中国古代数学中的数学文化课件

先秦时期——中国古代数学的萌芽《史记·夏本纪》大禹治水

(公元前21世纪)先秦时期——中国古代数学的萌芽在殷墟出土的商代甲骨文中，有一些是记录数字的文字，表明中国已经使用了完整的十进制记数，包括从一至十，以及百、千、万，最大的数字为三万。这是对世界数学最伟大的贡献。殷墟甲骨上数学

(商代,公元前1400-前1100年)先秦时期——中国古代数学的萌芽算筹是中国古代的计算工具。用小竹棍或小木棍或是骨、金属材料、象牙制成，比我们日常所用的筷子稍短稍细一点。它的起源大约可上溯到公元前5世纪，后来写在纸上便成为算筹记数法。

算筹(1971年陕西千阳县西汉墓出土)先秦时期——中国古代数学的萌芽记数时与十进位置制相配合，采用从左到右，纵横相间的摆法。中国传统数学的最大特点是建立在筹算基础之上，是中国传统数学对人类文明的特殊贡献，这与西方及阿拉伯数学是明显不同的。算筹记数的表示方法虽然也早有位置制的思想，但没有零的记号。先秦时期——中国古代数学的萌芽我国是世界上首先发现和认识负数的国家。战国时法家李悝（约公元前455－前395年）曾任魏文侯相，主持变法，我国第一部比较完整的法典《法经》（现已失传）中已应用了负数，“衣五人终岁用千百不足四百五十”，意思是说，5个人一年开支1500钱，差450钱。甘肃居延海附近（今甘肃省张掖市管领）发现的汉简中有“负四筭（suàn，筹码，同算），得七筭，相除得三筭”的句子。先秦时期——中国古代数学的萌芽2002年7月，考古人员在湖南龙山里耶战国－秦汉古城出土了36000余枚秦简。2002年湖南龙山里耶战国－秦汉城址考古先秦时期——中国古代数学的萌芽记录的是秦始皇二十六年至三十七年（即公元前221－前210年）的秦朝历史，其中有一份完整的“九九乘法口诀表”。秦简(2002年湖南龙山里耶出土)先秦时期——中国古代数学的萌芽在《管子》、《荀子》、《战国策》等先秦典籍中，都提到过“九九”，但实物还是首次发现，这是我国有文字记录最早的乘法口诀表。乘法口诀表

九九乘法表从现存的古代文献资料及研究看，较为完整的“九九表”形式并广泛得到应用，是在春秋时期，距今大约2700年。从西汉韩婴的《韩诗外传》卷三中记载的有趣的春秋时代的寓言中便可见。九九乘法表齐桓公求贤，期年而人不至。齐人东郊有人以“九九表”自荐，齐桓公取笑他：“九九表”也能拿出来表示才学？那人说：“就连‘九九表’的人大王都能重用，还怕没有人来应聘吗？”齐桓公听了，觉得此话有理，就从优接待了他。期月，有识之士就从四面八方前来投奔。九九乘法表“九九表”最初是从“九九八十一”开始，大约到公元12世纪，才把“九九表”完全反转过来，由“一一如一”开始，到“九九八十一”止。这首次见于文献记载的南宋初洪迈的《容斋续笔》卷六。“九九乘法表”在西方叫做“一一得一”。九九乘法表九九表不仅仅是一项重要的数学基本技能，而且在几千年的发展演变和使用中，已与中国的文学、口语、习俗等传统文化和社会生活融合，成为传统数学文化中重要内容，成为数学启蒙教育的重要内容。很多社会人员，如小商小贩，尽管幼时并未学习“九九乘法表”，却能十分熟练的掌握。九九乘法表文学作品中，就有很多“九九”乘法口诀。《西游记》中，唐僧师徒四人去西天取经，沿途经历七七四十九劫，九九八十一难。《越王勾践》中，翻过九九八十一座山，渡过八八六十四条溪，走了七七十九天，终于找到秦溪山。方言俗语、地方谚语，均能看到乘法表的影子。“六六三十六，阎王接你吃腊肉”、“不管三七二十一”等。精湛的几何思想战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题，例如：［圆，一中同长也］、［平，同高也］等等。墨家还给出有穷和无穷的定义。《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如［一尺之棰，日取其半，万世不竭］等。这些许多几何概念的定义、极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想。精湛的几何思想不过名、墨两家在先秦诸子中是属例外的情形，其它包括儒、道、法等各家的著作则很少关心与数学有关的论题。而这与古希腊的学派有很大不同。秦始皇统一中国，结束了百家争鸣的局面，到东汉独尊儒术，名、墨著作中的数学论证思想，便失去进一步成长的机会，这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。

先秦时期——中国古代数学的萌芽秦始皇陵兵马俑（中国,1983）秦汉时期形成中国传统数学体系汉唐时期——中国传统数学体系的形成1983－1984年间考古学家在湖北江陵张家山出土的一批西汉初年的竹简，共千余支。经初步整理，其中有历谱、日书等多种古代珍贵的文献，还有一部数学著作，据写在一支竹简背面的字迹辨认，这部竹简算书的书名叫《算数书》，它是中国现存最早的数学专著。经研究，它和《九章算术》（公元1世纪）有许多相同之处，体例也是“问题集”形式，大多数题都由问、答、术三部分组成，而且有些概念、术语也与《九章算术》的一样。

中国现存最早的数学书

《算数书》（西汉,约公元前170年）周髀算经和勾股定理《周髀算经》（髀：量日影的标杆）编纂于西汉末年，约公元前100年，它虽是一部天文学著作涉及的数学知识有的可以追溯到公元前11世纪（西周），其中包括两项重要的数学成就：勾股定理的普遍形式（中国最早关于勾股定理的书面记载），数学在天文测量中的应用（测太阳高或远的“陈子测日法”，相似形方法）。《周髀算经》（西汉,约公元前100年）周髀算经和勾股定理勾股定理的普遍形式：求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日观测者日日下勾斜股九章算术《九章算术》是中国古代的一本传世数学名著，一直作为中国传统数学的代表作，现在传世的是三国时代刘徽于263年完成的注释本。从他的《九章算术注》自序中可以知道：他早年系统地学习过《九章算术》，并以“注”的形式将其研究成果记载下来，完成了《九章算术注》。《九章算术》

九章算术《九章算术》其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。中国儒家的重要经典著作《周礼》记载西周贵族子弟必学的六门课程“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）中有一门是“九数”。《九章算术》是由“九数”发展而来。《周礼》九章算术全书的编排方法是：先举出问题，再给出答案，通过对一类问题解法的考察，最后给出“术”。全书共有202个“术”。术，是一类问题的一般算法描述，它是研究中国传统数学成果的主要依据。九章算术《九章算术》标志以筹算为基础的中国古代数学体系正式形成。代表了中国传统数学体系和思想方法的特点：注重实际问题的数值计算方法，缺少抽象的理论和逻辑系统性，使用算筹，形成世界上独有的计算工具和程序化计算方法。勾股定理希腊哲学家Plato（公元前427—前347年）对勾股定理仅就其特殊情况作出的证明：如图，Plato对等腰直角三角形作了证明，他把腰上两个正方形沿对角线切开，所得四个全等的等腰直角三角形可以拼成原三角形斜边上的正方形。勾股定理虽然Plato只给出了特殊情形的勾股定理证明，但他的这一证法对后世产生很大的影响。其一，Plato把平方视为正方形的面积，分别在直角三角形的三边上向外做三个正方形，然后证明两个直角边上正方形面积之和等于斜边上正方形的面积。西方后世数学家大都沿袭了这一构图形式与证明思路。勾股定理其二，Plato把两个小正方形切开，然后拼成大正方形，这一思想正是后人用“拼图法”证明勾股定理的先导。同时，拼图法与我国古代数学家（赵爽、刘徽、梅文鼎等）以出入相补原理证明勾股定理的“割补法”也具有相同的本质，其主要数学思想均为几何变换，即几何图形经平移、对称、旋转面积不变。勾股定理对于勾股定理一般形式的证明，2000多年来人们一直都在不断的探索。迄今为止世界各地的人们给出了400余种证明方法，而其实概括起来主要有三类——变换法（拼图法）、演绎法和代数法。勾股定理变换法中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家——赵爽（公元3世纪）给出的“弦图”法正是变换法的代表之一，他在《周髀算经》注解中写到：“按弦图又可以勾，股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘，为中黄实，加差实一，亦成弦实。”

勾股定理即如图，其中每个直角三角形称为“朱实”，中间的一个正方形叫“中黄实”，以弦为边的正方形叫“弦实”。四个朱实加上一个黄实就等于一个弦实，即，化简后得。勾股定理此证法建立在一种不证自明、形象直观的原理上，即运用“出入相补”的原理，以几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既显得直观、简洁、严谨，又鲜明的体现了我国数学文化传统中寓理于算的独特风格，并反映了我国文化传统追求直观、实用的倾向。同时此证法妙在“弦图”，因为“弦图”变化无穷，形状各异，这使得我国古代数学家利用此图就给出了200余种证法。2002年的世界数学家大会在中国北京举行，这是21世纪数学家的第一次大聚会，这次大会的会标就选定了验证勾股定理的“弦图”作为中央图案，可以说是充分表现了我国古代数学的成就，也充分弘扬了我国古代的数学文化.我国数学家赵爽的“弦图”赵君卿证法两个边长为a+b的全等正方形，双方都去掉直角边分别为a,b的四个全等带阴影的直角三角形后，两正方形剩余部分的面积相等。由此得证。刘徽的证法如图所示ABC为勾股形，以勾为边的正方形称为“朱方”，以股为边的正方形称为“青方”。按图中的标示进行出入相补后拼成了弦方，依面积关系，有关系：弦方=朱方+青方a2b2c2a2+b2=c2勾股定理

演绎法

作为演绎推理的典范——《几何原本》,在其卷1的命题47中给出了著名的Euclid法勾股定理勾股定理Euclid法的核心是使用演绎法证明，它不同于“弦图”法的形象直观，完全脱离实物的支撑，给我们展示了西方数学文化传统的一个侧面——严谨的逻辑和理性的推理。Euclid继承Plato的构图方式，但不同的是他将斜边上的正方形分成两个矩形，这一构图思想对后人也有较大的影响。勾股定理欧几里德的证明广为流传，希腊人称之为“已婚妇女的定理”，法国人称之为“驴桥问题”；阿拉伯人称之为“新娘图”、“新娘的座椅”，在欧洲又称为“孔雀的尾巴”或“大风车”勾股定理代数法

在四百余种证法中，有很多方法都有着自己的精彩之处，如江苏科学技术出版社出版的八年级（上）教材“2.1勾股定理”中“探索”栏目介绍的“火柴盒放倒情况”便是著名的证法之一——“总统方法”。勾股定理1876年4月，美国俄亥俄州共和党议员JAGarfield在《NewEngland数学年报》上发表的一种简单方法，用两个全等的直角三角形拼成，通过两种方法计算梯形面积：

勾股定理1881年Garfield当选美国第20任总统，而这种方法也别称为“总统方法”。它是一种代数方法，在推倒火柴盒的同时便给出了勾股定理的证明，显得更加的浅显与直观。图中的直角梯形也由此被人们称为Garfield梯形。婆什迦罗证法在代数法中，利用射影定理的证法也颇为简洁如图，由射影定理得：两式相加即得：即得：勾股定理上面介绍的这几种方法是勾股定理证法中最常见、最经典的。虽然它们在证明手法上有所不同，但却有着一个共通之处，即都是从面积的角度来对勾股定理进行证明的。在对勾股定理的诸多证明整理中，我们也发现面积法是用得最多且又最简单、最直观的证法。勾股定理1972年，美国发射的国际飞船先锋10号给外星人送去了一块美国科学家设计的信息板，上面最引人注目的是两个正在招手致意的地球人形象。华罗庚：“要沟通两个不同星球信息交往，最好在太空飞船上带去两个图形——表示数的洛书与表示数形关系的勾股定理图。”勾股树树干和树枝是由一幅幅大小不同的勾股定理图形组成。勾股定理勾股定理的证明是论证数学的发端，它是历史上第一个把形和数联系起来的定理，即第一个把几何与代数联系起来的定理。勾股定理是历史上第一个给出不定方程的解答，从而促使费马定理得提出，是一只下金蛋的鹅。三国演义(中国，1998）魏晋南北朝时期中国传统数学稳步发展汉唐时期——中国传统数学体系的形成从公元220年东汉分裂，到公元581年隋朝建立，史称魏晋南北朝。这是中国历史上的动荡时期，也是思想相对活跃的时期。在长期独尊儒学之后，学术界思辨之风再起，在数学上也兴起了论证的趋势。许多研究以注释《周髀算经》、《九章算术》的形式出现，实质是寻求这两部著作中一些重要结论的数学证明。这是中国数学史上一个独特而丰产的时期，是中国传统数学稳步发展的时期。九章算术注淄乡（今山东邹平县）人，布衣数学家，于263年撰《九章算术注》，不仅对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，并且多有创造，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位，成为中国传统数学最具代表性的人物。刘徽(魏晋,公元3世纪)九章算术注刘徽的割圆术，在刘徽之前，通常认为“周三径一”，即圆周率取为3。割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”（圆内接正多边形面积无限逼近圆面积）计算圆内接正3072边形求出圆周率为3927/1250即3.1416

。刘徽主张利用圆内接正192边形的面积求出157/50（=3.14）作为圆周率，后人常把这个值称为“徽率”。这使刘徽成为中算史上第一位用可靠的理论来推算圆周率的数学家，并享有国际声誉。九章算术注刘徽利用极限思想求圆的面积，就极限思想而言，从现存中国古算著作看，在清代李善兰及西方微积分学传入中国之前，再没有人超过甚至达到刘徽的水平。2000年国家最高科学技术奖得主吴文俊院士指出：“从对数学贡献的角度来衡量，刘徽应该与欧几里得、阿基米德相提并论”。

刘徽对π的估算值（密克罗尼西亚，1999）

祖氏父子的数学贡献祖冲之，范阳遒县（今河北涞源）人，活跃于南朝的宋、齐两代，曾做过一些小官，但他却成为历代为数很少能名列正史的数学家之一。祖氏父子的著作《缀术》，取得了圆周率的计算和球体体积的推导两大数学成就。祖冲之(429-500年)祖冲之和圆周率“祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”

《隋书》（唐，魏征主编）

祖冲之和圆周率祖冲之算出的π值的取值范围为3.14159261（肭数）<π<3.14159271（盈数）根据刘徽的割圆术，为圆内接正12288边形和24576边形确定了圆周率的分数形式：约率22/7，密率355/1131913年日本数学史家三上义夫（1875－1950年）在《中国和日本的数学之发展》里主张称355/113为祖率。∏——一首无穷无尽的歌德国数学家康托尔：“圆周率的精确度可以作为衡量一个国家数学水平的标志。”人类追求“∏”值精确度的旅程1706年英国数学家琼斯提出用希腊字母“∏”来表示圆周率。古率——周三径一，即圆周率为3阿基米德数（阿氏率）——3.14徽率——刘徽用割圆术算出3.14祖率——祖冲之求得3.141592人类追求“∏”值精确度的旅程1579年法国数学家韦达求得值为3.14159265358979323.17世纪德国数学家鲁道夫穷尽毕生精力，把圆周率计算到了小数点后35位。1946年一英国大学生与美国人连契，用手算圆周率到小数点后80位。20世纪中叶，英国人贤可士用毕生的时间，把圆周率推进到小数点后527位。1948年1月弗格森和伦齐共同发表有808位小数的圆周率值，这是人工计算的最高位。人类追求“∏”值精确度的旅程日本人金田康正用超级计算机计算出圆周率小数点1兆2411亿位数。如果一秒钟读一位数，需4万年才能读完。如果将它们全部写在0.1毫米厚的纸上，每张写1万位，这些纸摆起来高达12411米，比珠穆朗玛峰还高。背诵圆周率的记录我国著名桥梁专家茅以升，在少年读书的一次学校新年晚会上，表演了一个独特的精彩节目——背诵圆周率到小数点100位。在他90岁高龄的时候还和上海一少年比赛背诵圆周率，结果都背诵到小数点后100位。1988年，我国一个聋人少年周婷婷8岁时就创造背诵圆周率值1000位的记录。背诵圆周率的记录1991年吉林23岁女教师王力争用1小时51分准确背诵了圆周率值到10500位。1994年，12岁成都学生柏乐，用7分2秒时间准确背诵圆周率值达到小数点后1400位，创下了我国青少年记录。背诵圆周率的记录世界上背诵圆周率的“吉尼斯记录”的创造者为日本人寄英哲。50多岁的寄英哲为了把自己的大名记入“吉尼斯世界记录”内，起早贪黑的背诵，能在3小时内背诵圆周率达小数点后15151位数字。1979年10月寄英哲将圆周率值背到2万位。背诵圆周率的记录目前，背诵圆周率的世界纪录的保持者属于中国西北农林科技大学学生吕超，他于2005年经过24小时4分钟的鏖战，背诵到了小数点后67890位数字。从而在创造背诵圆周率世界纪录的历史上，第一次留下了中国人的名字。记忆圆周率的“诀窍”山颠一寺一壶酒，尔乐苦煞吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐尔乐！3.14149，26535，897，932，384，626浙江某处山下有一所小学校，校内有一名数学老师经常和山顶上的和尚喝酒下棋。有一次，他布置学生背诵圆周率到小数点后22位，背不来要打手板。一名聪明学生把先生喝酒的事用谐音编成故事。毕生贡献给计算圆周率值的数学家鲁道夫生于1540年，一生大部分的时间都用于计算圆周率值上，在他逝世的1610年已将圆周率值算到了35位，并要求在遗嘱上写明他的成就。后人把这个圆周率值3.14159265358979323846264338327950288刻在他的墓碑上，这就是著名的“∏墓志铭“。德国人把圆周率叫做”鲁道夫数“。∏是一首无穷无尽的歌人们对于圆周率表现出很大的热情和重视在巴黎的科学宫中就专门建立了一个圆周率馆。诺贝尔文学奖得主、波兰著名女诗人维斯拉瓦·申博尔斯卡写了一首题为”∏“的诗。∏地球上最长的蛇不过四十英尺神话和传说中的蛇也无分轩轾组成∏的数字列队行进逶迤它不会再页边栖息它会继续走过书桌，穿过空气越过墙壁、树叶、鸟巢、云霓直上云霄穿过广袤无垠的天际那彗星的尾巴显得多么短小就像鼠尾和小辫子而星光显得多么脆弱撞上空间上便弯曲了轨迹圆周率节

3月14日是圆周率节的正式日子，从圆周率常用的近似值3.14而来。通常是在下午1时59分庆祝，以象征圆周率的六位近似值3.14159。一些用24小时记时的人会改在凌晨1时59分，因为下午1时59分他们是记作13时59分。全球各地的一些大学数学系在这天开派对庆祝。

圆周率节这一天有不同的庆祝方式。一些圆周率会的人们会聚在一起思考圆周率在他们生活中的角色，和没有了圆周率的世界会是怎样。圆周率日庆祝者也会给予圆周率不同数值：吃圆周率，玩圆周率，喝圆周率；这里圆周率（pi）等于馅饼（pie）。在圆周率日当天，滑铁卢大学会供应免费馅饼(Pie)以示庆祝。

圆周率节四川大学数学学院的王辉、赵鹏等10余位“圆周率粉丝俱乐部”成员在学院门口摆出“π”造型，为圆周率过了一个别致的生日。弗吉尼亚一个名叫麦克·基斯的工程师为圆周率写了一首诗，某种意义上，这称得上是一封情书，一封长近4000字的情书，信中从头至尾每个单词的长度（字母数），都与圆周率的每个数字相对应，换句话说，如果读到这首长诗，实际上也就在背诵圆周率数字。比如，第一个单词为3个字母；第二个单词为1个字母；第三个单词为4个字母；第四个单词为1个字母；第五个单词为5个字母，与圆周率3.1415相对应。圆周率纪梵希Givenchy圆周率(蓝色)男士香水圆周率死亡密码Pi《圆周率》Pi是导演达雷阿罗洛斯基一举成名的影片。曾获1999独立精神奖最佳编剧处女作。圆周率“周兀？”“不是我。”“周元？”“也不对。”“周——”“哈哈，你们都叫错了，我叫周π（音派）！就是代表圆周率的那个符号。”近日英国一位退休的天体物理学家MikeReed声称破译了麦田怪圈暗藏的秘密，其实他们是以圆周率Pi的图形编码形式构成的一组图形。圆周率从圆心开始图中的每个色块数，便代表了圆周率的数字，具体说来就是3.141592654.祖暅原理祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”“幂”指水平截面积，“势”指高。两等高立体图形，若在所有等高处的水平截面积相等，则两个立体体积相等。不可分量原理祖暅原理与球体积公式西方数学界称之为“卡瓦列利原理”，17世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚了1100多年。卡瓦列里(意,1598-1647年)刘徽和祖氏父子刘徽和祖冲之父子的工作，思想是很深刻的，它们反映了魏晋南北朝时代中国古典数学出现的论证倾向，以及这种倾向所达到的高度，然而令人迷惑的是，这种倾向随着这一时代的结束，可以说是乍然截止。《缀数》在隋唐时代与《九章算术》一起被列为官学教科书，但《隋书·律历志》中说“学官莫能究其深奥”了。算经十书大唐盛世，是中国封建社会最繁荣的时代，可是在数学放马，唐代却没有产生能够与其前的魏晋南北朝和其后的宋元时期相媲美的数学大家。隋唐时期中国数学发展的两件大事是数学教育制度的建立和数学典籍的整理，这两件事是相互联系的。算经十书7世纪初，隋代开始在国子监中设立“算学”，并“置博士、助教、学生等员”，这是中国封建教育数学专科教育的始端。唐代不仅沿袭了“算学”制度，而且还在科举考试中开设了数学科目，叫“明算科”，考试及第者也可做官，不过只授予最低官衔。“算学”制度和明算开科都需要使用的教科书，唐高宗亲自下令对以前的十部数学著作进行注疏整理。算经十书为了教学需要唐初由李淳风（604－672年）等人注释并校订了《算经十书》（约656年），即《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》（刘徽）、《孙子算经》（约成书于公元400年，内有“物不知数”问题）、《夏候阳算经》（成书于公元6、7世纪，内有“百鸡问题”）、《张邱建算经》（张邱建，约成书于公元466－485年间）、《缀术》（祖冲之）、《五曹算经》（北周甄鸾著）、《五经算经》（北周甄鸾著）和《缉古算经》（约成书于626年前后，唐王孝通，内有三次方程及其根，但没有解题方法）。算经十书《缀术》于唐、宋之交失传后，宋代刊刻的《算经十书》便以北周甄鸾所著的《数术记遗》来替补。十部算经对继承古代数学经典有积极的意义，显示了汉唐千余年间中国数学发展的水平，是当时科举考试的必读书（公元587年隋文帝开创中国的科举考试制度，1905年清朝废止科举制度）孙子算经“鸡兔同笼”问题出自1500年前我国古代数学名著《孙子算经》。题目是这样的：今有鸡兔同笼，上有三十五头,下有九十四足，问鸡兔各几何？孙子算经“孙子问题”（“物不知数”问题）：“今物不知其数，三三除之余二，五五除之余三，七七除之余二，问物几何？”孙子问题相当于求解一次同余式组

N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7）程大位给其解法写作“孙子歌”：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。有趣的应用某单位有100把锁，分别编号为1，2，3...，100.现在要对钥匙编号，使外单位的人看不懂，而本单位的人一看见锁的号码就知道该用那一把钥匙？有趣的应用利用中国剩余定理。把锁的号码分别分为被3，5，7去除所得的三个余数来作钥匙的号码（首位余数是0时，也不能省略，号码总是三个数字构成的）。这样，每把钥匙都有一个三位数字的编号。例如，8号锁的钥匙编号为231，23号钥匙的编号是232，45号锁的钥匙编号是003，52号钥匙的编号是123.有趣的应用因为只有100把锁，不超过105，所以锁的号与钥匙的号是一一对应的。如果希望保密性再强一点，则可以把刚才得到的钥匙编号加上一个固定的常数作为新的钥匙编号系统。甚至可以每过一个月更换一次这个常数。这样仍不破坏锁的号与钥匙的号之间的一一对应，而外人则更难知道了。张邱建算经“百鸡问题”：“今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱，买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何。”

给出三组答案：（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84），恰好是所有可能的正整数解。“百鸡问题”是世界著名的不定方程问题，13世纪意大利斐波那契《算经》、15世纪阿拉伯阿尔·卡西《算术之钥》均出现有相同的问题。宋元时期——中国传统数学的兴盛平民发明家毕升制成了胶泥活字，实行排版印刷，完成了印刷史上一项重大的革命，关于毕升的生平事迹，人们却一无所知，幸亏毕升创造活字印刷术的事迹，比较完整地记录在北宋著名科学家沈括的名著《梦溪笔谈》里促进了数学著作的保存与流传毕升发明活字印刷术

(约1041—1048年)天元术李冶（金、元，1192－1279年），金代真定栾城（今河北栾城）人，出生的时候，金朝（1115－1234年）正由盛而衰，曾任钧州（今河南禹县）知事，1232年钧州被蒙古军所破，遂隐居于封龙山治学，潜心学问。李冶(金、元,1192-1279年)天元术刘徽注释《九章算术》“正负术”中云：“正算赤，负算黑”，李冶感到用笔记录时换色的不便，便在《测圆海镜》中用斜画一杠表示负数。“积财千万，不如薄技在身”。天元术的产生标志着中国传统数学发展到一个新的高度，这就是半符号代数的产生。天元术1248年撰成代数名著《测圆海镜》该书是首部系统论述“天元术”（一元高次方程）的著作，“天元术”与现代代数中的列方程法相类似，称未知数为天元，“立天元一为某某”，相当于“设x为某某”，可以说是符号代数的尝试，在数学史上具有里程碑意义。《测圆海镜》(1248)天元术在筹算盘上列天元式，先确定未知数一次项系数的位置，在其旁边置一个“元”字表示未知数，其余各项按未知数幂次相当于一次项上下递增或递减排列。“太”表示常数项。天元术四元术朱世杰（约1260－1320年），寓居燕山,当时的北方，正处于天元术逐渐发展成为二元术、三元术的重要时期，朱世杰在经过长期游学、讲学之后，终于在1299年和1303年在扬州刊刻了他的两部代表作《算学启蒙》和《四元玉鉴》。《算学启蒙》(12