n项和为，则______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等比数列的前n项和为，，（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为，求数列的前n项和18．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线(t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值.19．（12分）已知数列的前项和为，若.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.20．（12分）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，，证明：21．（12分）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点到焦点的距离是5.（1）求该抛物线的标准方程和的值；（2）若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值.22．（10分）已知函数（1）求在点处的切线方程（2）求直线与曲线围成的封闭图形的面积

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】设大灯下缀2个小灯为个，大灯下缀4个小灯有个，根据题意求得，再由古典概型及其概率的公式，即可求解【详解】设大灯下缀2个小灯为个，大灯下缀4个小灯有个，根据题意可得，解得，则灯球的总数为个，故这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为，故选B【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中根据题意列出方程组，求得两种灯球的数量是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题2、B【解析】作出散点图，由散点图得出回归直线中的的符号【详解】作出散点图如图所示．由图可知，回归直线＝x＋的斜率＜0，当x＝0时，＝＞0.故选B【点睛】本题考查了散点图的概念，拟合线性回归直线第一步画散点图，再由数据计算的值3、A【解析】设，对实数的取值进行分类讨论，求得，解不等式，综合可得出实数的取值范围.【详解】设，其中.①当时，即当时，函数在区间上单调递增，则，解得，此时不存在；②当时，，解得；③当时，即当时，函数在区间上单调递减，则，解得，此时不存在.综上所述，实数的取值范围是.故选：A.4、B【解析】根据平均数、标准差、中位数及众数的概念即得.【详解】根据平均数、中位数、众数的概念可知，平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，标准差描述数据的波动大小估计数据的稳定程度.故选：B.5、B【解析】直接利用空间向量基本定理求解即可【详解】因为在平行六面体中，，，，所以，故选：B6、D【解析】根据椭圆的定义，写出，可求出的和，又根据关于纵轴成对称分布，得到结果详解】设椭圆右焦点为F2，由椭圆的定义知，2，，，由题意知，，，关于轴成对称分布，又，故所求的值为故选：D7、A【解析】分别取、、的中点、、，连接、、、、，由题意结合平面几何的知识可得、、或其补角即为异面直线PC与AB所成角，再由余弦定理即可得解.【详解】分别取、、的中点、、，连接、、、、，如图：由可得，所以，在，，可得由中位线的性质可得且，且，所以或其补角即为异面直线PC与AB所成角，在中，，所以异面直线AB与PC所成角的余弦值为.故选：A.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角8、A【解析】根据给定条件利用独立性检验的知识直接判断作答.【详解】因，且，由临界值表知，，，所以有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关”，则A正确，C不正确；.因临界值3.841>3.305，则不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”，也不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”，即B，D都不正确.故选：A9、D【解析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即可求出的范围.【详解】∵，∴，若在区间内存在单调递增区间，则有解，故，令，则在单调递增，，故.故选：D.10、D【解析】由，转化为，再由求解.【详解】因为数列满足，所以，即，因为，所以，所以，故选：D11、B【解析】设等轴双曲线的方程为抛物线,抛物线准线方程为设等轴双曲线与抛物线的准线的两个交点,，则,将，代入，得等轴双曲线的方程为的实轴长为故选12、D【解析】根据双曲线的性质求解即可.【详解】双曲线的焦点在y轴上，且实半轴长为4，虚半轴长为5，可得a＝4，b＝5，所以双曲线方程为：＝1.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简求解即可.【详解】故答案为：.14、【解析】利用导数法求解.【详解】因为函数，所以，当时，，所以的单调增区间是，故答案为：15、（答案不唯一）【解析】根据给定直线方程求出其方向向量，再由法向量意义求解作答.【详解】直线的方向向量为，而，所以直线的一个法向量.故答案为：16、【解析】先通过裂项相消求出，再代入计算即可.【详解】，则，故.故答案为：3.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】(1)设等比数列公比为q，利用与关系可求q，在中令n＝1可求；(2)根据等差数列前n项和公式可求，分析{}的通项公式，利用错位相减法求其前n项和.【小问1详解】设等比数列的公比为q，由己知，可得，两式相减可得，即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比数列的通项公式为；【小问2详解】由题意知在与之间插入n个数，这个数组成以为首项的等差数列，∴，设{}前n项和为，①①×3：②①－②：18、（1）；（2）3.【解析】（1）把展开得，两边同乘得,再代极坐标公式得曲线的直角坐标方程.（2）将代入曲线C的直角坐标方程得，再利用直线参数方程t的几何意义和韦达定理求解.【详解】（1）把展开得，两边同乘得①将代入①，即得曲线的直角坐标方程为②（2）将代入②式，得，点M的直角坐标为（0，3），设这个方程的两个实数根分别为t1，t2，则∴t1＜0，t2＜0则由参数t的几何意义即得.【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互化、直线参数方程t的几何意义，属于基础题.19、（1）（2）【解析】(1)根据所给条件先求出首项，然后仿写，作差即可得到的通项公式；(2)根据（1）求出的通项公式，观察是由一个等差数列加上一个等比数列得到，要求其前项和，采用分组求和法结合公式法可求出前项和【小问1详解】当时，，解得；当时，，∴，化简得，∴是首项为1，公比为2的等比数列，∴，因此的通项公式为.【小问2详解】由（1）得，∴，∴，∴20、（1）函数的单调性见解析；（2）证明见解析.【解析】(1)求出函数的导数，按a值分类讨论判断的正负作答.(2)将分别代入计算化简变形，再对所证不等式作等价变形，构造函数，借助函数导数推理作答.【小问1详解】已知函数的定义域为，，当时，恒成立，所以在区间上单调递增；当时，由，解得，由，解得，的单调递增区间为，单调递减区间为，所以，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】依题意，不妨设，则，，于是得，即，亦有，即，因此，，要证明，即证，即证，即证，即证，令，，，则有在上单调递增，，，即成立，所以.【点睛】思路点睛：涉及双变量的不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助导数探讨函数的单调性、极(最)值问题处理.21、（1），（2）证明见解析【解析】（1）根据点到焦点的距离等于5，利用抛物线的定义求得p，进而得到抛物线方程，然后将点代入抛物线求解；（2）方法一：设直线方程为：，与抛物线方程联立，结合韦达定理，利用数量积的运算求解；方法二：根据直线过点，分直线的斜率不存在时，检验即可；当直线的斜率存在时，设直线方程为：，与抛物线方程联立，结合韦达定理，利用向量的数量积运算求解.【小问1详解】解：∵抛物线焦点在轴上，且过点，∴设抛物线方程为，由抛物线定义知，点到焦点的距离等于5，即点到准线的距离等于5，则，，∴抛物线方程为，又点在抛物线上，，，∴所求抛物线方程为，.【小问2详解】方法一：由于直线过点，可设直线方程为：，由得，设，，则，，所以